P1.1 Variables aleatorias

P1 · Variables aleatorias y procesos estocásticos

Una variable aleatoria \(X\) se describe por su distribución; sus momentos más usados son la media \(\mu=\mathbb E[X]\) y la varianza \(\sigma^2=\mathbb E[(X-\mu)^2]\). Para dos variables, la covarianza \(\operatorname{cov}(X,Y)=\mathbb E[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)]\) y el coeficiente de correlación \(\rho=\operatorname{cov}/(\sigma_X\sigma_Y)\in[-1,1]\) miden la dependencia lineal. Independencia implica \(\rho=0\), pero no a la inversa (si \(X\sim\mathcal N(0,1)\) e \(Y=X^2\), son dependientes y \(\rho=0\)). La distribución normal es la protagonista por el teorema central del límite: la suma de muchos efectos pequeños e independientes (el viento sobre un puente) tiende a ser gaussiana, lo que hace que el ruido ambiental sea, con frecuencia, aproximadamente gaussiano.

Un vector aleatorio \(\mathbf X\) tiene matriz de covarianza \(\boldsymbol\Sigma=\mathbb E[(\mathbf X-\boldsymbol\mu)(\mathbf X-\boldsymbol\mu)^{\mathsf T}]\), simétrica y semidefinida positiva (A1.2); sus vectores propios son las direcciones principales, que es lo que calcula la POD de A3.