F1.1 Series de Fourier

F1 · Series y transformada de Fourier

Un poco de historia: de Gauss a Cooley y Tukey

Según el resumen histórico de la Wikipedia en inglés, Gauss usó hacia 1805, sin publicarlo, un método parecido al de la FFT para interpolar las órbitas de los asteroides Pallas y Juno a partir de observaciones, aunque no analizó su coste. Cooley y Tukey redescubrieron de forma independiente estos algoritmos y publicaron en 1965 una versión general (válida para longitudes compuestas, no solo potencias de 2) que mostraba el coste \(O(N\log N)\) (Cooley y Tukey 1965). Que Gauss se les había anticipado lo documentan Heideman, Johnson y Burrus en 1984 (Heideman et al. 1984). Es una fuente enciclopédica: las atribuciones deben contrastarse con los artículos citados antes de usarlas en un trabajo formal.

Fuente: Wikipedia, «Fast Fourier transform», sección «History». Consultado el 25-10-2026.

Heideman, Michael T., Don H. Johnson, y C. Sidney Burrus. 1984. «Gauss and the history of the fast Fourier transform». IEEE ASSP Magazine 1 (4): 14-21. https://doi.org/10.1109/MASSP.1984.1162257.

Cooley, James W., y John W. Tukey. 1965. «An algorithm for the machine calculation of complex Fourier series». Mathematics of Computation 19 (90): 297-301. https://doi.org/10.1090/S0025-5718-1965-0178586-1.

Una señal \(x(t)\) periódica de periodo \(T\) se escribe como suma de armónicos de la frecuencia fundamental \(f_0=1/T\):

\[ x(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}c_k\,e^{\mathrm j2\pi kf_0t},\qquad c_k=\frac1T\int_0^Tx(t)\,e^{-\mathrm j2\pi kf_0t}\,\mathrm dt . \tag{1}\]

Para una señal real, \(c_{-k}=\overline{c_k}\) y \(x(t)=c_0+2\sum_{k\ge1}\lvert c_k\rvert\cos(2\pi kf_0t+\arg c_k)\). La energía se conserva (relación de Parseval): \(\frac1T\int_0^T\lvert x\rvert^2\mathrm dt=\sum_k\lvert c_k\rvert^2\). Una sinusoide pura tiene un único armónico; una señal con discontinuidades, muchos.

Referencias

Son las mismas que aparecen en el margen, junto al texto. La lista completa del curso, con el estado de verificación de cada ficha, está en recursos/bibliografia.bib del repositorio.

Heideman, Michael T., Don H. Johnson, y C. Sidney Burrus. 1984. «Gauss and the history of the fast Fourier transform». IEEE ASSP Magazine 1 (4): 14-21. https://doi.org/10.1109/MASSP.1984.1162257.