S1.1 La transformada de Laplace
S1 · Transformada de Laplace y función de transferencia
Definición 1 Transformada de Laplace. Para una señal \(x(t)\) con \(x(t)=0\) si \(t<0\), \(X(s)=\mathcal L[x](s)=\displaystyle\int_{0}^{\infty}x(t)\,e^{-st}\,\mathrm dt\), con \(s=\sigma+\mathrm j\omega\) complejo, para los \(s\) en los que la integral converge (región de convergencia).
La transformada «pesa» la señal con una exponencial \(e^{-st}\): la parte real \(\sigma\) amortigua las señales que crecen, y la imaginaria \(\omega\) las proyecta sobre oscilaciones de frecuencia \(\omega\). La transformada de Fourier (F1) es el caso \(\sigma=0\) (cuando existe).
| Señal \(x(t)\), \(t\ge0\) | \(X(s)\) |
|---|---|
| \(\delta(t)\) (impulso) | \(1\) |
| \(1\) (escalón) | \(1/s\) |
| \(e^{-at}\) | \(1/(s+a)\) |
| \(\sin\omega t\) | \(\omega/(s^2+\omega^2)\) |
| \(e^{-\sigma_0 t}\sin\omega_dt\) | \(\omega_d/((s+\sigma_0)^2+\omega_d^2)\) |
Propiedades (con condiciones iniciales nulas): linealidad; derivación, \(\mathcal L[\dot x]=sX(s)-x(0)\) y \(\mathcal L[\ddot x]=s^2X(s)-sx(0)-\dot x(0)\); convolución, \(\mathcal L[x*h]=X(s)H(s)\); y valor final, si todos los polos de \(sX(s)\) están en el semiplano izquierdo, \(\lim_{t\to\infty}x(t)=\lim_{s\to0}sX(s)\).
Derivación. Integrando por partes, \(\int_0^\infty\dot x\,e^{-st}\mathrm dt=\big[x\,e^{-st}\big]_0^\infty+s\int_0^\infty x\,e^{-st}\mathrm dt=-x(0)+sX(s)\) (el término en \(\infty\) se anula en la región de convergencia). Aplicando la fórmula dos veces se obtiene la de \(\ddot x\).
Convolución. \(\mathcal L[x*h]=\int_0^\infty\!\!\int_0^t x(\tau)h(t-\tau)\,\mathrm d\tau\,e^{-st}\mathrm dt\). Cambiando el orden de integración y poniendo \(u=t-\tau\), queda \(\int_0^\infty x(\tau)e^{-s\tau}\mathrm d\tau\int_0^\infty h(u)e^{-su}\mathrm du=X(s)H(s)\). \(\square\)