Descomposición en valores singulares

Álgebra lineal · A3

Una matriz de seis por seis escrita como suma de tres capas de rango uno, cada una con su valor singular, junto a las barras de los valores singulares ordenadas de mayor a menor

Si hubiera que quedarse con una sola herramienta de álgebra lineal para trabajar con datos, sería esta. La descomposición en valores singulares (SVD, singular value decomposition) existe para cualquier matriz, rectangular o no, y dice con exactitud qué hace la matriz como aplicación, cuánta información tiene, cuál es su mejor versión más sencilla y cómo invertirla cuando no se puede. En monitorización estructural es la que ordena los datos (qué componentes dominan), la que decide cuántos modos hay (rango numérico) y la que está dentro de los algoritmos de identificación como ERA y SSI.

En A1 ya apareció la SVD en dos sitios (la geometría de un sistema mal condicionado y la regularización de un problema inverso). Aquí se estudia por sí misma.

NotaCómo se lee esta unidad

Tiempo orientativo: unas 3 horas, con la simulación y los ejercicios. Nivel: intermedio. Tres capas: intuición (figuras y simulación), fundamento (teoremas y demostraciones plegables) y aplicación (el edificio de tres plantas del caso transversal).

Objetivos y prerrequisitos

Objetivos. Al terminar esta unidad sabrás:

  • enunciar la SVD, calcularla con svd y relacionarla con los valores propios de \(\mathbf A^{\mathsf T}\mathbf A\);
  • interpretar los valores singulares como las longitudes de los semiejes de la imagen de la esfera unidad, y la norma 2 y el número de condición en esos términos;
  • enunciar y aplicar el teorema de Eckart–Young–Mirsky y medir cuánta «energía» captura una aproximación de rango \(r\);
  • calcular la pseudoinversa y la solución de mínima norma de un problema de mínimos cuadrados, también con rango deficiente;
  • decidir el rango numérico con un umbral razonado, incluida la cota de ruido de una matriz aleatoria;
  • aplicar la SVD a registros de varios sensores (POD, proper orthogonal decomposition) y comparar sus componentes con los modos físicos.

Prerrequisitos. A1 (normas y condicionamiento) y A2 (valores propios y modos).

Apartados

Id Apartado
A3.1 Definición y geometría
A3.2 La mejor aproximación de rango \(r\)
A3.3 Pseudoinversa y mínimos cuadrados
A3.4 Rango numérico
A3.5 La SVD de registros de varios sensores (POD)
A3 Práctica y cierre