S1 · Transformada de Laplace y función de transferencia
Para \(\mathbf M\ddot{\mathbf u}+\mathbf C\dot{\mathbf u}+\mathbf K\mathbf u=\mathbf B\,\mathbf f(t)\) con condiciones iniciales nulas, la transformada es \((s^2\mathbf M+s\mathbf C+\mathbf K)\mathbf U(s)=\mathbf B\mathbf F(s)\). Si se mide una combinación lineal de desplazamientos, \(\mathbf y=\mathbf L\mathbf u\), la matriz de transferencia es
\[ \mathbf H(s)=\mathbf L\,(s^2\mathbf M+s\mathbf C+\mathbf K)^{-1}\mathbf B. \tag{1}\]
Sus elementos son cocientes de polinomios en \(s\): \(H_{ij}(s)=N_{ij}(s)/D(s)\). Las raíces del denominador común \(D(s)=\det(s^2\mathbf M+s\mathbf C+\mathbf K)\) son los polos; las raíces del numerador de cada elemento, los ceros.
Descomposición modal. Con amortiguamiento proporcional y los modos \(\boldsymbol\varphi_k\) normalizados a masa unidad (A2), cada elemento de la receptancia es una suma de \(n\) osciladores:
\[ H_{ij}(s)=\sum_{k=1}^{n}\frac{\varphi_{ik}\,\varphi_{jk}}{s^2+2\zeta_k\omega_k s+\omega_k^2}, \qquad \zeta_k=\frac{\boldsymbol\varphi_k^{\mathsf T}\mathbf C\boldsymbol\varphi_k}{2\omega_k}. \tag{2}\]
Es la fórmula que une toda la unidad: los polos \(s_k=-\zeta_k\omega_k\pm\mathrm j\omega_k\sqrt{1-\zeta_k^2}\) dependen solo de la estructura; la forma modal solo entra como el residuo \(\varphi_{ik}\varphi_{jk}\) de cada polo, que depende de dónde se excita (\(j\)) y de dónde se mide (\(i\)). De ahí sale que, midiendo con sensores en distintos puntos, las frecuencias son las mismas y las formas se obtienen de los residuos.
1.054436843031758e-15La suma modal reproduce la inversión directa de \(\mathbf K-\omega^2\mathbf M+\mathrm j\omega\mathbf C\) en \(f=2\) Hz con un error relativo de 1e-15 (redondeo): la ecuación 2 es una identidad exacta cuando el amortiguamiento es proporcional.