Teoría de vibraciones I

M5 · Sesión S5

import {sdofParametros, sdofLibre, sdofForzada, sdofImpulsional, receptancia, movilidad, inertancia, receptanciaHisteretica, factorAmplificacion, faseForzada, cabs, carg, faseGrados, muestrea, muestreaLog} from "../../recursos/js/vibraciones.js"

Objetivos y prerrequisitos

Objetivos. Al terminar la unidad sabrás:

plantear la ecuación del movimiento de un sistema de 1 grado de libertad (GDL) y reconocer qué hipótesis exige;
obtener y interpretar la respuesta libre sin amortiguamiento y con amortiguamiento viscoso, en los tres regímenes (subcrítico, crítico y supercrítico), y leer en los polos la frecuencia y el decaimiento;
distinguir el modelo de amortiguamiento viscoso del histerético y saber cuándo se usa cada uno;
calcular la respuesta a una excitación armónica (transitorio, régimen estacionario, amplitud, fase y factor de amplificación) y distinguir \(\omega_n\), \(\omega_d\) y la frecuencia del máximo de respuesta;
definir la función de respuesta en frecuencia (FRF) y sus tres versiones (receptancia, movilidad e inertancia), y dibujarla en Bode y Nyquist con sus asíntotas;
relacionar función de transferencia, respuesta impulsional y convolución.

Prerrequisitos. J3.6 · Ecuaciones diferenciales ordinarias. Hace falta soltura con números complejos, la ecuación diferencial lineal de segundo orden y la transformada de Laplace.

Temas de la unidad

M5.1 Sistema de 1 GDL: ecuación del movimiento
M5.2 Vibración libre amortiguada y no amortiguada; decremento logarítmico
M5.3 Modelos de amortiguamiento: viscoso, histerético y estructural
M5.4 Vibración forzada armónica, resonancia y factor de amplificación
M5.5 FRF: receptancia, movilidad e inertancia; diagramas de Bode y Nyquist
M5.6 Excitación por la base, aislamiento, respuesta impulsional e integral de Duhamel

Notación y convenciones (comunes a M5, M6 y M7)

Símbolo	Significado	Unidad
\(m\), \(c\), \(k\)	masa, coeficiente de amortiguamiento viscoso y rigidez (1 GDL)	kg, N·s/m, N/m
\(h\)	coeficiente de amortiguamiento histerético (1 GDL)	N/m
\(x(t)\), \(f(t)\)	desplazamiento y fuerza	m, N
\(\omega_n=\sqrt{k/m}\)	frecuencia natural no amortiguada	rad/s
\(\zeta=c/c_c\), \(c_c=2m\omega_n\)	razón de amortiguamiento y amortiguamiento crítico	–, N·s/m
\(\omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}\)	frecuencia natural amortiguada	rad/s
\(s=\sigma+i\omega\)	variable de Laplace; \(\sigma\) = parte real	1/s
\(\beta=\omega/\omega_n\)	relación de frecuencias	–
\(f=\omega/2\pi\)	frecuencia en hercios (el eje de una FRF suele ir en rad/s o en Hz: indica siempre cuál)	Hz
\(\mathbf{M},\mathbf{C},\mathbf{K}\)	matrices de masa, amortiguamiento y rigidez (varios GDL, desde M6)	–

Unidad imaginaria y tiempo complejo. Usamos \(i\) y la convención \(e^{+i\omega t}\): una fuerza armónica es \(f(t)=\mathrm{Re}\{F e^{i\omega t}\}\) y la respuesta estacionaria va retrasada respecto de ella, de modo que la fase de la receptancia va de \(0^\circ\) a \(-180^\circ\). Si ves \(e^{-i\omega t}\) (convención de la física) los signos de las fases se invierten. Los apuntes escriben \(j\) o \(i\), y \(\Omega\), \(\omega\) o \(\omega_n\) para la frecuencia natural: aquí se unifican.

