Valores y vectores propios
Álgebra lineal · A2
Un modo de vibración es una forma de moverse que se conserva: todos los puntos de la estructura oscilan a la vez, con la misma frecuencia, y la forma no cambia con el tiempo. Matemáticamente, un modo es un vector propio y su frecuencia sale de un valor propio. Casi todo lo que se hace después en monitorización (identificar, comparar estados, detectar daño) trabaja con esas dos cantidades. Esta unidad explica de dónde salen, qué propiedades tienen y qué pasa con ellas cuando la estructura cambia.
Tiempo orientativo: unas 3 horas, con la simulación y los ejercicios. Nivel: intermedio. Hay tres capas: intuición (figuras y simulación), fundamento (definiciones, teoremas y demostraciones plegables) y aplicación (el edificio de cortante de tres plantas que se usará en todo el curso, definido en el caso transversal).
Objetivos y prerrequisitos
Objetivos. Al terminar esta unidad sabrás:
- plantear el problema de valores propios estándar y el generalizado \(\mathbf K\boldsymbol\varphi=\omega^2\mathbf M\boldsymbol\varphi\), y explicar por qué el segundo es el de las estructuras;
- demostrar que, con \(\mathbf K\) y \(\mathbf M\) simétricas y \(\mathbf M\) definida positiva, las frecuencias son reales y los modos son ortogonales respecto de \(\mathbf M\) y de \(\mathbf K\);
- normalizar los modos a masa unidad y usarlos para desacoplar las ecuaciones del movimiento;
- calcular el cociente de Rayleigh y saber qué acota;
- predecir, a primer orden, cuánto cambian las frecuencias cuando cambia la rigidez de un entrepiso, y comparar con el cálculo exacto;
- explicar por qué los modos son menos sensibles que las frecuencias a un daño local, y por qué las matrices no simétricas se comportan mucho peor.
Prerrequisitos. A1 Matrices estructuradas, para la simetría, la definición positiva y el MAC, y M5 para el sistema de un grado de libertad. Julia básico (J1) y álgebra lineal numérica (J3.3).
Apartados
| Id | Apartado |
|---|---|
| A2.1 | El problema estándar |
| A2.2 | El problema generalizado de una estructura |
| A2.3 | Los modos del edificio |
| A2.4 | Sensibilidad a la rigidez |
| A2 | Práctica y cierre |