Práctica y cierre

S3 · Transformada Z y sistemas discretos

Práctica guiada

Lee escenario_A.csv y toma la aceleración de la cubierta (columna 4).
Reduce el muestreo de 100 a 12,5 Hz promediando bloques de 8 muestras.
Ajusta un AR(8) con autocorrelacion, yule_walker y polos_ar. Compara las frecuencias con las del modelo.
Repite con el escenario C (daño en el entrepiso 2) y mira cómo cambian las frecuencias estimadas.

using Resonancia, DelimitedFiles, Statistics
D = readdlm("escenario_A.csv", ';', skipstart=1)
x = D[:, 4] .- mean(D[:, 4])
xd = [mean(@view x[i:i+7]) for i in 1:8:length(x)-7]
phi, sigma2 = yule_walker(autocorrelacion(xd, 8), 8)
f, zeta = polos_ar(phi, 0.08)

import numpy as np
import matrices as mx      # python/matrices.py (probado con pytest)

D = np.loadtxt("escenario_A.csv", delimiter=";", skiprows=1)
x = D[:, 3] - D[:, 3].mean()
xd = x[: len(x) // 8 * 8].reshape(-1, 8).mean(axis=1)
r = mx.autocorrelacion(xd, 8)
phi, sigma2 = mx.yule_walker(r, 8)
f, zeta = mx.polos_ar(phi, 0.08)

El código Python no se ejecuta en la web: polos_ar está probada con pytest frente a Julia en python/matrices.py.

«Pídeselo a Claude»

Prompt

«Con Julia y el paquete Resonancia: toma escenario_A.csv y escenario_C.csv (aceleraciones de un edificio de tres plantas a 100 Hz), decima por 8 con un promedio de bloques, ajusta un AR(8) con Yule–Walker y calcula frecuencias y amortiguamientos de los polos con polos_ar. Dime si los cambios de frecuencia entre A y C se pueden distinguir de la dispersión del método, haciendo el ajuste en varios tramos de 60 s de cada registro.»

Verifica. (a) Que decima (o dice por qué no) antes de ajustar el modelo. (b) Que usa polos_ar y compara con las frecuencias reales del edificio, que están en la ficha de datos. (c) Que no confunde polos espurios con modos y que filtra por amortiguamiento razonable. (d) Que da la dispersión de la frecuencia entre tramos antes de hablar de cambio. (e) Que no atribuye el cambio de amortiguamiento a daño: el amortiguamiento sale con mucha más incertidumbre.

Ejercicios

Un sistema discreto lineal es estable si y solo si todos sus polos están dentro del círculo unidad.

Verdadero: \(\lvert z_k\rvert<1\) equivale a \(\operatorname{Re}(s_k)<0\) por la correspondencia \(z=e^{s\Delta t}\) (ecuación 1 de S3.2).

Un polo continuo \(s=-0{,}5+10\,\mathrm j\) rad/s se muestrea con \(\Delta t=0{,}01\) s. ¿Cuánto vale el módulo del polo discreto?

\(\lvert z\rvert=e^{\sigma\Delta t}=e^{-0{,}5\cdot0{,}01}=e^{-0{,}005}=0{,}99501\) (y el ángulo es \(\omega\Delta t=0{,}1\) rad).

Un modelo ajustado a datos muestreados cada \(\Delta t=0{,}1\) s tiene un polo en \(z=0{,}9\,e^{\mathrm j\,0{,}3}\). ¿Cuánto vale el amortiguamiento relativo \(\zeta\)?

Usa la ecuación 2 de S3.2: \(\zeta=-\ln\lvert z\rvert/\lvert\ln z\rvert\) con \(\ln z=\ln0{,}9+0{,}3\,\mathrm j\).

\(\ln z=-0{,}10536+0{,}3\,\mathrm j\), \(\lvert\ln z\rvert=0{,}31796\), así que \(\zeta=0{,}10536/0{,}31796=0{,}3314\) y \(f=0{,}31796/(2\pi\cdot0{,}1)=0{,}506\) Hz.

Una vibración de 7 Hz se muestrea a 10 Hz sin filtro antialiasing. ¿A qué frecuencia aparente se ve?

\(\lvert7-10\rvert=3\) Hz: la frecuencia de Nyquist es 5 Hz y 7 Hz se pliega hacia abajo.

Ajustas un AR(6) a una aceleración de un puente muestreada a 200 Hz, cuyos modos de interés están entre 1 y 6 Hz, y los resultados no tienen sentido. Propón dos cambios que probarías y explica por qué.

Propongo reducir la frecuencia de muestreo (decimación con filtro antialiasing) para concentrar el orden del modelo en la banda de interés.
Propongo aumentar el orden y distinguir polos físicos de espurios (amortiguamiento, estabilidad al cambiar el orden).
Menciono el mal condicionamiento de la matriz de Toeplitz con polos próximos a \(z=1\) o la conveniencia de métodos mejores (ERA, SSI, FDD).

Decimar (con un filtro paso bajo que evite el aliasing) a unos 20–25 Hz, de modo que los polos se separen de \(z=1\) y la matriz de Toeplitz esté mejor condicionada, y subir el orden mirando qué polos se mantienen al cambiarlo. Y valorar métodos de identificación más robustos (M7).

La doy por superada si…

Escribo la función de transferencia discreta de una ecuación en diferencias y reconozco sus polos.
Paso de polos continuos a discretos con \(z=e^{s\Delta t}\) y al revés con \(\ln z/\Delta t\).
Obtengo \(f\) y \(\zeta\) de un polo discreto.
Explico el aliasing y por qué el logaritmo complejo es multivaluado.
Ajusto un AR con Yule–Walker, calculo sus polos e interpreto cuáles son modos y cuáles espurios.
Sé que el amortiguamiento estimado es mucho menos fiable que la frecuencia.

Qué no dice esta unidad

El método AR de Yule–Walker se usa aquí como ejemplo didáctico, no como método de identificación recomendado; ERA, SSI y FDD (M7) están pensados para esto.
Se usa un promedio de bloques como filtro de decimación; un diseño correcto del filtro antialiasing (FIR/IIR) es tema de M3 y M8.
La tabla de resultados es de un registro y una semilla; no se ha hecho un estudio de dispersión entre registros (se propone en «Pídeselo a Claude»).
No se desarrolla la región de convergencia de la transformada Z ni las propiedades de la transformada inversa; se usan fracciones simples en la práctica.
Las atribuciones históricas proceden de una fuente enciclopédica y deben contrastarse antes de citarlas en un trabajo formal.