Práctica y cierre

S1 · Transformada de Laplace y función de transferencia

Práctica guiada

Calcula con Julia los polos del edificio como valores propios de \(\mathbf A\) (espacio_estados) y con polos_modales; comprueba que dan las mismas frecuencias y los amortiguamientos del 1 %.
Calcula la receptancia \(H_{33}(\mathrm j\omega)\) por inversión directa y por suma modal, y comprueba que coinciden.
Localiza sus mínimos y compara con las frecuencias del edificio con la planta 3 bloqueada.
Repite con \(H_{13}\) y mide la profundidad de los valles (cociente entre el módulo en el mínimo y en la resonancia anterior).

using Resonancia, LinearAlgebra
M, C, K = edificio_tres_plantas()
A, B = espacio_estados(M, C, K, [0.0, 0.0, 1.0])
f, zeta = polos_modales(A)                      # polos de la planta 3
H(ω) = inv(K - ω^2 * M + im * ω * C)
f_anti = modos_propios(K[1:2, 1:2], M[1:2, 1:2])[1]   # planta 3 bloqueada

import numpy as np
from scipy import linalg
import matrices as mx      # python/matrices.py (probado con pytest)

M, K = mx.edificio_tres_plantas("A")
H = lambda w, C: np.linalg.inv(K - w**2 * M + 1j * w * C)   # C: matriz de amortiguamiento
f_anti = np.sqrt(linalg.eigh(K[:2, :2], M[:2, :2], eigvals_only=True)) / (2 * np.pi)

El código Python no se ejecuta en la web: su versión probada está en python/matrices.py.

«Pídeselo a Claude»

Prompt

«Con Julia y el paquete Resonancia: para el edificio de tres plantas (edificio_tres_plantas), calcula la receptancia \(H_{ij}(\mathrm j\omega)\) por inversión directa para \(i,j\in\{1,2,3\}\), dibuja el módulo de las nueve en dB entre 0,5 y 5,5 Hz y dime en cuáles hay antirresonancias profundas. Verifica con la suma modal. No generalices más allá de este edificio.»

Verifica. (a) Que construye \(\mathbf K-\omega^2\mathbf M+\mathrm j\omega\mathbf C\) y la invierte, en vez de dividir elemento a elemento. (b) Que la matriz es simétrica (\(H_{ij}=H_{ji}\), reciprocidad). (c) Que la suma modal coincide con la inversión (error \(\sim10^{-15}\)). (d) Que cuantifica la profundidad de los valles en lugar de dar un «sí/no» (en este edificio hay valles profundos fuera de la diagonal, como \(H_{12}\)). (e) Que no atribuye las antirresonancias a «daño» ni a propiedades de la estructura.

Ejercicios

Todos los valores propios de la matriz de estado \(\mathbf A\) son polos de cualquier función de transferencia \(H_{ij}(s)\) del sistema.

Falso. Si el modo no es controlable desde la entrada \(j\) o no es observable desde la salida \(i\), su polo se cancela con un cero y no aparece en \(H_{ij}\). Un sensor en un nodo de un modo no lo ve.

Un sistema tiene \(H(s)=1/(s^2+2s+26)\). ¿Cuánto vale su amortiguamiento relativo \(\zeta\)?

Compara con \(s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2\).

\(\omega_n^2=26\) (\(\omega_n=5{,}099\) rad/s) y \(2\zeta\omega_n=2\), luego \(\zeta=1/\sqrt{26}=0{,}196\). Los polos son \(-1\pm5\mathrm j\).

Un oscilador con \(m=2\) kg, \(c=3\) N·s/m y \(k=50\) N/m recibe un escalón de fuerza de 1 N. ¿A qué valor tiende el desplazamiento?

Teorema del valor final con \(X(s)=H(s)/s\).

\(x(\infty)=\lim_{s\to0}sH(s)/s=H(0)=1/k=0{,}02\) m. Los polos son estables (\(c>0\)), así que el teorema es aplicable.

En el edificio de tres plantas, ¿en qué frecuencia (la primera) tiene un mínimo profundo la FRF puntual de la cubierta \(H_{33}\)?

Es una frecuencia natural del edificio con la planta 3 bloqueada: elimina la fila y la columna 3 de \(\mathbf K\) y \(\mathbf M\).

Con la planta 3 bloqueada quedan dos plantas, con frecuencias de 2,381 Hz y 4,289 Hz; el primer valle de \(H_{33}\) está en 2,381 Hz.

Dos sensores colocados en plantas distintas del mismo edificio identifican las frecuencias naturales. ¿Qué es cierto?

Las frecuencias coinciden y las antirresonancias también.
Las frecuencias son distintas porque cada sensor ve una parte diferente.
Las frecuencias (polos) coinciden; las antirresonancias (ceros) dependen del sensor y de la excitación.
Las frecuencias coinciden solo si los dos sensores están en la misma planta.

La c. Los polos son propiedades del sistema; los ceros dependen de la entrada y de la salida (ecuación 1 de S1.2).

Un procedimiento de identificación devuelve un polo con parte real positiva para un puente en servicio. ¿Qué puede significar? ¿Qué harías?

Digo que un sistema físico con amortiguamiento positivo no tiene polos en el semiplano derecho, así que no es un modo del puente.
Menciono causas posibles: orden del modelo demasiado alto, ruido, no estacionariedad, errores de procesado.
Propongo acciones: bajar el orden, comprobar con un diagrama de estabilización, repetir con otros datos, descartar el polo.

Es un polo espurio (o un artefacto numérico): una estructura estable y amortiguada no puede tenerlo. Se descarta, y conviene revisar el orden del modelo, la calidad de los datos y los parámetros del algoritmo (M7).

La doy por superada si…

Enuncio la transformada de Laplace y aplico la derivación, la convolución y el valor final.
Construyo la matriz de transferencia de un sistema de varios grados de libertad y la descompongo en modos.
Relaciono los polos con los valores propios de \(\mathbf A\) y con \(f\) y \(\zeta\) de cada modo.
Distingo polos (propiedades de la estructura) de ceros (propiedades del experimento).
Explico por qué aparecen antirresonancias en la FRF puntual y no en las no puntuales de una cadena.
Explico por qué un polo con parte real positiva es espurio en una estructura.

Qué no dice esta unidad

No se estudia la región de convergencia en detalle ni la transformada inversa por integral de Bromwich; se usan fracciones simples y tablas.
La ausencia de ceros de \(H_{13}\) es propia de una cadena tridiagonal con sensor y fuerza en los extremos; no se generaliza a otra topología ni a otros pares.
La relación entre ceros y antirresonancias supone amortiguamiento despreciable; con amortiguamiento los ceros salen del eje imaginario.
La reciprocidad \(H_{ij}=H_{ji}\) vale para sistemas lineales y reciprocos (sin giroscópicos ni no linealidades).
La fecha de las aportaciones históricas procede de una fuente enciclopédica y debe contrastarse antes de citarse en un trabajo formal.