P2.3 La correlación como respuesta libre

P2 · Covarianza, autocorrelación y correlación cruzada

Sea un sistema \(\mathbf x_{k+1}=\mathbf A\mathbf x_k+\mathbf w_k\), \(\mathbf y_k=\mathbf C\mathbf x_k\) excitado por ruido blanco \(\mathbf w_k\). Las covarianzas de la salida cumplen, para \(\tau\ge1\),

\[ \boldsymbol\Lambda_\tau=\mathbb E[\mathbf y_{k+\tau}\mathbf y_k^{\mathsf T}]=\mathbf C\,\mathbf A^{\tau-1}\,\mathbf G,\qquad \mathbf G=\mathbf A\boldsymbol\Sigma\mathbf C^{\mathsf T}, \tag{1}\]

con \(\boldsymbol\Sigma\) la covarianza del estado: es la misma forma que la respuesta impulsional \(h_\tau=\mathbf C\mathbf A^{\tau-1}\mathbf B\) de A1.5. Por eso la sucesión de correlaciones decae y oscila con los mismos polos que la respuesta libre del sistema, y se puede alimentar a ERA como si fuera una respuesta impulsional (es la idea de la técnica de excitación natural, NExT, y de SSI-COV; el desarrollo completo está en M7).