Práctica y cierre

A2 · Valores y vectores propios

Práctica guiada

Construye \(\mathbf M\) y \(\mathbf K\) del edificio con edificio_cortante y calcula frecuencias y modos con modos_propios.
Comprueba \(\boldsymbol\Phi^{\mathsf T}\mathbf M\boldsymbol\Phi=\mathbf I\) y \(\boldsymbol\Phi^{\mathsf T}\mathbf K\boldsymbol\Phi=\boldsymbol\Omega^2\).
Reduce a 90 % la rigidez del entrepiso 2 y compara la variación de cada frecuencia con la predicción de la ecuación 1 de A2.4.
Calcula el MAC entre los modos de los dos estados con matriz_mac.

using Resonancia, LinearAlgebra
M, K = edificio_cortante(fill(2e5, 3), [5e7, 5e7, 4e7])
f, Phi = modos_propios(K, M)
@assert Phi' * M * Phi ≈ I
_, Kd = edificio_cortante(fill(2e5, 3), [5e7, 4.5e7, 4e7])
fd, Phid = modos_propios(Kd, M)
fd ./ f .- 1                    # variación relativa de las frecuencias
matriz_mac(Phi, Phid)           # diagonal ≈ 1

import numpy as np
from scipy import linalg
import matrices as mx      # python/matrices.py (probado con pytest)

M, K = mx.edificio_tres_plantas("A")
w2, Phi = linalg.eigh(K, M)           # normaliza a masa unidad: Phi.T @ M @ Phi = I
f = np.sqrt(w2) / (2 * np.pi)
Md, Kd = mx.edificio_tres_plantas("C")
fd = np.sqrt(linalg.eigh(Kd, Md, eigvals_only=True)) / (2 * np.pi)
fd / f - 1

El código Python no se ejecuta en la web: su versión probada está en python/matrices.py, contrastada con Julia mediante referencia/matrices.json.

«Pídeselo a Claude»

Prompt

«Con Julia y el paquete Resonancia: construye las matrices de un edificio de cortante de cuatro plantas (masas de 2·10⁵ kg y rigideces de entrepiso de 6·10⁷, 5·10⁷, 5·10⁷ y 4·10⁷ N/m), calcula sus frecuencias y modos, y estima con la teoría de perturbaciones de primer orden cuánto baja cada frecuencia si el entrepiso 3 pierde el 15 % de su rigidez. Compara con el cálculo exacto y dime en qué modo se nota más. Comprueba la normalización a masa unidad.»

Verifica. (a) Que usa edificio_cortante y modos_propios, no una función propia. (b) Que \(\boldsymbol\Phi^{\mathsf T}\mathbf M\boldsymbol\Phi\) es la identidad (error del orden de \(10^{-15}\)). (c) Que la fórmula de perturbación es \(\boldsymbol\varphi^{\mathsf T}\Delta\mathbf K\boldsymbol\varphi\) con modos a masa unidad y que \(\Delta f/f=\Delta\lambda/(2\lambda)\). (d) Que el modo más afectado es el que más se deforma en el entrepiso 3. (e) Que no inventa valores: pídele el código y ejecútalo.

Ejercicios

Una matriz real simétrica puede tener valores propios complejos no reales.

Falso. Por el Teorema 1 de A2.1, los valores propios de una matriz real simétrica son siempre reales. Las matrices que sí pueden tenerlos complejos son las no simétricas, como una rotación.

¿Cuál es la frecuencia natural del primer modo del edificio de tres plantas (masas \(2\cdot10^5\) kg; rigideces \(5\cdot10^7\), \(5\cdot10^7\) y \(4\cdot10^7\) N/m)?

Calcula modos_propios(K, M) con las matrices de edificio_cortante y toma el primer elemento de f.

\(f_1=1{,}105\) Hz (los otros dos son 2,939 Hz y 4,390 Hz).

