A1.2 Matrices fundamentales

A1 · Matrices estructuradas

Estas son las familias que se usan sin parar. Cada una lleva asociada una propiedad que se puede comprobar numéricamente y un significado físico.

Tabla 1: Matrices fundamentales.

Matriz	Definición	Qué garantiza	Dónde aparece
Diagonal	\(a_{ij}=0\) si \(i\ne j\)	valores propios = diagonal	masas concentradas; \(\boldsymbol\Sigma\) de la SVD
Triangular	ceros por encima (o por debajo) de la diagonal	se resuelve por sustitución	factorizaciones LU y Cholesky
Simétrica / antisimétrica	\(\mathbf A=\mathbf A^{\mathsf T}\) / \(\mathbf A=-\mathbf A^{\mathsf T}\)	simétrica: valores propios reales y vectores ortogonales	\(\mathbf M\), \(\mathbf K\), covarianzas
Hermítica / antihermítica	\(\mathbf A=\mathbf A^{\mathsf H}\) / \(\mathbf A=-\mathbf A^{\mathsf H}\)	igual, en complejo	matrices espectrales cruzadas
Ortogonal / unitaria	\(\mathbf Q^{\mathsf T}\mathbf Q=\mathbf I\) / \(\mathbf U^{\mathsf H}\mathbf U=\mathbf I\)	conserva normas y ángulos; \(\kappa_2=1\)	modos normalizados; DFT\(/\sqrt N\)
Idempotente	\(\mathbf P^2=\mathbf P\)	valores propios 0 o 1	proyecciones
Proyector ortogonal	idempotente y simétrica	proyecta sobre un subespacio sin deformarlo	mínimos cuadrados
Semidefinida positiva	\(\mathbf x^{\mathsf T}\mathbf A\mathbf x\ge0\)	valores propios \(\ge0\)	energía; covarianzas; Gram
Definida positiva	\(\mathbf x^{\mathsf T}\mathbf A\mathbf x>0\) si \(\mathbf x\ne\mathbf 0\)	valores propios \(>0\); admite Cholesky	\(\mathbf M\) siempre; \(\mathbf K\) con apoyos
Gram	\(\mathbf G=\mathbf A^{\mathsf T}\mathbf A\)	semidefinida; mismo rango que \(\mathbf A\)	ecuaciones normales; MAC
Covarianza	\(\mathbf C=\mathbb E[(\mathbf x-\boldsymbol\mu)(\mathbf x-\boldsymbol\mu)^{\mathsf T}]\)	simétrica y semidefinida	PCA; matrices de correlación

Teorema espectral. Una matriz real simétrica \(\mathbf A\) se puede escribir como \(\mathbf A=\mathbf Q\boldsymbol\Lambda\mathbf Q^{\mathsf T}\), con \(\mathbf Q\) ortogonal y \(\boldsymbol\Lambda\) diagonal real. Es la base del análisis modal (A2): para \(\mathbf K\boldsymbol\phi=\omega^2\mathbf M\boldsymbol\phi\) con \(\mathbf M\) y \(\mathbf K\) simétricas y \(\mathbf M\) definida positiva, hay \(n\) frecuencias \(\omega_i^2\) reales y modos \(\boldsymbol\phi_i\) ortogonales respecto de \(\mathbf M\) y de \(\mathbf K\).

Energía. La energía cinética de un sistema es \(T=\tfrac12\dot{\mathbf u}^{\mathsf T}\mathbf M\dot{\mathbf u}\) y la de deformación \(U=\tfrac12\mathbf u^{\mathsf T}\mathbf K\mathbf u\). Que \(\mathbf M\) sea definida positiva significa que cualquier movimiento tiene energía cinética positiva (la masa nunca es cero ni negativa). Que \(\mathbf K\) sea semidefinida positiva significa que ningún movimiento libera energía; será definida solo si no hay movimientos de sólido rígido.

AdvertenciaHipótesis que hay que comprobar

\(\mathbf K\) puede ser solo semidefinida. Una estructura sin apoyos (un avión en vuelo, una cadena de masas libre en los dos extremos) tiene movimientos de sólido rígido que no deforman ningún muelle: están en el núcleo de \(\mathbf K\), que es singular y no admite Cholesky. Una covarianza muestral puede ser singular. La covarianza de \(n\) variables estimada con \(N\) muestras tiene rango como mucho \(N-1\): si \(N\le n\), no es invertible.

function cadena_libre(n)                          # n masas, muelles k = 1 entre vecinas, sin apoyos
    K = zeros(n, n)
    for i in 1:n-1
        K[i, i] += 1; K[i+1, i+1] += 1; K[i, i+1] -= 1; K[i+1, i] -= 1
    end
    K
end
Klibre = cadena_libre(5)
_, Kanc = cadena_masas_muelles(5)
Kanc = Matrix(Kanc)                               # la misma cadena anclada a una pared
λlibre = eigvals(Symmetric(Klibre))
rng = Xoshiro(11)
X = randn(rng, 6, 4)                              # 4 muestras de 6 variables
Ccov = cov(X; dims=2)                             # covarianza 6×6 con solo 4 muestras
info = (
    rango_libre = rank(Klibre), menor_libre = minimum(λlibre),
    chol_libre = isposdef(Klibre), chol_anclada = isposdef(Kanc),
    rango_cov = rank(Ccov),
)
nothing

Para la cadena libre de 5 masas, el menor valor propio de \(\mathbf K\) es 9,1e-17 (cero salvo redondeo), su rango es 4 (una menos que el orden) y no es definida positiva (isposdef da false); al anclar un extremo a una pared deja de haber movimientos de sólido rígido y isposdef da true. La covarianza de 6 variables con solo 4 muestras tiene rango 3, que es \(N-1=3\).

Proyectores. Si \(\mathbf A\) tiene rango completo por columnas, \(\mathbf P=\mathbf A(\mathbf A^{\mathsf T}\mathbf A)^{-1}\mathbf A^{\mathsf T}\) es el proyector ortogonal sobre la imagen de \(\mathbf A\): cumple \(\mathbf P^2=\mathbf P=\mathbf P^{\mathsf T}\). El residuo de mínimos cuadrados es \(\mathbf b-\mathbf P\mathbf b=(\mathbf I-\mathbf P)\mathbf b\), ortogonal a la imagen. Un idempotente no simétrico es un proyector oblicuo: proyecta, pero no a lo largo de la dirección perpendicular. Aparecen en los métodos de subespacios (M7.8).

La matriz de rigidez de una estructura sin ningún apoyo es definida positiva.

Falso. Los movimientos de sólido rígido (traslaciones y giros) están en el núcleo de \(\mathbf K\): la hacen singular y, como mucho, semidefinida positiva. Hace falta fijar la estructura (o eliminar esos modos) para que sea definida positiva.

Se estima la covarianza de \(n=6\) variables con \(N=4\) muestras. ¿Cuál es el rango máximo de la matriz de covarianza muestral?

\(N-1=3\): las \(N\) muestras centradas son linealmente dependientes (suman cero), así que generan un subespacio de dimensión como mucho \(N-1\).