Fuentes, correcciones y qué queda pendiente

Fuentes. Apuntes manuscritos del Máster Agrela, curso 2024-2025 (carpeta Teoría de vibraciones). Citados como PDF, p. n (página del PDF, no la numeración manuscrita). Esta unidad es un texto autónomo escrito a partir de ellos.

Contenido	Origen
M5.1 ecuación del movimiento, hipótesis	SDOF sin amortiguamiento, p. 1–2; Intro, p. 1–3
M5.2 libre sin amortiguamiento, condiciones iniciales	SDOF sin amortiguamiento, p. 1, 4
M5.2 libre amortiguada, regímenes, polos	SDOF con amortiguamiento, p. 1–5; SDOF sin amortiguamiento, p. 2–3, 5–6
M5.3 modelo histerético (SDOF)	Diagrama de Nyquist, p. 1; (MDOF) MDOF, p. 8–11
M5.4 forzada armónica, Q, fase	SDOF forzada, p. 1–2
M5.5 FRF, receptancia/movilidad/inertancia, Bode, Nyquist, asíntotas	FRF, p. 4, 6–11; SDOF forzada, p. 3; Diagrama de Nyquist, p. 1
M5.6 \(H(s)\), polos y residuos, \(h(t)\), convolución	FRF, p. 1–5

Correcciones y precisiones a los apuntes (comprobadas numéricamente en Julia y, para el código JavaScript de las figuras, contra esa referencia):

SDOF sin amortiguamiento, p. 5: «undamped system (\(\zeta<1\))» debe ser underdamped (subcrítico); un sistema sin amortiguamiento tiene \(\zeta=0\).
SDOF forzada, p. 1 (precisión): en la solución total, las constantes del transitorio se fijan con las condiciones iniciales de la solución total, no de la homogénea; y con la fuerza real \(F\cos\omega t\) solo se toma la parte real de la solución compleja.
SDOF forzada, p. 2: «con \(\zeta=0\) y \(\beta=1\) el régimen estacionario tiene amplitud infinita» es impreciso: no existe régimen estacionario; la respuesta crece de forma lineal con el tiempo (§ M5.4). Además, el dibujo de \(Q(\beta)\) es cualitativo: para \(\zeta=0{,}05\) el máximo es \(Q\approx10\) y para \(\zeta=0{,}3\) es \(\approx1{,}75\), valores distintos de los marcados en la gráfica.
SDOF forzada, p. 2: «el amortiguamiento solo es eficaz cerca de la resonancia» es válido para la amplitud; la fase cambia en una banda mucho más ancha, y el transitorio decae siempre con \(e^{-\zeta\omega_n t}\).
FRF, p. 5: «amplitud inicial → residuo \(A\)». El residuo \(A=1/(2im\omega_d)\) es imaginario puro, de modo que \(h(0)=0\); lo que fija el residuo es la velocidad inicial de la respuesta impulsional, \(\dot h(0^+)=1/m\).
FRF, p. 6–7: en el esquema de \(\mathrm{Im}\,\alpha(\omega)\) el nivel lejos de la resonancia parece quedar por encima de cero; para el modelo viscoso debe tender a \(0\) (\(\mathrm{Im}\,\alpha\le0\)).
FRF, p. 10: «el amortiguamiento no afecta a la frecuencia de resonancia» es válido para \(\omega_n\) (la no amortiguada), pero \(\omega_d\) y el máximo de la receptancia sí se desplazan con \(\zeta\) (§ M5.4).
SDOF sin amortiguamiento, p. 4: \(\varphi=\arctan(x_0\omega/v_0)\) solo cubre dos cuadrantes; usa atan2.
Diagrama de Nyquist, p. 1: los pasos intermedios del círculo están desordenados; el resultado final (centro y radio) es correcto y aquí se rehace paso a paso.

