F2.2 Cuándo tienen sentido

F2 · Transformada de Hilbert y señal analítica

Las magnitudes de la ecuación 1 de F2.1 siempre se pueden calcular, pero solo son interpretables si la señal es de banda estrecha: si \(x(t)=a(t)\cos\phi(t)\) con \(a(t)\) que varía despacio frente a \(\cos\phi(t)\) (condición de Bedrosian, de forma aproximada: el espectro de \(a\) y el de \(\cos\phi\) no se solapan), entonces \(A(t)\approx a(t)\) y \(f_{\mathrm i}\) es la frecuencia de la portadora. Para una suma de dos sinusoides de frecuencias próximas, \(A(t)\) oscila (batido) y \(f_{\mathrm i}(t)\) puede salirse de la banda e incluso hacerse negativa: es un resultado matemáticamente correcto y físicamente engañoso.

Una señal, un modo

Una respuesta de una estructura con varios modos no es de banda estrecha. Antes de aplicar Hilbert hay que aislar un modo con un filtro paso banda estrecho. Con el modo aislado, la envolvente de una respuesta libre es \(A(t)=A_0e^{-\zeta\omega_nt}\), de modo que \(\ln A(t)\) es una recta de pendiente \(-\zeta\omega_n\), y de ella sale \(\zeta\).

Laboratorio: banda estrecha y batidos

import {hilbert} from "../../recursos/js/matematicas.js"

Simulación 1. Envolvente y frecuencia instantánea. La señal es una oscilación de \(10\) Hz que decae, más una segunda sinusoide de frecuencia y amplitud ajustables (\(f_{\mathrm s}=100\) Hz, \(N=1024\)). Con la amplitud de la segunda en 0 se cumple la condición de banda estrecha; al subirla, la envolvente deja de ser la del primer modo.

viewof alfa = Inputs.range([0.1, 1.5], {value: 0.5, step: 0.05, label: "decaimiento α (1/s)"})
viewof a2 = Inputs.range([0, 1], {value: 0, step: 0.02, label: "amplitud de la 2.ª componente"})
viewof f2 = Inputs.range([10.2, 16], {value: 12, step: 0.1, label: "f₂ (Hz)"})

hil = {
  const N = 1024, fs = 100, t = Array.from({length: N}, (_, n) => n / fs);
  const x = t.map(tt => Math.exp(-alfa * tt) * Math.cos(2 * Math.PI * 10 * tt) + a2 * Math.exp(-alfa * tt) * Math.cos(2 * Math.PI * f2 * tt));
  const z = hilbert(x);
  const env = z.re.map((r, i) => Math.hypot(r, z.im[i]));
  let ph = z.re.map((r, i) => Math.atan2(z.im[i], r));
  for (let k = 1; k < N; k++) { const d = ph[k] - ph[k - 1]; ph[k] -= 2 * Math.PI * Math.round(d / (2 * Math.PI)); }
  const fi = ph.slice(1).map((p, k) => (p - ph[k]) * fs / (2 * Math.PI));
  return {t, x, env, fi, fs};
}

{
  const p = (xs, ys) => xs.map((x, i) => ({t: x, v: ys[i]}));
  const a = Plot.plot({width: 720, height: 230, marginLeft: 50, x: {label: "t (s)", domain: [0, 6]}, y: {label: "señal"},
    marks: [Plot.ruleY([0]), Plot.line(p(hil.t, hil.x), {x: "t", y: "v", stroke: "#1B6CA8"}), Plot.line(p(hil.t, hil.env), {x: "t", y: "v", stroke: "#D95F02", strokeWidth: 2}), Plot.line(p(hil.t, hil.env.map(v => -v)), {x: "t", y: "v", stroke: "#D95F02", strokeWidth: 2})]});
  const b = Plot.plot({width: 720, height: 200, marginLeft: 50, x: {label: "t (s)", domain: [0, 6]}, y: {label: "f instantánea (Hz)", domain: [0, 25], grid: true},
    marks: [Plot.ruleY([10], {stroke: "#9CA3AF", strokeDasharray: "4,4"}), Plot.line(p(hil.t.slice(1), hil.fi), {x: "t", y: "v", stroke: "#2A9D8F"})]});
  return html`${a}${b}`;
}

Hipótesis y límites de la simulación 1

Señal: dos componentes con el mismo decaimiento, sin ruido. Los efectos de borde se ven en los primeros y últimos instantes.
Qué se observa: con \(a_2=0\), la envolvente es \(e^{-\alpha t}\) y la frecuencia instantánea vale \(10\) Hz (la línea punteada); con \(a_2>0\) y \(f_2\) próxima, la envolvente oscila con la frecuencia de batido \(\lvert f_2-10\rvert\) y la frecuencia instantánea oscila alrededor de 10 Hz, y con \(f_2\) lejana, sus oscilaciones son muy rápidas.
Qué no se puede concluir: que la frecuencia instantánea de una señal multicomponente sea «la frecuencia» de algo. Hay que separar primero las componentes.