Definición 1Pseudoinversa de Moore–Penrose. Si \(\mathbf A=\mathbf U\boldsymbol\Sigma\mathbf V^{\mathsf T}\) tiene rango \(r\), \(\mathbf A^{+}=\mathbf V\boldsymbol\Sigma^{+}\mathbf U^{\mathsf T}\), donde \(\boldsymbol\Sigma^{+}\) invierte los \(r\) valores singulares no nulos y deja los demás en cero.
\(\mathbf x^{+}=\mathbf A^{+}\mathbf b\) es la solución de mínima norma entre las que minimizan \(\lVert\mathbf A\mathbf x-\mathbf b\rVert_2\). Con rango completo por columnas es la solución habitual de mínimos cuadrados; con rango deficiente hay infinitas soluciones y la pseudoinversa elige la más corta (sin componente en el núcleo). Y si se anulan también los \(\sigma_i\) pequeños, se obtiene la solución regularizada (SVD truncada) de A1.
Ver el código
A_rd = [1.02; 24; 36] # rango 1: la segunda columna es el doble de la primerab_rd = [1.0, 2, 2]x_pinv =pseudoinversa_svd(A_rd) * b_rdx_bs = A_rd \ b_rd # `\` también da la de mínima norma para rango deficiente(rango =rango_numerico(A_rd), x_minima_norma = x_pinv, mismo_que_barra = x_pinv ≈ x_bs, residuo =norm(A_rd * x_pinv - b_rd))
La solución de mínima norma es $x^{+}=(\(0,1571\),;\(0,3143\))$ y cualquier otra que minimice el residuo, como \((11/70+2t,\;11/35-t)\), tiene mayor norma.