Práctica y cierre

F1 · Series y transformada de Fourier

Práctica guiada

NotaPráctica guiada

1. Genera una sinusoide de 10,5 ciclos en 256 muestras y calcula su amplitud estimada con cuatro ventanas.
2. Calcula \(\Delta f\) y la anchura a \(-3\) dB del primer pico del edificio (escenario A) con segmentos de 1024 y 4096 muestras.
3. Comprueba que psd_welch cumple Parseval: \(\sum P\,\Delta f\approx\operatorname{var}(x)\).

Julia

using Resonancia, Statistics
N = 256
x = cos.(2π * 10.5 .* (0:N-1) ./ N)
for s in (:rectangular, :hann, :flattop)
    w = ventana(s, N)
    X = fft_radix2(x .* w)
    println(s, " ", maximum(abs.(X[1:N÷2])) * 2 / sum(w))
end
f, P = psd_welch(randn(8192), 100.0; nseg=1024)
sum(P) * (f[2] - f[1])           # ≈ 1 = varianza

Python

import numpy as np
from scipy import signal
import matrices as mx      # python/matrices.py (probado con pytest)

N = 256
x = np.cos(2 * np.pi * 10.5 * np.arange(N) / N)
for nombre in ("rectangular", "hann", "flattop"):
    w = mx.ventana(nombre, N)
    X = np.fft.rfft(x * w)
    print(nombre, np.abs(X).max() * 2 / w.sum())
f, P = signal.welch(np.random.default_rng(1).standard_normal(8192), fs=100.0, nperseg=1024)
P.sum() * (f[1] - f[0])

El código Python no se ejecuta en la web: ventana está probada con pytest frente a Julia en python/matrices.py.

«Pídeselo a Claude»

TipPrompt

«Con Julia y Resonancia: toma escenario_A.csv (aceleración de la cubierta a 100 Hz). Calcula la PSD por Welch con segmentos de 512, 2048 y 8192 muestras y ventana de Hann, y dime para cada uno la resolución, el número de promedios y la anchura a −3 dB del primer pico. Después verifica el teorema de Parseval y explica qué configuración usarías para estimar la frecuencia del primer modo.»

Verifica. (a) Que usa psd_welch y no una FFT sin ventana de todo el registro. (b) Que \(\Delta f=f_{\mathrm s}/N_{\mathrm{seg}}\) y que el número de promedios cuadra con el solape del 50 %. (c) Que \(\sum P\Delta f\) coincide con la varianza (error del orden del \(1\,\%\)). (d) Que reconoce que más resolución implica menos promedios (más ruido). (e) Que no afirma que el relleno de ceros mejore la resolución.

Ejercicios

Un registro de \(N=4096\) muestras a \(f_{\mathrm s}=200\) Hz se transforma con la DFT. ¿Cuánto vale la resolución \(\Delta f\)?

\(\Delta f=f_{\mathrm s}/N=200/4096=0{,}0488\) Hz.

Quieres separar dos modos que distan \(0{,}05\) Hz con una ventana rectangular (que da \(\Delta f=1/T\)). ¿Cuánto debe durar, como mínimo, el registro?

\(T=1/\Delta f=1/0{,}05=20\) s. Con una ventana de Hann el lóbulo principal es el doble de ancho, y hacen falta unos \(40\) s.

Rellenar con ceros un registro antes de la FFT permite separar dos picos que antes estaban fundidos.

Falso. El relleno de ceros interpola el espectro, pero la resolución está fijada por la duración del registro original.

¿Cuánto vale el ancho de banda equivalente de ruido de la ventana de Hann?

\(N\sum w^2/(\sum w)^2=1{,}5\) bins (\(\sum w=N/2\) y \(\sum w^2=3N/8\)).

Vas a medir con precisión la amplitud de una vibración armónica de un puente (una máquina que gira) y, por otro lado, a identificar las frecuencias de los modos en una medida ambiental. ¿Qué ventana usarías en cada caso y por qué?

• Digo que para amplitud de una sinusoide conviene una ventana con poca pérdida por escalonamiento (flat-top).
• Digo que para frecuencias con picos próximos conviene un lóbulo principal estrecho y fuga moderada (Hann).
• Menciono el compromiso entre resolución y rechazo de fuga.

Flat-top para amplitud (error de amplitud de alrededor del \(0{,}1\,\%\) en cualquier frecuencia) y Hann para frecuencias ambientales (buen equilibrio entre fuga y resolución). La rectangular solo para señales que decaen dentro del registro.

La doy por superada si…

• Escribo la serie de Fourier y la DFT y sé en qué frecuencias da el espectro.
• Calculo la resolución, la frecuencia de Nyquist y el número de bins útiles.
• Explico la fuga espectral y por qué se usan ventanas.
• Elijo una ventana según el objetivo (amplitud, resolución, fuga).
• Distingo resolución (duración) de interpolación (relleno de ceros).
• Escalo correctamente un espectro de amplitud y una PSD.

Qué no dice esta unidad

• No se desarrolla el método de Welch (solape, número de promedios, intervalos de confianza) ni el análisis tiempo–frecuencia; están en M3.
• Las cifras de la Tabla 1 de F1.4 son para \(N=256\) y una sinusoide pura; con ruido o con resonancias amortiguadas cambian en detalle.
• La DFT se usa como herramienta, sin demostrar la convergencia de las series de Fourier ni el teorema de muestreo.
• Los tiempos y los números de bins de «Aplicación» son los de los datos sintéticos del edificio; no sirven por sí solos para planificar una campaña real.