Estima la frecuencia fundamental del mismo edificio con el cociente de Rayleigh y la forma aproximada \(\mathbf x=(1,\,2,\,3)^{\mathsf T}\). Da el resultado en Hz, \(f=\sqrt{R}/2\pi\).

\(R=\mathbf x^{\mathsf T}\mathbf K\mathbf x/\mathbf x^{\mathsf T}\mathbf M\mathbf x=50\) rad²/s², de donde \(f=1{,}125\) Hz: un \(1{,}9\,\%\) por encima del valor exacto, como corresponde a un cociente que nunca queda por debajo de \(\omega_1^2\).

Si el entrepiso 2 pierde rigidez, ¿qué modo del edificio de tres plantas cambia más su frecuencia, y por qué?

El primero, porque es el más lento.
El segundo, porque es el que cambia de signo en la planta 2.
El tercero, porque es el modo con mayor deriva entre las plantas 1 y 2.
Todos igual, porque la rigidez es una propiedad global.

La c. Por la ecuación 1 de A2.4, el cambio de \(\lambda_j\) es proporcional a la energía de deformación del modo en el entrepiso modificado, es decir, a \((\varphi_{1j}-\varphi_{2j})^2\). Para el tercer modo este valor es unas treinta veces el de los otros dos.

Una pasarela flotante está apoyada en el agua y no está anclada. ¿Qué esperas del problema de valores propios de su matriz de rigidez? ¿Cómo lo trataría un programa que calcula modos?

Digo que \(\mathbf K\) es semidefinida positiva y tiene valores propios nulos.
Relaciono el valor propio nulo con un movimiento de sólido rígido (traslación o giro) que no deforma la estructura.
Distingo esos modos de las vibraciones y propongo ignorarlos, anclar la estructura o contar cuántos hay.

\(\mathbf K\) es singular: sus valores propios nulos corresponden a movimientos de sólido rígido y no son vibraciones. Un programa los detecta por \(\omega\approx0\) (con tolerancia, por el redondeo), los separa de los modos flexibles y, si hace falta invertir \(\mathbf K\), usa una pseudoinversa o ancla la estructura.

Sea \(\mathbf A=\begin{bmatrix}1&1000\\0&1\end{bmatrix}\) y \(\mathbf A_\epsilon\) la misma matriz con \(10^{-6}\) en la posición \((2,1)\). ¿Cuánto se separa de 1 cada uno de sus valores propios? (valor absoluto de la diferencia).

\(\lambda=1\pm\sqrt{1000\cdot10^{-6}}=1\pm0{,}0316\): un desplazamiento unas \(3\cdot10^{4}\) veces mayor que la perturbación.

La doy por superada si…

Distingo el problema estándar del generalizado y sé reducir el segundo al primero.
Demuestro que, para \(\mathbf K\) y \(\mathbf M\) simétricas y \(\mathbf M>0\), las frecuencias son reales y los modos ortogonales respecto de \(\mathbf M\) y \(\mathbf K\).
Normalizo los modos a masa unidad y desacoplo las ecuaciones con \(\mathbf u=\boldsymbol\Phi\mathbf q\).
Calculo e interpreto el cociente de Rayleigh y sé qué acota.
Predigo a primer orden el cambio de una frecuencia por un cambio de rigidez y explico por qué unos modos son más sensibles que otros.
Explico por qué las formas modales cambian menos que las frecuencias, y qué implica para detectar daño.
Sé por qué los valores propios de una matriz no simétrica merecen más cautela.

Qué no dice esta unidad

Solo se trata el edificio de cortante de masas concentradas. En estructuras reales (puentes, edificios con flexión de vigas y suelo) las frecuencias dependen de más parámetros y los modelos de elementos finitos se calibran con datos.
La perturbación de primer orden es una aproximación; no se estudia aquí el caso de valores propios repetidos o muy próximos, donde la teoría es más delicada.
No se discuten los modos complejos del amortiguamiento no proporcional; se retoman en la representación en espacio de estados.
La comparación de estados con el MAC en presencia de ruido y de variaciones ambientales se hace en M12 y en el caso transversal.