P2.1 Definiciones y estimación

P2 · Covarianza, autocorrelación y correlación cruzada

Para dos procesos estacionarios \(x(t)\), \(y(t)\) de media cero:

\[ r_{xx}(\tau)=\mathbb E[x(t)\,x(t+\tau)],\qquad r_{xy}(\tau)=\mathbb E[x(t)\,y(t+\tau)]. \tag{1}\]

Con una realización de \(N\) muestras se usa el estimador sesgado \(\hat r_{xy}[k]=\frac1N\sum_{t}(x_t-\bar x)(y_{t+k}-\bar y)\) (división por \(N\) y no por \(N-k\): es el que garantiza que la matriz de Toeplitz resultante sea semidefinida positiva, A1.4). Si \(y\) es una copia de \(x\) retrasada \(d\) muestras, \(\hat r_{xy}\) tiene su máximo en \(k=d\).

Propiedades:

• \(r_{xx}(\tau)=r_{xx}(-\tau)\) (par) y \(\lvert r_{xx}(\tau)\rvert\le r_{xx}(0)\); en cambio \(r_{xy}(\tau)=r_{yx}(-\tau)\).
• Wiener–Khinchin: \(S_{xx}(f)=\mathcal F\{r_{xx}\}\) y \(S_{xy}(f)=\mathcal F\{r_{xy}\}\) (espectro cruzado). Es la relación que permite calcular la correlación con la FFT, en \(O(N\log N)\): autocorrelacion_fft coincide con autocorrelacion.
• El coeficiente de correlación \(\rho_{xy}[k]=\hat r_{xy}[k]/\sqrt{\hat r_{xx}[0]\hat r_{yy}[0]}\in[-1,1]\) no depende de la escala de las señales.
• Para ruido blanco de \(N\) muestras, \(\hat\rho[k]\) (\(k\neq0\)) es aproximadamente normal de media cero y desviación \(1/\sqrt N\): una banda \(\pm1{,}96/\sqrt N\) deja fuera del 95 % de los retardos de una señal sin estructura. Un pico dentro de esa banda no es significativo.