F1.3 La DFT
F1 · Series y transformada de Fourier
Un sensor da \(N\) muestras \(x[n]=x(n/f_{\mathrm s})\). La transformada discreta de Fourier es
\[ X[k]=\sum_{n=0}^{N-1}x[n]\,e^{-\mathrm j2\pi kn/N},\qquad k=0,\dots,N-1, \tag{1}\]
que da el espectro en las frecuencias \(f_k=kf_{\mathrm s}/N\). Se calcula con la FFT en \(O(N\log N)\) (en Resonancia, fft_radix2, para \(N\) potencia de 2). Tres números lo gobiernan:
| Magnitud | Fórmula | Qué significa |
|---|---|---|
| Resolución | \(\Delta f=f_{\mathrm s}/N=1/T\) | separación entre bins; la fija la duración \(T\) del registro |
| Frecuencia de Nyquist | \(f_{\mathrm s}/2\) | por encima, aliasing (S3) |
| Bins útiles | \(0,\dots,N/2\) | para una señal real, la segunda mitad es el espejo conjugado |
Escalado. Con \(X[k]\) sin normalizar, una sinusoide de amplitud \(A\) centrada en un bin da \(\lvert X[k]\rvert=AN/2\). Por eso el espectro de amplitud se escala como \(2\lvert X[k]\rvert/N\) (y \(\sum w[n]\) en lugar de \(N\) si hay ventana), mientras que la densidad espectral de potencia (PSD) se escala por \(2/(f_{\mathrm s}\sum w^2)\), para que la integral \(\sum P[k]\Delta f\) sea la varianza (Parseval; es lo que hace psd_welch).
Rellenar con ceros (zero-padding) un registro antes de la FFT da más puntos en el espectro, y hace que se vea más suave, pero no separa picos que antes no se separaban: la resolución está fijada por la duración del registro original. Dos modos separados \(0{,}05\) Hz solo se distinguen con un registro de, al menos, unos \(20\) s (más con una ventana, que ensancha el lóbulo principal).