F2.1 Señal analítica

F2 · Transformada de Hilbert y señal analítica

Un poco de historia: de un problema de Riemann a la señal analítica

Según el resumen histórico de la Wikipedia en inglés, la transformada surgió en 1905 del trabajo de David Hilbert sobre un problema planteado por Riemann acerca de funciones analíticas (hoy llamado problema de Riemann–Hilbert); Hilbert la estudió sobre todo para funciones en la circunferencia, Schur extendió sus resultados al caso integral y Marcel Riesz mostró en 1928 que está acotada en los espacios \(L^p\) con \(1<p<\infty\). La interpretación como «señal analítica» para el procesado de señales no aparece en esa sección y no se atribuye aquí. Es una fuente enciclopédica: las atribuciones deben contrastarse con los originales.

Fuente: Wikipedia, «Hilbert transform», sección «History». Consultado el 25-10-2026.

Definición 1 Señal analítica. Para una señal real \(x(t)\), \(z(t)=x(t)+\mathrm j\,\mathcal H\{x\}(t)\), donde \(\mathcal H\{x\}\) es la transformada de Hilbert de \(x\): la señal que se obtiene desfasando \(-90^\circ\) todas las componentes de frecuencia positiva (y \(+90^\circ\) las de frecuencia negativa). Equivalentemente, \(Z(f)=2X(f)\) para \(f>0\), \(Z(0)=X(0)\) y \(Z(f)=0\) para \(f<0\).

La definición en frecuencia es la que se calcula: se hace la FFT, se anulan las frecuencias negativas, se duplican las positivas y se invierte (hilbert_analitica). Para \(x(t)=\cos(2\pi f_0t)\) resulta \(\mathcal H\{x\}=\sin(2\pi f_0t)\) y \(z(t)=e^{\mathrm j2\pi f_0t}\), que gira a velocidad constante con módulo 1.

Si se escribe \(z(t)=A(t)\,e^{\mathrm j\phi(t)}\), se definen

\[ A(t)=\lvert z(t)\rvert\;\text{(envolvente)},\qquad \phi(t)=\arg z(t)\;\text{(fase instantánea)},\qquad f_{\mathrm i}(t)=\frac{1}{2\pi}\frac{\mathrm d\phi}{\mathrm dt}\;\text{(frecuencia instantánea)}. \tag{1}\]