P1.3 Respuesta de un sistema lineal a ruido blanco

P1 · Variables aleatorias y procesos estocásticos

Si un sistema lineal estable con respuesta en frecuencia \(H(\mathrm j\omega)\) se excita con un proceso estacionario de espectro \(S_{ff}\), la salida es estacionaria y

\[ S_{yy}(\omega)=\lvert H(\mathrm j\omega)\rvert^2\,S_{ff}(\omega). \tag{1}\]

Si \(S_{ff}\) es constante (ruido blanco), la forma del espectro de la salida es la de \(\lvert H\rvert^2\): los picos de la salida son las resonancias del sistema. Es la hipótesis de la identificación modal ambiental (FDD, SSI, ERA sobre covarianzas): no se mide la fuerza, y se supone que es blanca (o que su color no tiene picos que se confundan con los modos). Y si no lo es (una máquina que gira, un tren que pasa), aparecen picos que no son modos.

Qué falla cuando la hipótesis no se cumple

Random.seed!(2026)
nreal, T = 400, 400
φ = 0.9
function ar1(φ, T)
    x = zeros(T)
    x[1] = randn() / sqrt(1 - φ^2)                 # estado estacionario
    for k in 2:T
        x[k] = φ * x[k-1] + randn()
    end
    x
end
estacionario = reduce(hcat, [ar1(φ, T) for _ in 1:nreal])          # T × nreal
paseo = cumsum(randn(T, nreal); dims=1)
constante = randn(1, nreal) .+ randn(T, nreal)                     # nivel aleatorio por realización
resumen(X) = (media_conjunto_t200 = mean(X[200, :]), var_conjunto_t100 = var(X[100, :]), var_conjunto_t400 = var(X[400, :]),
              media_temporal_real1 = mean(X[:, 1]), desv_media_temporal = std(vec(mean(X; dims=1))))
(AR1 = resumen(estacionario), paseo_aleatorio = resumen(paseo), nivel_aleatorio = resumen(constante))

(AR1 = (media_conjunto_t200 = -0.23464563358293172, var_conjunto_t100 = 5.301262046543006, var_conjunto_t400 = 5.251649594754737, media_temporal_real1 = -0.7906562974642081, desv_media_temporal = 0.460340458879845), paseo_aleatorio = (media_conjunto_t200 = 0.17466322597255046, var_conjunto_t100 = 102.82691750176832, var_conjunto_t400 = 385.2606902217656, media_temporal_real1 = -1.7323466074788252, desv_media_temporal = 11.770457121279403), nivel_aleatorio = (media_conjunto_t200 = -0.0361207065656313, var_conjunto_t100 = 1.8350633844509738, var_conjunto_t400 = 2.1127898692542155, media_temporal_real1 = -0.4342685085663171, desv_media_temporal = 0.9882571914654679))

r = [resumen(estacionario), resumen(paseo), resumen(constante)]
nom = ["AR(1), φ = 0,9", "paseo aleatorio", "nivel aleatorio + ruido"]
filas = ["| $(nom[i]) | $(coma(r[i].var_conjunto_t100; d=2)) | $(coma(r[i].var_conjunto_t400; d=2)) | $(coma(r[i].desv_media_temporal; d=2)) |" for i in 1:3]
Markdown.parse("| Proceso | varianza de conjunto en t = 100 | en t = 400 | dispersión de la media temporal entre realizaciones |\n|:--|--:|--:|--:|\n" * join(filas, "\n"))

Tabla 1: Estadísticas de conjunto (400 realizaciones, por instante) frente a estadísticas temporales (por realización, 400 muestras). Para el AR(1), ambas coinciden; para el paseo aleatorio, la varianza crece con \(t\); para el nivel aleatorio, la media temporal de cada realización es distinta.

Proceso	varianza de conjunto en t = 100	en t = 400	dispersión de la media temporal entre realizaciones
AR(1), φ = 0,9	5,30	5,25	0,46
paseo aleatorio	102,83	385,26	11,77
nivel aleatorio + ruido	1,84	2,11	0,99

La Tabla 1 lo resume. El AR(1) estacionario tiene varianza \(\sigma^2/(1-\phi^2)=5{,}26\) en cualquier instante, y las medias temporales de las distintas realizaciones son casi iguales (dispersión pequeña, que baja al alargar el registro): es estacionario y ergódico. El paseo aleatorio tiene varianza \(\approx t\) (100 y 400): no es estacionario. Y el nivel aleatorio tiene varianza de conjunto constante (2) pero cada realización tiene una media temporal distinta (dispersión \(\approx1\)): estacionario y no ergódico. En los dos últimos, un registro no representa al proceso.