S1.4 Ceros y antirresonancias

S1 · Transformada de Laplace y función de transferencia

Los ceros de \(H_{ij}(s)\) son las frecuencias a las que, con entrada en \(j\), la salida en \(i\) se anula. Hay un hecho clásico, comprobable con el edificio: la receptancia en un punto (\(i=j\), sensor y excitación en el mismo grado de libertad) tiene un cero entre cada dos polos consecutivos, y esos ceros (sin amortiguamiento) son las frecuencias naturales de la estructura con ese grado de libertad bloqueado. Los ceros de \(H_{ij}\) con \(i\ne j\) son otros y dependen del par. En una cadena tridiagonal como el edificio de cortante, el elemento \((i,j)\) de la inversa se calcula con los menores principales de los extremos; cuando sensor y fuerza están en los dos extremos (plantas 1 y 3), el numerador es una constante y \(H_{13}\) no tiene ceros finitos: solo tiene valles poco profundos entre resonancias, como cualquier función con picos próximos.

f_anti = modos_propios(K3[1:2, 1:2], M3[1:2, 1:2])[1]          # planta 3 bloqueada
fs = range(0.5, 5.5; length=200_001)
mag33 = [abs(Hrec(2π * x)[3, 3]) for x in fs]
i_min = [k for k in 2:length(fs)-1 if mag33[k] < mag33[k-1] && mag33[k] < mag33[k+1]]
(frecuencias_con_planta_3_bloqueada = f_anti, minimos_de_la_FRF_H33 = fs[i_min])

(frecuencias_con_planta_3_bloqueada = [2.3806999966057445, 4.289061510542444], minimos_de_la_FRF_H33 = [2.38025, 4.2688])

Con la planta 3 bloqueada, el edificio tiene frecuencias de 2,381 y 4,289 Hz; la FRF puntual en la cubierta tiene mínimos en 2,380 y 4,269 Hz. La primera coincide dentro del \(0{,}1\,\%\); la segunda se aparta un \(0{,}5\,\%\) porque el amortiguamiento y la cercanía del tercer polo desplazan el mínimo de módulo (con amortiguamiento, el cero exacto sale del eje imaginario).

modulo(i, j) = [abs(Hrec(2π * x)[i, j]) for x in fs]
function valles(i, j)
    v = modulo(i, j)
    m = [k for k in 2:length(v)-1 if v[k] < v[k-1] && v[k] < v[k+1]]
    p = [k for k in 2:length(v)-1 if v[k] > v[k-1] && v[k] > v[k+1]]
    [(fs[k], 20log10(v[k] / min(maximum(v[q] for q in p if fs[q] < fs[k]), maximum(v[q] for q in p if fs[q] > fs[k])))) for k in m]
end
sub = Dict(1 => "₁", 2 => "₂", 3 => "₃")
filas = String[]
for (i, j) in [(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 3), (1, 3)]
    vs = valles(i, j)
    push!(filas, "| H" * sub[i] * sub[j] * " | " * join(["$(coma(f; d=2)) Hz: $(coma(d; d=1)) dB" for (f, d) in vs], " · ") * " |")
end
Markdown.parse("| Elemento | Valles (frecuencia y profundidad) |\n|:--|:--|\n" * join(filas, "\n"))

Tabla 1: Valles de la receptancia \(H_{ij}\) entre 0,5 y 5,5 Hz: frecuencia y profundidad respecto del menor de los dos picos vecinos (dB). Un valle muy profundo indica un cero cerca del eje imaginario.

Elemento	Valles (frecuencia y profundidad)
H₁₁	1,50 Hz: -55,6 dB · 3,77 Hz: -38,8 dB
H₂₂	2,25 Hz: -49,4 dB · 3,56 Hz: -43,2 dB
H₃₃	2,38 Hz: -49,1 dB · 4,27 Hz: -13,5 dB
H₁₂	2,25 Hz: -54,9 dB · 3,67 Hz: -15,9 dB
H₂₃	2,32 Hz: -17,7 dB · 3,56 Hz: -37,7 dB
H₁₃	2,11 Hz: -23,4 dB · 3,87 Hz: -12,1 dB

Los valles de las FRF puntuales (\(H_{11}\), \(H_{22}\)) son entre 39 y 56 dB más bajos que los picos vecinos; los de la no puntual de los extremos (\(H_{13}\)), solo 12–23 dB. \(H_{12}\) tiene un cero cerca del eje a 2,25 Hz (la frecuencia \(\sqrt{k_3/m}/2\pi\)) y un valle profundo allí. La segunda antirresonancia de \(H_{33}\) es poco profunda (13 dB) porque su cero queda muy cerca del tercer polo (4,29 Hz frente a 4,39 Hz). La profundidad no es una propiedad de la estructura: depende del par entrada–salida.