Ampliaciones externas a los apuntes (derivaciones propias, no copiadas): energía disipada por ciclo y equivalente viscoso (§ M5.3); expresiones de \(\omega_{\text{pico}}\) para receptancia, movilidad e inertancia (§ M5.4); la movilidad viscosa como círculo exacto (§ M5.5); crecimiento lineal en resonancia sin amortiguamiento (§ M5.4). Lecturas para ampliar: (Inman 2017; Silva y Maia 1999; Avitabile 2018; Ewins 2000; Crandall 1970).

Pendiente (no cubierto por estos apuntes). Decremento logarítmico (M5.2); amortiguamiento «estructural» como concepto distinto del histerético y amortiguamiento de Coulomb (M5.3); excitación por la base y aislamiento de vibraciones (M5.6); forma explícita de la integral de Duhamel y su uso (M5.6; aquí solo se establece la convolución con \(h(t)\)).

Ewins, David J. 2000. Modal Testing: Theory, Practice and Application. 2.ª ed. Research Studies Press.

Avitabile, Peter. 2018. Modal Testing: A Practitioner’s Guide. Wiley.

Silva, José M. M., y Nuno M. M. Maia, eds. 1999. Modal Analysis and Testing. Springer. https://doi.org/10.1007/978-94-011-4503-9.

Inman, Daniel J. 2017. Vibration with Control. 2.ª ed. Wiley.

Teoría breve

M5.1 Sistema de 1 GDL: ecuación del movimiento

Definición 1 Grados de libertad (degrees of freedom, GDL). Número mínimo de coordenadas necesarias para fijar la configuración de un sistema.

Un punto material tiene 3 (traslaciones); un sólido rígido, 6 (tres traslaciones y tres giros); un sólido deformable, infinitos. De hecho, cualquier estructura real tiene infinitos GDL, pero en la práctica trabajamos con un número finito \(N\) de ellos (en los apuntes, del orden de 1 a 50), limitado por el rango de frecuencias de interés, por la amplitud medible y por la dificultad de medir giros. Un sistema de \(N\) GDL tiene \(N\) modos de vibración (M6).

El sistema de 1 GDL (single degree of freedom, SDOF) es el modelo más simple y el bloque de construcción de todo lo demás: más adelante veremos que un sistema de \(N\) GDL se comporta como una suma de \(N\) osciladores de 1 GDL (M6.3). Consta de una masa \(m\) que solo se mueve según una coordenada \(x(t)\), unida a un apoyo fijo mediante un muelle de rigidez \(k\) y un amortiguador viscoso de constante \(c\), y sometida a una fuerza \(f(t)\).

Esquema de una masa sobre un carro unida a una pared por un muelle y un amortiguador en paralelo, con una fuerza horizontal aplicada a la masa y la coordenada x(t) indicada con una flecha — Figura 1: Oscilador de 1 GDL: masa \(m\), muelle \(k\), amortiguador \(c\) y fuerza \(f(t)\). La coordenada \(x(t)\) se mide desde la posición de equilibrio.

Aplicando la segunda ley de Newton a la masa (muelle y amortiguador se oponen al movimiento):

\[ m\ddot{x}(t)+c\,\dot{x}(t)+k\,x(t)=f(t). \tag{1}\]

Idea clave

Un oscilador de 1 GDL queda fijado por tres parámetros (\(m\), \(c\), \(k\)), que se resumen en tres números con sentido físico: \(\omega_n\) (a qué frecuencia oscila), \(\zeta\) (cuánta energía disipa) y \(1/k\) (cuánto se deforma bajo una carga estática).

Dos puntos que suelen confundir

Si el muelle es vertical (como en los dibujos de los apuntes), \(x(t)\) se mide desde la posición de equilibrio estático; por eso el peso no aparece en la ecuación.
La ecuación es una ecuación diferencial lineal, de segundo orden, con coeficientes constantes. Esa linealidad es una hipótesis del modelo, no una propiedad de la estructura: exige que \(m\), \(c\) y \(k\) no dependan de \(x\) (linealidad) ni de \(t\) (invarianza temporal); véase M7.1.

