A3.5 La SVD de registros de varios sensores (POD)

A3 · Descomposición en valores singulares

Si se apilan los registros de \(m\) sensores en una matriz \(\mathbf X\in\mathbb R^{N\times m}\) (una fila por instante, una columna por sensor), la SVD \(\mathbf X=\mathbf U\boldsymbol\Sigma\mathbf V^{\mathsf T}\) descompone el movimiento en formas espaciales \(\mathbf v_i\) (columnas de \(\mathbf V\)) que se mueven con historias temporales \(\mathbf u_i\) de amplitud \(\sigma_i/\sqrt N\). Es la descomposición ortogonal propia (proper orthogonal decomposition, POD), o análisis de componentes principales (PCA) si se centra en la media.

¿Son esas formas espaciales los modos de vibración? A veces. Para un sistema con masa uniforme (\(\mathbf M=m\mathbf I\)), amortiguamiento proporcional y fuerzas aleatorias independientes de igual intensidad en cada grado de libertad, las coordenadas modales son estadísticamente independientes y la matriz de covarianza se diagonaliza con los modos: la POD recupera entonces las formas modales. Fuera de esas hipótesis (masas distintas, excitación correlacionada o con pocos puntos de aplicación, amortiguamiento no proporcional) no tiene por qué ocurrir, y la POD solo da componentes que explican varianza.

El edificio del caso transversal cumple las hipótesis (tres masas iguales, fuerzas independientes y amortiguamiento de Rayleigh). Con el escenario A de datos/edificio-3-plantas/:

D = readdlm("../../datos/edificio-3-plantas/escenario_A.csv", ';', skipstart=1)[:, 2:4]
Xc = D .- mean(D, dims=1)
Fx = svd(Xc)
M3, C3, K3 = edificio_tres_plantas()
f3, Phi3 = modos_propios(K3, M3)
Mmac = matriz_mac(Fx.V, Phi3)                      # filas: componentes POD; columnas: modos
asignacion = [argmax(Mmac[i, :]) for i in 1:3]
(valores_singulares = Fx.S, modo_mas_parecido = asignacion, MAC = [Mmac[i, asignacion[i]] for i in 1:3])

(valores_singulares = [62.41005568540223, 54.93738863171731, 41.69794030510931], modo_mas_parecido = [3, 2, 1], MAC = [0.9999937884565097, 0.9998902332441858, 0.9998962304239949])

fig = Figure(size=(820, 330))
ax1 = Axis(fig[1, 1]; title="Valores singulares", xlabel="componente", ylabel="σ (m/s²)", xticks=1:3, limits=(0.4, 3.6, 0, nothing))
barplot!(ax1, 1:3, Fx.S; color=AZUL)
for i in 1:3
    text!(ax1, i, Fx.S[i]; text="modo $(asignacion[i])", align=(:center, :bottom), fontsize=12, color=TINTA)
end
ax2 = Axis(fig[1, 2]; title="MAC (componente POD, modo)", xlabel="modo del modelo", ylabel="componente POD", xticks=1:3, yticks=1:3, yreversed=true)
hm = heatmap!(ax2, 1:3, 1:3, permutedims(Mmac); colormap=[:white, AZUL], colorrange=(0, 1))
for i in 1:3, j in 1:3
    text!(ax2, j, i; text=coma(Mmac[i, j]; d=3), align=(:center, :center), fontsize=12, color=Mmac[i, j] > 0.5 ? :white : TINTA)
end
fig

Figura 1: Descomposición en valores singulares de las aceleraciones del escenario A (tres sensores, 10 minutos a 100 Hz). Izquierda: los valores singulares, con el modo físico asociado a cada componente. Derecha: MAC entre cada componente de la POD (fila) y cada modo calculado con el modelo (columna). El orden de las componentes lo fija la energía de la aceleración, no la frecuencia, por eso no coincide con el orden de los modos.

Cada componente de la POD coincide con un modo (MAC \(\ge\) 1,000), pero el orden por energía no es el orden por frecuencia, y la historia temporal de cada componente es la aceleración modal. Con solo dos sensores (plantas 1 y 3) el rango de los datos es 2: la POD no puede distinguir tres modos con dos canales. Es el límite de observabilidad que se discute en la representación en espacio de estados.