A2.1 El problema estándar
A2 · Valores y vectores propios
Definición 1 Valor y vector propio. Un número \(\lambda\in\mathbb C\) es un valor propio (eigenvalue) de la matriz cuadrada \(\mathbf A\) si existe un vector \(\mathbf v\neq\mathbf 0\), el vector propio (eigenvector), con \(\mathbf A\mathbf v=\lambda\mathbf v\). Los valores propios son las raíces del polinomio característico \(\det(\mathbf A-\lambda\mathbf I)=0\).
Un vector propio es una dirección que la aplicación \(\mathbf A\) no gira: solo la estira o la encoge por un factor \(\lambda\). Por eso sirven para desacoplar: si el estado se escribe en la base de vectores propios, cada componente evoluciona por separado. En la práctica no se calculan buscando raíces de un polinomio (el problema de hallar raíces de polinomios de grado alto está mal condicionado), sino con algoritmos iterativos como el QR; en Julia, eigen y eigvals.
Teorema 1 Teorema espectral (caso real simétrico). Si \(\mathbf A\in\mathbb R^{n\times n}\) es simétrica, todos sus valores propios son reales y existe una base ortonormal de vectores propios: \(\mathbf A=\mathbf Q\boldsymbol\Lambda\mathbf Q^{\mathsf T}\) con \(\mathbf Q^{\mathsf T}\mathbf Q=\mathbf I\) y \(\boldsymbol\Lambda\) diagonal.
Valores propios reales. Sea \(\mathbf A\mathbf v=\lambda\mathbf v\) con \(\mathbf v\in\mathbb C^n\). Entonces \(\mathbf v^{\mathsf H}\mathbf A\mathbf v=\lambda\,\mathbf v^{\mathsf H}\mathbf v\). Como \(\mathbf A\) es real y simétrica, \(\mathbf A=\mathbf A^{\mathsf H}\) y el número \(\mathbf v^{\mathsf H}\mathbf A\mathbf v\) coincide con su conjugado, así que es real; como \(\mathbf v^{\mathsf H}\mathbf v>0\), \(\lambda\) es real.
Ortogonalidad. Si \(\mathbf A\mathbf v_1=\lambda_1\mathbf v_1\) y \(\mathbf A\mathbf v_2=\lambda_2\mathbf v_2\) con \(\lambda_1\neq\lambda_2\), entonces \(\lambda_1\mathbf v_1^{\mathsf T}\mathbf v_2=(\mathbf A\mathbf v_1)^{\mathsf T}\mathbf v_2=\mathbf v_1^{\mathsf T}\mathbf A\mathbf v_2=\lambda_2\mathbf v_1^{\mathsf T}\mathbf v_2\), de donde \((\lambda_1-\lambda_2)\mathbf v_1^{\mathsf T}\mathbf v_2=0\) y \(\mathbf v_1^{\mathsf T}\mathbf v_2=0\). Si un valor propio está repetido se eligen vectores ortonormales dentro de su subespacio. La existencia de la base completa se obtiene por inducción: se toma un vector propio, se pasa al complemento ortogonal (invariante por \(\mathbf A\)) y se repite. \(\square\)
Las matrices que no son simétricas pueden tener valores propios complejos, vectores propios no ortogonales e incluso no tener base completa de vectores propios (matrices defectuosas). Sus valores propios son, además, mucho más sensibles a las perturbaciones (véase el recuadro «Matrices que no son simétricas» de A2.4).
Referencias
Son las mismas que aparecen en el margen, junto al texto. La lista completa del curso, con el estado de verificación de cada ficha, está en recursos/bibliografia.bib del repositorio.
Stewart, G. W. 1993. «On the Early History of the Singular Value Decomposition». SIAM Review 35 (4): 551-66. https://doi.org/10.1137/1035134.