Un poco de historia: Hooke y su muelle

Robert Hooke enunció su ley de la elasticidad en 1660 en forma de anagrama y publicó la solución en 1678, la famosa ut tensio, sic vis («como la extensión, así la fuerza»). Esa proporcionalidad entre fuerza y deformación es lo que permite escribir el término \(kx\) del oscilador, y solo es una buena aproximación mientras la estructura trabaja lejos de su límite elástico.

Fuente: Aspectos históricos en un trabajo sobre materiales no asociados, arXiv:1206.3100. Consultado el 21-10-2026.

Pon a prueba lo anterior. Los ejercicios se corrigen en tu navegador y no envían nada a ningún sitio.

¿Cuántos grados de libertad tiene un sólido rígido libre en el espacio?

3
6
9
Infinitos

Seis: tres traslaciones \((x,y,z)\) y tres giros \((\theta_x,\theta_y,\theta_z)\). El punto material tiene 3 y el sólido deformable, infinitos.

La ecuación \(m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=f(t)\) puede aplicarse tal cual a un sistema cuya rigidez aumenta con la amplitud de la vibración.

Piensa en qué hipótesis hay detrás de que \(m\), \(c\) y \(k\) sean constantes.

Falso. Si \(k\) depende de \(x\), la ecuación deja de ser lineal: se viola la hipótesis de linealidad (M7.1), y las soluciones de M5 ya no valen.

M5.2 Vibración libre amortiguada y no amortiguada; decremento logarítmico

Sin amortiguamiento. Con \(c=0\) y \(f=0\), \(m\ddot{x}+kx=0\), es decir, \(\ddot{x}+\omega_n^2x=0\) con \(\omega_n=\sqrt{k/m}\). Probando \(x=Ae^{st}\) resulta \(s^2=-\omega_n^2\), \(s=\pm i\omega_n\), y con la fórmula de Euler

\[ x(t)=A\cos\omega_n t+B\sin\omega_n t. \]

Las condiciones iniciales \(x(0)=x_0\), \(\dot{x}(0)=v_0\) dan \(A=x_0\), \(B=v_0/\omega_n\):

\[ x(t)=x_0\cos\omega_n t+\frac{v_0}{\omega_n}\sin\omega_n t = X\sin(\omega_n t+\varphi),\qquad X=\sqrt{x_0^2+\left(\frac{v_0}{\omega_n}\right)^2},\quad \varphi=\operatorname{atan2}(\omega_n x_0,\,v_0). \]

Es un movimiento armónico simple de periodo \(T=2\pi/\omega_n\) y amplitud constante. La frecuencia natural solo depende de \(m\) y \(k\), no de las condiciones iniciales.

Con amortiguamiento viscoso. Con \(f=0\), probamos \(x=Xe^{st}\) y obtenemos la ecuación característica \(ms^2+cs+k=0\), cuyas raíces son los polos del sistema:

\[ s_{1,2}=-\frac{c}{2m}\pm\sqrt{\left(\frac{c}{2m}\right)^2-\frac{k}{m}} . \]

El radicando cambia de signo cuando \(c=c_c=2m\omega_n=2\sqrt{km}\) .

Definición 2 Amortiguamiento crítico y razón de amortiguamiento. \(c_c=2m\omega_n=2\sqrt{km}\) es el valor de \(c\) que anula el radicando; \(\zeta=c/c_c\) es la razón de amortiguamiento (adimensional).

