S3.1 La transformada Z
S3 · Transformada Z y sistemas discretos
Definición 1 Transformada Z. Para una secuencia \(x[k]\), \(k\ge0\), \(X(z)=\mathcal Z[x](z)=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}x[k]\,z^{-k}\), con \(z\in\mathbb C\) en la región donde la serie converge.
La propiedad más útil es el desplazamiento: retrasar la secuencia una muestra, \(x[k-1]\), equivale a multiplicar por \(z^{-1}\) (con condiciones iniciales nulas). Por eso una ecuación en diferencias
\[ y[k]+a_1y[k-1]+\dots+a_py[k-p]=b_0u[k]+b_1u[k-1]+\dots+b_qu[k-q] \]
se convierte en \(A(z)Y(z)=B(z)U(z)\), con función de transferencia discreta \(H(z)=B(z)/A(z)\). Sus polos son las raíces de \(A(z)\); el sistema es estable si todas están dentro del círculo unidad, \(\lvert z_k\rvert<1\). Si no hay numerador (\(B(z)=b_0\)), el modelo es autorregresivo (AR): todo polos.