S2.4 Simulación de la respuesta

S2 · Espacio de estados

Con \(\mathbf A_{\mathrm d}\) y \(\mathbf B_{\mathrm d}\) la simulación es una recursión. Para una excitación ambiental de fuerzas independientes, de ruido blanco, el edificio produce un registro cuya densidad espectral muestra las tres frecuencias naturales. Es exactamente el procedimiento con que se han generado los datos de datos/edificio-3-plantas/ (véase scripts/generar_edificio.jl).

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dt = 0.01
Ad, Bd = discretizar_zoh(A3, B3, dt)
N = 4096
x = zeros(6)
a = zeros(N)
Minv = inv(M3)
for k in 1:N
    u = k == 1 ? 1.0e4 / dt : 0.0                      # impulso de 10⁴ N·s aplicado en el primer paso
    acc = Minv * ([0.0, 0.0, u] - C3 * x[4:6] - K3 * x[1:3])
    a[k] = acc[3]
    x = Ad * x + Bd * [u]
end
fr, P = psd_welch(a, 1 / dt; nseg=2048)
fig = Figure(size=(780, 480))
ax1 = Axis(fig[1, 1]; xlabel="t (s)", ylabel="a₃ (m/s²)", limits=(0, 40, nothing, nothing))
lines!(ax1, (0:N-1) .* dt, a; color=AZUL, linewidth=1.2)
ax2 = Axis(fig[2, 1]; xlabel="f (Hz)", ylabel="PSD (m/s²)²/Hz", yscale=log10, limits=(0, 6, 1e-14, nothing))
lines!(ax2, fr, P; color=NARANJA, linewidth=1.6)
vlines!(ax2, f3; color=GRIS, linestyle=:dash)
fig

Dos gráficas. La de arriba muestra una señal oscilatoria que decae lentamente durante 40 segundos. La de abajo muestra su espectro con tres picos, en 1,1, 2,9 y 4,4 hercios. — Figura 1: Respuesta libre del edificio de tres plantas a un impulso en la cubierta, calculada con la discretización exacta a 100 Hz. Arriba, aceleración de la cubierta; abajo, su densidad espectral de potencia: los tres picos están en las frecuencias naturales.