Con ella,

\[ s_{1,2}=\left(-\zeta\pm\sqrt{\zeta^2-1}\right)\omega_n . \]

Según el valor de \(\zeta\) hay tres regímenes. La respuesta con condiciones iniciales \(x_0\), \(v_0\) es:

Régimen	Polos	\(x(t)\)
Subcrítico \(\zeta<1\)	par complejo conjugado	\(e^{-\zeta\omega_n t}\Big[x_0\cos\omega_d t+\dfrac{v_0+\zeta\omega_n x_0}{\omega_d}\sin\omega_d t\Big]\)
Crítico \(\zeta=1\)	raíz real doble \(s=-\omega_n\)	\(\big[(1+\omega_n t)\,x_0+v_0\,t\big]e^{-\omega_n t}\)
Supercrítico \(\zeta>1\)	dos raíces reales negativas	\(e^{-\zeta\omega_n t}\Big[x_0\cosh\omega^* t+\dfrac{v_0+\zeta\omega_n x_0}{\omega^}\sinh\omega^ t\Big]\), \(\ \omega^*=\omega_n\sqrt{\zeta^2-1}\)

con \(\omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}\) la frecuencia natural amortiguada (rad/s). Solo el caso subcrítico oscila; el crítico y el supercrítico vuelven al equilibrio sin oscilar, y el crítico lo hace más deprisa (el polo lento del supercrítico, \(\omega_n(\zeta-\sqrt{\zeta^2-1})\), es más lento que \(\omega_n\)).

Plano complejo con ejes real e imaginario; dos polos conjugados en el semiplano izquierdo sobre una semicircunferencia de radio omega n, con el ángulo beta, la parte real sigma y la parte imaginaria omega d marcadas — Figura 2: Plano de Laplace de un oscilador subcrítico: el polo \(s_1\) y su conjugado están sobre una semicircunferencia de radio \(\omega_n\); el ángulo \(\beta\) cumple \(\zeta=\cos\beta\).

Interpretación de los polos (Figura 2). En el caso subcrítico, \(s=\sigma\pm i\omega_d\) con \(\sigma=-\zeta\omega_n\). Entonces

la parte imaginaria es la frecuencia de oscilación \(\omega_d\) y la parte real fija el decaimiento \(e^{\sigma t}\);
el módulo del polo es la frecuencia natural no amortiguada, \(|s|=\sqrt{\sigma^2+\omega_d^2}=\omega_n\), y \(\zeta=-\sigma/|s|=\cos\beta\), siendo \(\beta\) el ángulo entre el polo y el eje real negativo;
los polos se mueven por una semicircunferencia de radio \(\omega_n\): parten del eje imaginario con \(\zeta=0\), bajan hacia el eje real y se juntan en \(-\omega_n\) cuando \(\zeta=1\); después se separan sobre el eje real.

La envolvente de la oscilación es \(Xe^{-\zeta\omega_n t}\) y el periodo amortiguado \(T_d=2\pi/\omega_d\) es mayor que \(2\pi/\omega_n\). En estructuras reales \(\zeta\) es pequeño (en los apuntes, menor del 10 %, salvo que haya sistemas de amortiguamiento activo), así que \(\omega_d\approx\omega_n\); pero conviene no confundirlas: la diferencia crece con \(\zeta\), y para \(\zeta\ge1\) la frecuencia amortiguada no existe.

Simulación 1. Respuesta libre. Cambia los parámetros y observa los tres regímenes y la posición de los polos.

viewof L_m = Inputs.range([0.2, 5], {value: 1, step: 0.1, label: "m (kg)"})

viewof L_k = Inputs.range([20, 500], {value: 100, step: 5, label: "k (N/m)"})

viewof L_c = Inputs.range([0, 60], {value: 3, step: 0.5, label: "c (N·s/m)"})

viewof L_x0 = Inputs.range([-50, 50], {value: 20, step: 1, label: "x₀ (mm)"})

viewof L_v0 = Inputs.range([-1, 1], {value: 0, step: 0.05, label: "v₀ (m/s)"})

