A2.3 Los modos del edificio

A2 · Valores y vectores propios

El caso transversal del curso es un edificio de cortante (shear building): las plantas son masas rígidas y los entrepisos, muelles laterales. Sus valores son \(m=2\cdot10^5\) kg por planta y rigideces de entrepiso \(5\cdot10^7\), \(5\cdot10^7\) y \(4\cdot10^7\) N/m (de abajo arriba). Con modos_propios del paquete Resonancia:

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forma(j) = Phi3[:, j] ./ Phi3[argmax(abs.(Phi3[:, j])), j]
filas = ["| $j | $(coma(f3[j]; d=3)) | $(coma(forma(j)[1]; d=3)) | $(coma(forma(j)[2]; d=3)) | $(coma(forma(j)[3]; d=3)) |" for j in 1:3]
Markdown.parse("| Modo | f (Hz) | planta 1 | planta 2 | planta 3 |\n|:--:|--:|--:|--:|--:|\n" * join(filas, "\n"))

Tabla 1: Frecuencias y formas modales del edificio de tres plantas (normalizadas con máximo en valor absoluto igual a 1).

Modo	f (Hz)	planta 1	planta 2	planta 3
1	1,105	0,420	0,759	1,000
2	2,939	1,000	0,636	-0,903
3	4,390	-0,958	1,000	-0,357

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fig = Figure(size=(780, 330))
for j in 1:3
    ax = Axis(fig[1, j]; title="Modo $j: $(coma(f3[j]; d=2)) Hz", xlabel="desplazamiento relativo", ylabel=j == 1 ? "planta" : "",
              yticks=0:3, limits=(-1.25, 1.25, -0.1, 3.2))
    vlines!(ax, [0.0]; color=GRIS, linestyle=:dash)
    lines!(ax, [0.0; forma(j)], 0:3; color=AZUL, linewidth=2.5)
    scatter!(ax, [0.0; forma(j)], 0:3; color=AZUL, markersize=11)
end
fig

Tres paneles con las formas modales del edificio. En cada uno, una línea quebrada une el suelo con las tres plantas. El primer modo no cruza el eje, el segundo lo cruza una vez, el tercero dos veces. — Figura 1: Formas modales del edificio de tres plantas. El primer modo mueve todas las plantas en el mismo sentido; el segundo cambia de signo una vez, y el tercero dos veces: el modo \(j\) tiene \(j-1\) cambios de signo. Los círculos son las plantas; la línea vertical, la posición de reposo.

La frecuencia \(f_j=\omega_j/2\pi\) sube con el número de cambios de signo de la forma, algo general en estructuras de cadena. La normalización a masa unidad hace que los modos tengan unidades de kg\(^{-1/2}\); para dibujarlos se reescalan, y lo que importa es la forma.

Un cálculo comprobable

El cociente de Rayleigh para la forma aproximada \(\mathbf x=(1,2,3)^{\mathsf T}\) vale \(R=\) 50,0 rad²/s², es decir, \(f=\) 1,125 Hz, algo por encima del primer modo (\(f_1=\) 1,105 Hz), como debe ser: el cociente de Rayleigh nunca baja de \(\omega_1^2\). Y la comprobación de la ortogonalidad: \(\lVert\boldsymbol\Phi^{\mathsf T}\mathbf M\boldsymbol\Phi-\mathbf I\rVert=\) 1.3e-15.