A2.2 El problema generalizado de una estructura

A2 · Valores y vectores propios

Para una estructura sin amortiguamiento, \(\mathbf M\ddot{\mathbf u}+\mathbf K\mathbf u=\mathbf 0\). Se busca una solución en la que todos los puntos oscilan a la vez, \(\mathbf u(t)=\boldsymbol\varphi\cos(\omega t-\theta)\); al sustituir, aparece

\[ \mathbf K\boldsymbol\varphi=\omega^2\,\mathbf M\boldsymbol\varphi. \tag{1}\]

Es un problema generalizado porque la masa aparece en el segundo miembro. Si \(\mathbf M\) es diagonal y positiva, se reduce al estándar con \(\widetilde{\mathbf K}=\mathbf M^{-1/2}\mathbf K\mathbf M^{-1/2}\) y \(\widetilde{\boldsymbol\varphi}=\mathbf M^{1/2}\boldsymbol\varphi\); para una \(\mathbf M\) simétrica definida positiva general se usa la factorización de Cholesky, \(\mathbf M=\mathbf L\mathbf L^{\mathsf T}\), con \(\widetilde{\mathbf K}=\mathbf L^{-1}\mathbf K\mathbf L^{-\mathsf T}\). La matriz \(\widetilde{\mathbf K}\) es simétrica, de modo que el Teorema 1 de A2.1 se aplica a ella.

Teorema 1 Propiedades de los modos. Sean \(\mathbf K\) simétrica semidefinida positiva y \(\mathbf M\) simétrica definida positiva. Entonces los valores propios \(\lambda_j=\omega_j^2\) son reales y no negativos, y los modos se pueden elegir normalizados a masa unidad: \[ \boldsymbol\varphi_i^{\mathsf T}\mathbf M\boldsymbol\varphi_j=\delta_{ij},\qquad \boldsymbol\varphi_i^{\mathsf T}\mathbf K\boldsymbol\varphi_j=\omega_j^2\,\delta_{ij}. \] En forma matricial, \(\boldsymbol\Phi^{\mathsf T}\mathbf M\boldsymbol\Phi=\mathbf I\) y \(\boldsymbol\Phi^{\mathsf T}\mathbf K\boldsymbol\Phi=\boldsymbol\Omega^2\).

Con \(\widetilde{\boldsymbol\varphi}_j\) ortonormales para \(\widetilde{\mathbf K}\) (Teorema 1 de A2.1) se tiene \(\boldsymbol\varphi_j=\mathbf L^{-\mathsf T}\widetilde{\boldsymbol\varphi}_j\) y \(\boldsymbol\varphi_i^{\mathsf T}\mathbf M\boldsymbol\varphi_j=\widetilde{\boldsymbol\varphi}_i^{\mathsf T}\mathbf L^{-1}\mathbf L\mathbf L^{\mathsf T}\mathbf L^{-\mathsf T}\widetilde{\boldsymbol\varphi}_j=\delta_{ij}\). La segunda relación sale de multiplicar ecuación 1 por \(\boldsymbol\varphi_i^{\mathsf T}\). Los valores propios son no negativos porque \(\lambda_j=\boldsymbol\varphi_j^{\mathsf T}\mathbf K\boldsymbol\varphi_j\ge0\). \(\square\)

Dos consecuencias prácticas:

  1. Desacoplamiento. Con el cambio \(\mathbf u=\boldsymbol\Phi\mathbf q\), las ecuaciones \(\mathbf M\ddot{\mathbf u}+\mathbf K\mathbf u=\mathbf f\) se convierten en \(\ddot q_j+\omega_j^2q_j=\boldsymbol\varphi_j^{\mathsf T}\mathbf f\): \(n\) osciladores independientes de un grado de libertad. Con amortiguamiento proporcional (\(\mathbf C=\alpha\mathbf M+\beta\mathbf K\)) también se desacopla, con \(\zeta_j=\alpha/(2\omega_j)+\beta\omega_j/2\). Es la base del análisis modal (M6).
  2. Modos de sólido rígido. Si la estructura no está anclada, \(\mathbf K\) es semidefinida y tiene valores propios nulos: son los movimientos que no deforman nada (la traslación y el giro de la estructura entera). No son vibraciones; se reconocen por \(\omega=0\).

Cociente de Rayleigh

Definición 1 Cociente de Rayleigh. Para \(\mathbf x\neq\mathbf 0\), \(R(\mathbf x)=\dfrac{\mathbf x^{\mathsf T}\mathbf K\mathbf x}{\mathbf x^{\mathsf T}\mathbf M\mathbf x}\) (energía de deformación entre energía cinética, salvo constantes).

Vale \(\omega_j^2\) cuando \(\mathbf x=\boldsymbol\varphi_j\), está siempre entre \(\omega_1^2\) y \(\omega_n^2\), y es estacionario en cada modo: un error de primer orden en la forma produce un error de segundo orden en la frecuencia. Por eso, con una forma aproximada razonable (la deformada estática, por ejemplo) se obtiene una buena estimación de la frecuencia fundamental, y es el fundamento de los métodos de Rayleigh–Ritz.