F1.2 Transformada de Fourier

F1 · Series y transformada de Fourier

Si la señal no es periódica, el espectro pasa a ser continuo:

\[ X(f)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)\,e^{-\mathrm j2\pi ft}\,\mathrm dt,\qquad x(t)=\int_{-\infty}^{\infty}X(f)\,e^{\mathrm j2\pi ft}\,\mathrm df . \tag{1}\]

Es la transformada de Laplace sobre el eje imaginario (\(s=\mathrm j2\pi f\)). Propiedades que se usan todo el tiempo: la linealidad; el desplazamiento temporal (multiplica por una fase, no cambia el módulo); la convolución \(x*h\leftrightarrow XH\); y la relación ancho–duración: cuanto más corta es una señal, más ancho es su espectro (un impulso lo tiene plano; una sinusoide infinita, una línea). Parseval también vale aquí: \(\int\lvert x\rvert^2\mathrm dt=\int\lvert X\rvert^2\mathrm df\).