P2.2 Estimar un retardo

P2 · Covarianza, autocorrelación y correlación cruzada

El retardo entre dos registros es la posición del máximo de \(\hat r_{xy}\). Su resolución es una muestra (\(1/f_{\mathrm s}\)); con interpolación parabólica del máximo se puede bajar de la muestra si el pico es nítido. Pero cuidado: (1) una señal de banda estrecha (casi una sinusoide) tiene una correlación periódica, con muchos máximos equivalentes (ambigüedad de \(T\)); (2) el ruido ensancha o desplaza el máximo; (3) con tendencias o no estacionariedad aparecen correlaciones espurias.

Laboratorio: estimar un retardo

import {correlacionCruzada, rng, normal} from "../../recursos/js/matematicas.js"

Simulación 1. Retardo entre dos sensores. La señal \(x\) es ruido filtrado (un AR(1) con coeficiente \(\phi\): cuanto mayor, más lenta); \(y\) es \(x\) retrasada \(d\) muestras más ruido de medida independiente. Se muestra la correlación cruzada, la banda de significación \(\pm1{,}96/\sqrt N\) y el retardo estimado (máximo).

viewof retardo = Inputs.range([-30, 30], {value: 12, step: 1, label: "retardo real d (muestras)"})
viewof phi_c = Inputs.range([0, 0.98], {value: 0.7, step: 0.01, label: "coeficiente φ de la señal"})
viewof ruido_c = Inputs.range([0, 4], {value: 1, step: 0.1, label: "ruido de medida (σ relativo a la señal)"})
viewof Nc = Inputs.select([128, 256, 512, 1024, 4096], {value: 512, label: "longitud N"})

cc = {
  const g = rng(21), N = Nc, m = 60, pad = 40;
  const e = Array.from({length: N + 2 * pad}, () => normal(g));
  const s = new Array(e.length); s[0] = e[0];
  for (let k = 1; k < e.length; k++) s[k] = phi_c * s[k - 1] + e[k];
  const sd = Math.sqrt(s.reduce((a, v) => a + v * v, 0) / s.length);
  const x = s.slice(pad, pad + N);
  const y = s.slice(pad - retardo, pad - retardo + N).map(v => v + ruido_c * sd * normal(g));
  const r = correlacionCruzada(x, y, m);
  const rho = r.map(v => v / Math.sqrt(correlacionCruzada(x, x, 0)[0] * correlacionCruzada(y, y, 0)[0]));
  const pts = rho.map((v, i) => ({k: i - m, v}));
  const pico = pts.reduce((a, b) => b.v > a.v ? b : a);
  return {pts, pico, banda: 1.96 / Math.sqrt(N)};
}

Plot.plot({
  width: 720, height: 300, marginLeft: 55, x: {label: "retardo k (muestras)"}, y: {label: "coeficiente de correlación ρ[k]", domain: [-1, 1]},
  marks: [
    Plot.ruleY([0]), Plot.ruleY([cc.banda, -cc.banda], {stroke: "#D95F02", strokeDasharray: "5,4"}),
    Plot.ruleX(cc.pts, {x: "k", y: "v", stroke: "#1B6CA8"}),
    Plot.dot([cc.pico], {x: "k", y: "v", fill: "#D95F02", r: 5})
  ]
})

md`**Retardo estimado:** **${cc.pico.k}** muestras (real: ${retardo}). Máximo de ρ: **${cc.pico.v.toFixed(2).replace(".", ",")}**; banda de significación: ±**${cc.banda.toFixed(3).replace(".", ",")}**. ${cc.pico.k === retardo ? "✓ Coincide." : "✗ No coincide: el máximo no es el retardo real."} ${cc.pico.v < 2 * cc.banda ? "⚠️ El pico apenas supera la banda: poco fiable." : ""}`

Hipótesis y límites de la simulación 1

• Señales: un AR(1) con ruido de medida independiente y un retardo entero; semilla fija. En una estructura real, el retardo entre sensores depende de la frecuencia (dispersión) y no es entero.
• Qué se observa: con \(\phi\) alto, el pico es ancho y la ubicación del máximo es menos precisa; con ruido grande o \(N\) pequeño el pico se esconde en la banda; con \(\phi\) casi 0 (ruido blanco) el pico es muy nítido.
• Qué no se puede concluir: que un retardo entre dos señales indique causalidad: la correlación mide parecido, no causa.