S2.1 De la ecuación de segundo orden a la de primer orden

S2 · Espacio de estados

Sea \(\mathbf M\ddot{\mathbf q}+\mathbf C\dot{\mathbf q}+\mathbf K\mathbf q=\mathbf B_2\mathbf u\), con \(\mathbf u\) las fuerzas aplicadas y \(\mathbf B_2\) la matriz que dice dónde. Si se toma como estado \(\mathbf x=\begin{bmatrix}\mathbf q\\\dot{\mathbf q}\end{bmatrix}\), resulta

\[ \dot{\mathbf x}=\underbrace{\begin{bmatrix}\mathbf 0&\mathbf I\\-\mathbf M^{-1}\mathbf K&-\mathbf M^{-1}\mathbf C\end{bmatrix}}_{\mathbf A}\mathbf x+\underbrace{\begin{bmatrix}\mathbf 0\\\mathbf M^{-1}\mathbf B_2\end{bmatrix}}_{\mathbf B}\mathbf u . \tag{1}\]

La ecuación de salida dice qué se mide, \(\mathbf y=\mathbf C_{\mathrm s}\mathbf x+\mathbf D\mathbf u\). Para un sensor de desplazamiento, \(\mathbf C_{\mathrm s}=[\mathbf L_{\mathrm d}\;\mathbf 0]\); de velocidad, \([\mathbf 0\;\mathbf L_{\mathrm v}]\); y de aceleración (el acelerómetro, el sensor habitual en monitorización), como \(\ddot{\mathbf q}=-\mathbf M^{-1}\mathbf K\mathbf q-\mathbf M^{-1}\mathbf C\dot{\mathbf q}+\mathbf M^{-1}\mathbf B_2\mathbf u\),

\[ \mathbf C_{\mathrm s}=\mathbf L_{\mathrm a}\begin{bmatrix}-\mathbf M^{-1}\mathbf K&-\mathbf M^{-1}\mathbf C\end{bmatrix},\qquad \mathbf D=\mathbf L_{\mathrm a}\mathbf M^{-1}\mathbf B_2 . \tag{2}\]

Con acelerómetros aparece una transmisión directa \(\mathbf D\neq\mathbf 0\): la aceleración medida depende de la fuerza en el mismo instante. Los programas de identificación de salida solamente (sin conocer la fuerza) usan el modelo sin entrada medida y no necesitan \(\mathbf D\).

Diagrama de bloques con entrada u que pasa por B, un sumador, un integrador o retardo que da el estado x, la matriz A que realimenta el estado al sumador, la matriz C que da la salida y y la matriz D que une directamente la entrada con la salida.
Figura 1: Diagrama de bloques del sistema en espacio de estados. El mismo diagrama vale en tiempo continuo (integrador) y discreto (retardo \(z^{-1}\)).

Definición 1 Sistema lineal e invariante en espacio de estados. Es el cuarteto \((\mathbf A,\mathbf B,\mathbf C,\mathbf D)\) de \(\dot{\mathbf x}=\mathbf A\mathbf x+\mathbf B\mathbf u\), \(\mathbf y=\mathbf C\mathbf x+\mathbf D\mathbf u\). Su función de transferencia es \(\mathbf H(s)=\mathbf C(s\mathbf I-\mathbf A)^{-1}\mathbf B+\mathbf D\).

La representación no es única: el cambio de coordenadas \(\mathbf x=\mathbf T\mathbf x'\) con \(\mathbf T\) invertible da \((\mathbf T^{-1}\mathbf A\mathbf T,\;\mathbf T^{-1}\mathbf B,\;\mathbf C\mathbf T,\;\mathbf D)\), con la misma \(\mathbf H(s)\) y los mismos valores propios. Lo que identifica un experimento no es \(\mathbf A\) sino su clase de equivalencia: por eso los algoritmos de identificación (A1.5, ERA) devuelven una \(\widehat{\mathbf A}\) cuyos valores propios tienen sentido físico y cuyos elementos no.

Ver el código 
Mi = inv(M3)
C_acc = [(-Mi * K3)[3:3, :] (-Mi * C3)[3:3, :]]            # acelerómetro en la cubierta
D_acc = (Mi * [0.0, 0.0, 1.0])[3:3, :]
ω_t = 2π * 2.0
Hee = (C_acc * ((im * ω_t * I - A3) \ B3) + D_acc)[1]
Hrec_33 = inv(K3 - ω_t^2 * M3 + im * ω_t * C3)[3, 3]
(error_relativo = abs(Hee - (-ω_t^2) * Hrec_33) / abs(Hee))
6.938285936281308e-16

La función de transferencia de la aceleración de la cubierta calculada por el espacio de estados coincide con \(-\omega^2\,H_{33}(\mathrm j\omega)\) de S1 hasta el redondeo (error relativo 7e-16).