Práctica y cierre

F2 · Transformada de Hilbert y señal analítica

Práctica guiada

NotaPráctica guiada

1. Simula la respuesta libre del edificio (espacio_estados y discretizar_zoh) a 100 Hz durante 41 s.
2. Aísla el primer modo con un filtro paso banda ideal en la FFT (0,8–1,5 Hz).
3. Calcula la señal analítica y ajusta una recta a \(\ln A(t)\) en el tramo central; deduce \(\zeta\).
4. Repite sin filtrar y comprueba que la frecuencia instantánea carece de sentido.

Julia

using Resonancia
z = hilbert_analitica(modo1)               # modo1: respuesta del modo aislado, N potencia de 2
env, fase = abs.(z), fase_instantanea(z)
tramo = 300:2500
pendiente = ([ones(length(tramo)) t[tramo]] \ log.(env[tramo]))[2]
zeta = -pendiente / (2π * f1)               # f1: frecuencia del modo (Hz)

Python

import numpy as np
import matrices as mx      # python/matrices.py (probado con pytest)

z = mx.hilbert_analitica(modo1)
env, fase = np.abs(z), np.unwrap(np.angle(z))
tramo = slice(300, 2500)
pendiente = np.polyfit(t[tramo], np.log(env[tramo]), 1)[0]
zeta = -pendiente / (2 * np.pi * f1)

El código Python no se ejecuta en la web: hilbert_analitica está probada con pytest frente a Julia y a scipy.signal.hilbert en python/matrices.py.

«Pídeselo a Claude»

TipPrompt

«Con Julia y Resonancia: simula la respuesta libre del edificio de tres plantas con edificio_tres_plantas, espacio_estados y discretizar_zoh a 100 Hz durante 41 s con un impulso en la cubierta. Aísla el primer modo con un filtro paso banda, calcula la envolvente con hilbert_analitica y estima ζ ajustando una recta a ln A(t) en un tramo sin bordes. Repite añadiendo ruido blanco de σ = 1 % del máximo y dime cómo cambia la estimación.»

Verifica. (a) Que aísla un modo antes de calcular la envolvente. (b) Que ajusta el tramo central y no los bordes. (c) Que \(\zeta=-\text{pendiente}/\omega_n\) y que el resultado ronda el \(1\,\%\) sin ruido. (d) Que con ruido restringe el ajuste a donde la envolvente supera el ruido. (e) Que da el sesgo y la dispersión, no una sola cifra.

Ejercicios

La frecuencia instantánea de la señal analítica de un registro con tres modos es la frecuencia del modo dominante.

Falso. Con varios componentes la señal no es de banda estrecha; la frecuencia instantánea oscila por el batido y puede salirse del rango de los modos.

Una respuesta libre de un modo de \(f=2\) Hz tiene una envolvente que cae de \(1\) a \(0{,}3\) en \(9{,}6\) s. ¿Cuánto vale \(\zeta\)?

\(\ln(0{,}3)=-1{,}204\); pendiente \(=-1{,}204/9{,}6\); \(\omega_n=2\pi\cdot2\).

Pendiente \(=-0{,}1254\) s\(^{-1}=-\zeta\omega_n\), luego \(\zeta=0{,}1254/12{,}566=0{,}00998\approx1\,\%\).

La señal analítica de \(x(t)=\cos(2\pi f_0t)\) es \(e^{\mathrm j2\pi f_0t}\). ¿Cuánto vale su envolvente?

\(\lvert z\rvert=1\): es constante y igual a la amplitud.

Estimas el amortiguamiento de un modo con la envolvente de Hilbert, pero la recta de \(\ln A\) se dobla hacia arriba al final del registro. ¿Qué ha pasado y qué haces?

• Reconozco que al decaer la señal, el ruido domina y la envolvente deja de decaer (suelo de ruido).
• Propongo ajustar solo el tramo donde la señal supera claramente el ruido.
• Menciono los bordes de la FFT u otras causas (otro modo, no linealidad) como comprobaciones.

La envolvente se aplana porque el ruido sustituye a la señal. Se ajusta solo el tramo con señal por encima del ruido (por ejemplo, hasta que la envolvente baja a 3–5 veces la desviación del ruido) y se comprueba que el resultado no depende mucho del tramo elegido.

La doy por superada si…

• Calculo la señal analítica con la FFT y obtengo envolvente, fase y frecuencia instantáneas.
• Sé que solo tienen sentido para señales de banda estrecha y aíslo un modo antes.
• Estimo \(\zeta\) con la pendiente de \(\ln A(t)\) y descarto bordes y suelo de ruido.
• Reconozco un batido de dos componentes en la envolvente.

Qué no dice esta unidad

• No se demuestra la condición de Bedrosian ni se trata el valor principal de Cauchy de la definición integral de la transformada.
• El filtro paso banda es una máscara ideal en frecuencia; en la práctica se usan filtros FIR/IIR de fase cero (M3), con sus propios efectos de borde.
• El método de la envolvente es uno entre varios para estimar \(\zeta\); su incertidumbre con ruido real no se ha estudiado con simulaciones de Monte Carlo.
• La interpretación de la frecuencia instantánea en sistemas no lineales (curvas de «esqueleto») no se desarrolla.
• La historia procede de una fuente enciclopédica y no cubre la señal analítica de procesado de señales.