P2.4 Los modos del edificio a partir de correlaciones

P2 · Covarianza, autocorrelación y correlación cruzada

Con el escenario A del caso transversal, se calcula la correlación cruzada entre la aceleración de la cubierta y la de la planta 1 y, también, la autocorrelación de la cubierta:

D = readdlm(RUTA * "escenario_A.csv", ';', skipstart=1)
a1, a3 = D[:, 2], D[:, 4]
kmax = 800
r33 = correlacion_cruzada(a3, a3, kmax)[kmax+1:end]          # lags 0..kmax
r31 = correlacion_cruzada(a3, a1, kmax)[kmax+1:end]
τ = (0:kmax) ./ 100
fig = Figure(size=(780, 380))
ax = Axis(fig[1, 1]; xlabel="retardo τ (s)", ylabel="correlación ((m/s²)²)")
lines!(ax, τ, r33; color=AZUL, linewidth=1.6, label="r₃₃ (autocorrelación de la cubierta)")
lines!(ax, τ, r31; color=NARANJA, linewidth=1.6, label="r₃₁ (cubierta → planta 1)")
axislegend(ax; position=:rt)
fig

Figura 1: Correlaciones de las aceleraciones del escenario A: autocorrelación de la cubierta (azul) y correlación cruzada cubierta → planta 1 (naranja), retardos de 0 a 8 s. Ambas son oscilaciones amortiguadas con las frecuencias del edificio; la cruzada tiene signos distintos según el modo y no es máxima en \(\tau=0\).

Con ellas como si fueran respuestas impulsionales, ERA (A1.5) estima frecuencias y amortiguamientos con orden \(n=6\) (tres modos). Se compara con los valores verdaderos para los escenarios A y C:

function era_corr(esc)
    D = readdlm(RUTA * "escenario_$(esc).csv", ';', skipstart=1)
    c = correlacion_cruzada(D[:, 4], D[:, 2], kmax)[kmax+1:end]
    era(c, 6, 0.01)
end
filas = String[]
for e in (:A, :C)
    M, C, K = edificio_tres_plantas(escenario=e)
    fv, P = modos_propios(K, M)
    zv = diag(P' * C * P) ./ (2 .* 2π .* fv)
    fe, ze = era_corr(String(e))
    for j in 1:3
        push!(filas, "| $e | $j | $(coma(fv[j]; d=3)) | $(coma(fe[j]; d=3)) | $(coma(100 * zv[j]; d=2)) | $(coma(100 * ze[j]; d=2)) |")
    end
end
Markdown.parse("| Escenario | Modo | f verdadera | f estimada | ζ verdadero (%) | ζ estimado (%) |\n|:--:|:--:|--:|--:|--:|--:|\n" * join(filas, "\n"))

Tabla 1: Frecuencias (Hz) y amortiguamientos (%) estimados aplicando ERA de orden 6 a la correlación cruzada cubierta → planta 1 (retardos 0 a 8 s), frente a los valores verdaderos de cada escenario.

Escenario	Modo	f verdadera	f estimada	ζ verdadero (%)	ζ estimado (%)
A	1	1,105	1,106	1,00	0,76
A	2	2,939	2,934	1,00	1,01
A	3	4,390	4,406	1,27	1,35
C	1	1,084	1,085	1,02	1,11
C	2	2,931	2,930	1,00	1,15
C	3	4,254	4,245	1,31	1,17

El resultado es notable por su sencillez: sin conocer la fuerza, las frecuencias salen con errores menores del \(0{,}4\,\%\) (en ambos escenarios, incluido el cambio de \(-1{,}85\,\%\) y \(-3{,}1\,\%\) del daño), y los amortiguamientos con el orden de magnitud correcto pero con errores de hasta un \(25\,\%\) (por ejemplo, \(0{,}76\,\%\) frente a \(1{,}00\,\%\) en el primer modo del escenario A). Es la pauta de siempre: las frecuencias son robustas; los amortiguamientos, no. Con un orden mayor, ERA incorpora polos espurios (en una prueba con \(n=8\) aparece un cuarto polo de \(2{,}9\) Hz y \(\zeta\) distinto), que es lo que los diagramas de estabilización de M7 ayudan a descartar.

AdvertenciaLa correlación estima la respuesta libre solo si la excitación es blanca

La ecuación 1 de P2.3 exige que la fuerza sea ruido blanco (o suficientemente ancha respecto de los modos) y estacionaria. Con una excitación armónica (una máquina) la correlación contiene su frecuencia, que no decae, y se confunde con un modo de amortiguamiento nulo. Con una excitación no estacionaria, la correlación mezcla estados distintos (P1).