P1.2 Procesos estocásticos

P1 · Variables aleatorias y procesos estocásticos

Definición 1 Proceso estocástico. Una familia de variables aleatorias \(\{X(t)\}\) indexada por el tiempo. Una realización es una trayectoria \(x(t)\) concreta: lo que medimos. La media de conjunto es \(\mu(t)=\mathbb E[X(t)]\) (se promedia entre realizaciones, en un instante fijo) y la autocovarianza es \(C(t_1,t_2)=\operatorname{cov}(X(t_1),X(t_2))\).

Definición 2 Estacionariedad débil. \(\mu(t)=\mu\) constante y \(C(t_1,t_2)=r(t_2-t_1)\) depende solo del retardo. Es la que se necesita en este curso. Tiene dos consecuencias: la varianza \(r(0)\) es constante, y la autocorrelación \(r(\tau)\) es una función par de \(\tau\) y define el espectro por el teorema de Wiener–Khinchin, \(S(f)=\int r(\tau)e^{-\mathrm j2\pi f\tau}\mathrm d\tau\).

Definición 3 Ergodicidad. Un proceso estacionario es ergódico (en media y en autocorrelación) si los promedios en el tiempo de una sola realización convergen a los promedios de conjunto: \(\frac1T\int_0^Tx(t)\,\mathrm dt\to\mu\) y \(\frac1T\int_0^Tx(t)x(t+\tau)\,\mathrm dt\to r(\tau)\) cuando \(T\to\infty\).

La ergodicidad es lo que justifica la práctica de estimar el espectro de un puente con un único registro de unas horas: se acepta que el promedio temporal representa a los infinitos registros posibles. Es una hipótesis, no un hecho, y falla de dos maneras sencillas:

• No estacionario: el proceso cambia con el tiempo (un paseo aleatorio, cuya varianza crece con \(t\); o una excitación que varía con el tráfico).
• Estacionario pero no ergódico: cada realización tiene su propio nivel (una constante aleatoria \(B\) más ruido: la media de conjunto es 0, pero cada registro tiene media \(B\)).

Dos procesos de referencia:

• Ruido blanco \(e[k]\): variables independientes de media 0 y varianza \(\sigma^2\); \(r(0)=\sigma^2\) y \(r(\tau)=0\) si \(\tau\neq0\); espectro plano. Es una idealización (energía infinita en continuo), válida cuando es más ancho que el sistema que excita.
• AR(1): \(x[k]=\phi\,x[k-1]+e[k]\), con \(\lvert\phi\rvert<1\); es estacionario si se inicia en su distribución estacionaria, con \(r(\tau)=\dfrac{\sigma^2\phi^{\lvert\tau\rvert}}{1-\phi^2}\). Es el proceso del apartado A1.4.

Laboratorio: conjuntos de realizaciones

import {rng, normal} from "../../recursos/js/matematicas.js"

Simulación 1. Estacionariedad y ergodicidad. Elige un proceso y el número de realizaciones. Se dibujan las realizaciones (líneas finas), la media de conjunto (negra) con su banda \(\pm1\) desviación, y la media temporal de la primera realización (naranja).

viewof proceso = Inputs.select(["AR(1) estacionario", "Paseo aleatorio (no estacionario)", "Nivel aleatorio + ruido (no ergódico)"], {label: "proceso"})
viewof phi_lab = Inputs.range([0, 0.98], {value: 0.9, step: 0.01, label: "φ (solo AR(1))"})
viewof nr = Inputs.range([5, 300], {value: 100, step: 5, label: "realizaciones"})

conjunto = {
  const T = 300, g = rng(7);
  const reales = Array.from({length: nr}, () => {
    const x = new Array(T);
    if (proceso.startsWith("AR")) { x[0] = normal(g) / Math.sqrt(1 - phi_lab ** 2); for (let k = 1; k < T; k++) x[k] = phi_lab * x[k - 1] + normal(g); }
    else if (proceso.startsWith("Paseo")) { x[0] = normal(g); for (let k = 1; k < T; k++) x[k] = x[k - 1] + normal(g); }
    else { const b = 2 * normal(g); for (let k = 0; k < T; k++) x[k] = b + normal(g); }
    return x;
  });
  const media = Array.from({length: T}, (_, k) => reales.reduce((s, x) => s + x[k], 0) / nr);
  const sd = Array.from({length: T}, (_, k) => Math.sqrt(reales.reduce((s, x) => s + (x[k] - media[k]) ** 2, 0) / nr));
  const mt = reales[0].reduce((a, v) => a + v, 0) / T;
  return {reales, media, sd, mt, T};
}

Plot.plot({
  width: 720, height: 360, marginLeft: 50, x: {label: "instante k"}, y: {label: "x"},
  marks: [
    ...conjunto.reales.slice(0, 15).map(x => Plot.line(x.map((v, k) => ({k, v})), {x: "k", y: "v", stroke: "#9CA3AF", strokeWidth: 0.7})),
    Plot.areaY(conjunto.media.map((m, k) => ({k, lo: m - conjunto.sd[k], hi: m + conjunto.sd[k]})), {x: "k", y1: "lo", y2: "hi", fill: "#1B6CA8", fillOpacity: 0.18}),
    Plot.line(conjunto.media.map((v, k) => ({k, v})), {x: "k", y: "v", stroke: "#1F2937", strokeWidth: 2}),
    Plot.ruleY([conjunto.mt], {stroke: "#D95F02", strokeWidth: 2, strokeDasharray: "6,4"})
  ]
})

md`**Media de conjunto** en el instante final: **${conjunto.media[conjunto.T - 1].toFixed(2).replace(".", ",")}**. **Media temporal** de la realización 1: **${conjunto.mt.toFixed(2).replace(".", ",")}**. **Desviación de conjunto** en k = 50 y k = 299: **${conjunto.sd[50].toFixed(2).replace(".", ",")}** y **${conjunto.sd[conjunto.T - 1].toFixed(2).replace(".", ",")}**. ${Math.abs(conjunto.sd[conjunto.T - 1] / conjunto.sd[50] - 1) > 0.35 ? "⚠️ La varianza **cambia con el tiempo**: no es estacionario." : Math.abs(conjunto.mt - conjunto.media[conjunto.T - 1]) > 0.6 * conjunto.sd[conjunto.T - 1] ? "⚠️ La media temporal de esta realización **no coincide** con la de conjunto: no es ergódico." : "La media temporal y la de conjunto concuerdan: compatible con estacionario y ergódico."}`

Hipótesis y límites de la simulación 1

• Procesos: tres modelos mínimos con semilla fija. Los datos reales mezclan varios efectos (tráfico, viento, temperatura).
• Criterio automático: el aviso usa umbrales sencillos (varianza que cambia más de un 35 % entre \(k=50\) y el final; media temporal alejada más de \(0{,}6\sigma\)) que no son un contraste estadístico: sirven de guía visual.
• Qué se observa: con \(\phi\) alto el AR(1) tarda más en «olvidar»: las medias temporales de registros cortos se dispersan más (la ergodicidad se cumple, pero necesita más tiempo).
• Qué no se puede concluir: que un registro «parezca estacionario» demuestre que lo sea; se pueden detectar incumplimientos, no probar su ausencia.