A1 · Matrices estructuradas
Vandermonde. \(V_{ij}=x_i^{\,j-1}\): aparece al interpolar con polinomios y, con los puntos \(x_i=\omega^{i}\) (raíces de la unidad), es la matriz de la DFT. Con puntos reales equiespaciados se condiciona exponencialmente mal.
| n | κ₂(V) con n puntos equiespaciados en [0, 1] |
|---|---|
| 4 | 9,9e+01 |
| 8 | 2,7e+05 |
| 12 | 8,8e+08 |
| 16 | 3,1e+12 |
Gram, proyección y covarianza. Ya vistas: las tres comparten la forma \(\mathbf A^{\mathsf T}\mathbf A\) o \(\mathbf A\mathbf A^{\mathsf T}\). La matriz de correlación cruzada entre dos señales \(\mathbf x,\mathbf y\) es \(R_{xy}(k)=\mathbb E[x_{t+k}y_t]\); y la matriz espectral cruzada \(\mathbf S_{yy}(\omega)\) de \(m\) sensores, la transformada de Fourier de sus correlaciones, es hermítica y semidefinida positiva en cada frecuencia (F1 y M7.7: es la matriz a la que se aplica la SVD en el método FDD).
Matrices de observabilidad y controlabilidad. Para un sistema \(\dot{\mathbf x}=\mathbf A\mathbf x+\mathbf B\mathbf u\), \(\mathbf y=\mathbf C\mathbf x\) de orden \(n\), la matriz de observabilidad \(\mathcal O=[\mathbf C;\,\mathbf C\mathbf A;\,\dots;\,\mathbf C\mathbf A^{n-1}]\) tiene rango \(n\) si y solo si se puede reconstruir el estado a partir de la salida; y la de controlabilidad \(\mathcal C=[\mathbf B\;\mathbf A\mathbf B\;\cdots\;\mathbf A^{n-1}\mathbf B]\), rango \(n\) si y solo si se puede llevar el estado a cualquier punto con la entrada. Ambas son una pista práctica de dónde poner los sensores.
Ejemplo 1 Un sensor en el nodo de un modo. Una cadena de tres masas simétrica (empotrada en los dos extremos, \(k=m=1\)) tiene un modo antisimétrico cuyo desplazamiento en la masa central es cero. Un sensor de desplazamiento en la masa central no puede ver ese modo: la matriz de observabilidad tiene rango 4 en lugar de 6 (el sistema tiene seis estados y tres modos con dos estados cada uno). Con el sensor en la primera masa, el rango es 6.
(4, 6)Matriz de transición de estados. La solución de \(\dot{\mathbf x}=\mathbf A\mathbf x\) es \(\mathbf x(t)=e^{\mathbf A\Delta t}\mathbf x(0)\), y \(\mathbf A_d=e^{\mathbf A\Delta t}\) es la matriz de transición: es la que se estima en identificación (ERA y SSI, ecuación 2 de A1.5) y sus autovalores son los polos discretos (S2 y S3).
Matriz MAC. El criterio de seguridad modal (modal assurance criterion) compara dos formas modales \(\boldsymbol\phi\) y \(\boldsymbol\psi\):
\[ \mathrm{MAC}(\boldsymbol\phi,\boldsymbol\psi)=\frac{\lvert\boldsymbol\phi^{\mathsf T}\boldsymbol\psi\rvert^2}{(\boldsymbol\phi^{\mathsf T}\boldsymbol\phi)(\boldsymbol\psi^{\mathsf T}\boldsymbol\psi)}\in[0,1]. \tag{1}\]
Vale 1 si los vectores son proporcionales y 0 si son ortogonales, y no depende de la escala de cada modo, que en identificación experimental no está determinada. Se calcula entre todos los pares de dos conjuntos de modos: la matriz MAC de un conjunto consigo mismo es la identidad si los modos son ortogonales.
Con un edificio de cortante de tres plantas de masas y rigideces iguales, y el segundo entrepiso un \(10\,\%\) menos rígido, las frecuencias bajan 1,9 %, 0,6 % y 2,7 % pero la diagonal de la matriz MAC sigue siendo 0,9998; 0,9987; 0,9986: las formas modales son mucho menos sensibles que las frecuencias a un cambio local de rigidez. Es un resultado a recordar cuando se estudie la detección de daño (M0.3, M12.6).
Calcula el MAC entre \(\boldsymbol\phi=(1,2,3)\) y \(\boldsymbol\psi=(1,\,2{,}5,\,2)\).
\(\boldsymbol\phi^{\mathsf T}\boldsymbol\psi=1+5+6=12\), \(\boldsymbol\phi^{\mathsf T}\boldsymbol\phi=14\) y \(\boldsymbol\psi^{\mathsf T}\boldsymbol\psi=1+6{,}25+4=11{,}25\). \(\mathrm{MAC}=12^2/(14\cdot11{,}25)=144/157{,}5=0{,}914\).
Con un solo sensor de desplazamiento en el punto medio de una viga simétrica biapoyada, ¿qué modos no se pueden observar?
La b. Los modos antisimétricos (el segundo, el cuarto, etc.) tienen un nodo en el centro: el sensor mide cero para esos modos, y el sistema no es observable con él. Es una restricción de colocación de sensores, no del modelo.