A3, _ = espacio_estados(M3, C3, K3, [0.0, 0.0, 1.0])
s_polos = filter(p -> imag(p) > 0, eigvals(A3))
ωz = 2π .* f_anti
fig = Figure(size=(560, 420))
ax = Axis(fig[1, 1]; xlabel="parte real, σ (rad/s)", ylabel="parte imaginaria, ω (rad/s)", limits=(-1.0, 0.4, -32, 32))
vlines!(ax, [0.0]; color=GRIS)
scatter!(ax, vcat(real.(s_polos), real.(s_polos)), vcat(imag.(s_polos), -imag.(s_polos)); marker=:xcross, color=NARANJA, markersize=16, label="polos")
scatter!(ax, zeros(4), vcat(ωz, -ωz); marker=:circle, color=:white, markersize=11, strokewidth=2, strokecolor=AZUL, label="ceros (sin amortiguamiento)")
axislegend(ax; position=:rb)
fig

Figura 1: Plano \(s\) de la receptancia puntual en la cubierta, \(H_{33}\). Los polos (cruces) están en el semiplano izquierdo, muy cerca del eje imaginario porque \(\zeta\approx1\,\%\); los ceros (círculos), sin amortiguamiento, estarían exactamente sobre el eje imaginario, en las frecuencias del edificio con la planta 3 bloqueada. Se alternan: un cero entre cada dos polos. La escala horizontal es mucho más fina que la vertical para que se vea la parte real.

AdvertenciaPolos y ceros no se leen igual en una medida

Los polos que se identifican de un registro de aceleraciones son los mismos con cualquier sensor. Los ceros no: cambian con la posición del sensor y de la excitación, y por eso las antirresonancias no son propiedades de la estructura sino del experimento. Un sensor colocado en un nodo de un modo (residuo nulo) no ve ese polo; y un par polo–cero muy próximo (que casi se cancelan) lleva un residuo pequeño y es difícil de identificar.

Laboratorio: ceros y antirresonancias en un edificio

import {edificioCortante, modosPropios} from "../../recursos/js/matematicas.js"

Simulación 1. FRF de un edificio de tres plantas. Elige la planta donde se excita y la planta donde se mide, y el amortiguamiento modal (el mismo para los tres modos). Se dibuja el módulo de la receptancia \(H_{ij}(\mathrm j\omega)\) en decibelios (con \(1\) m/N de referencia) y su fase, con la frecuencia natural de cada modo marcada (línea vertical gris).

viewof entrada = Inputs.radio([1, 2, 3], {value: 3, label: "planta de excitación j"})
viewof salida = Inputs.radio([1, 2, 3], {value: 3, label: "planta del sensor i"})
viewof zeta_lab = Inputs.range([0.002, 0.05], {value: 0.01, step: 0.002, transform: Math.log, label: "ζ (adimensional)"})

frf = {
  const e = edificioCortante([2e5, 2e5, 2e5], [5e7, 5e7, 4e7]);
  const m = modosPropios(e.K, e.M);
  const i = salida - 1, j = entrada - 1;
  const puntos = [];
  for (let f = 0.5; f <= 5.5001; f += 0.005) {
    const w = 2 * Math.PI * f;
    let re = 0, im = 0;
    for (let k = 0; k < 3; k++) {
      const wk = 2 * Math.PI * m.f[k], r = m.Phi[i][k] * m.Phi[j][k];
      const a = wk * wk - w * w, b = 2 * zeta_lab * wk * w, d = a * a + b * b;
      re += r * a / d; im += -r * b / d;
    }
    puntos.push({f, db: 20 * Math.log10(Math.hypot(re, im)), fase: Math.atan2(im, re) * 180 / Math.PI});
  }
  return {puntos, fn: m.f};
}

{
  const marcas = frf.fn.map(f => Plot.ruleX([f], {stroke: "#9CA3AF", strokeDasharray: "4,4"}));
  const a = Plot.plot({width: 700, height: 240, marginLeft: 55, x: {label: "f (Hz)"}, y: {label: "|H| (dB re 1 m/N)", grid: true},
    marks: [...marcas, Plot.line(frf.puntos, {x: "f", y: "db", stroke: "#1B6CA8", strokeWidth: 2})]});
  const b = Plot.plot({width: 700, height: 200, marginLeft: 55, x: {label: "f (Hz)"}, y: {label: "fase (°)", domain: [-185, 185], ticks: [-180, -90, 0, 90, 180], grid: true},
    marks: [...marcas, Plot.line(frf.puntos, {x: "f", y: "fase", stroke: "#D95F02", strokeWidth: 2})]});
  return html`${a}${b}`;
}

Hipótesis y límites de la simulación 1

• Modelo: edificio de cortante de tres plantas con amortiguamiento modal uniforme \(\zeta\) (la página usa \(\zeta\approx1\,\%\) con Rayleigh, algo distinta en el tercer modo); sin dinámica de sensores ni de la cimentación.
• Qué se ve: con \(i=j\) aparecen antirresonancias: valles profundos entre resonancias, con un salto de fase de \(+180^\circ\). Con \(i\ne j\) depende del par: \(H_{12}\) tiene un cero a 2,25 Hz, y \(H_{13}\) no tiene ceros y solo muestra valles poco profundos y una fase que baja (véase la Tabla 1).
• Lo que no muestra: la FRF de aceleración (la que miden los acelerómetros) es \(-\omega^2H(\mathrm j\omega)\); cambia la pendiente pero no las posiciones de los polos.
• Qué no se puede concluir: que los valles a las frecuencias de las antirresonancias identifiquen propiedades de la estructura: dependen del sensor y de la excitación.

Para explorar. (1) Con \(i=j=3\) cuenta las antirresonancias y compáralas con las frecuencias de la estructura con la planta 3 bloqueada (cálculo de este apartado). (2) Con \(i=1\), \(j=3\) observa que los valles son mucho menos profundos y la fase no sube. (3) Sube \(\zeta\) al 5 %: ¿qué pasa con la profundidad de las antirresonancias?