L_p = sdofParametros(L_m, L_k, L_c)
L_T = {
  const P = 2 * Math.PI / L_p.wn;
  if (L_c === 0) return 8 * P;
  const lento = L_p.zeta < 1 ? L_p.zeta * L_p.wn : L_p.wn * (L_p.zeta - Math.sqrt(L_p.zeta ** 2 - 1));
  return Math.min(Math.max(4 / lento, 3 * P), 25 * P);
}
L_datos = muestrea(t => 1000 * sdofLibre(L_m, L_k, L_c, L_x0 / 1000, L_v0, t), 0, L_T, 700).map(d => ({t: d.x, x: d.y}))
L_env = {
  if (L_p.zeta >= 1 || L_c === 0) return [];
  const X = 1000 * Math.hypot(L_x0 / 1000, (L_v0 + L_p.zeta * L_p.wn * L_x0 / 1000) / L_p.wd);
  const e = muestrea(t => X * Math.exp(-L_p.zeta * L_p.wn * t), 0, L_T, 200);
  return [
    Plot.line(e.map(d => ({t: d.x, x: d.y})), {x: "t", y: "x", stroke: "#d95f02", strokeDasharray: "5 4"}),
    Plot.line(e.map(d => ({t: d.x, x: -d.y})), {x: "t", y: "x", stroke: "#d95f02", strokeDasharray: "5 4"})
  ];
}

L_fig1 = Plot.plot({
  width: 560, height: 300, marginLeft: 55,
  x: {label: "t (s)"}, y: {label: "x (mm)", grid: true},
  marks: [Plot.ruleY([0]), ...L_env, Plot.line(L_datos, {x: "t", y: "x", stroke: "#1b6ca8", strokeWidth: 2})]
})
L_arco = Array.from({length: 361}, (_, i) => { const a = 2 * Math.PI * i / 360; return {re: L_p.wn * Math.cos(a), im: L_p.wn * Math.sin(a)}; })
L_fig2 = Plot.plot({
  width: 300, height: 300, aspectRatio: 1, marginLeft: 55,
  x: {label: "Re(s) (1/s)", domain: [-1.4 * L_p.wn, 0.4 * L_p.wn]},
  y: {label: "Im(s) (rad/s)", domain: [-1.4 * L_p.wn, 1.4 * L_p.wn]},
  marks: [
    Plot.ruleX([0]), Plot.ruleY([0]),
    Plot.line(L_arco, {x: "re", y: "im", stroke: "#999", strokeDasharray: "3 3"}),
    Plot.text(L_p.polos, {x: d => d.re, y: d => d.im, text: () => "×", fontSize: 26, fill: "#d95f02"})
  ]
})
html`<div style="display:flex; gap:1rem; flex-wrap:wrap; align-items:flex-start">${L_fig1}${L_fig2}</div>`

md`Régimen **${L_p.regimen}** · ω<sub>n</sub> = ${L_p.wn.toFixed(2)} rad/s (${(L_p.wn / (2 * Math.PI)).toFixed(2)} Hz) · ζ = ${(100 * L_p.zeta).toFixed(1)} % · c<sub>c</sub> = ${L_p.cc.toFixed(2)} N·s/m · ${L_p.zeta < 1 ? "ω<sub>d</sub> = " + L_p.wd.toFixed(2) + " rad/s" : "sin frecuencia amortiguada"}`

Errores frecuentes

Confundir \(\omega_n\) (rad/s) con \(f_n=\omega_n/2\pi\) (Hz).
Usar \(\omega_n\) en lugar de \(\omega_d\) dentro del seno y del coseno de la respuesta amortiguada.
Pensar que «más amortiguamiento» es siempre «más rápido»: pasado el valor crítico, el sistema vuelve más lento al equilibrio.

Pendiente en esta sección

Decremento logarítmico: no figura en los apuntes de partida y no se desarrolla aquí. Se completará a partir de una fuente verificable.

Pon a prueba lo anterior.

Un oscilador tiene \(m=2\) kg, \(k=800\) N/m y \(c=16\) N·s/m. Calcula su razón de amortiguamiento \(\zeta\).

\(c_c=2\sqrt{km}\) y \(\zeta=c/c_c\).

\(c_c=2\sqrt{800\cdot2}=80\) N·s/m, luego \(\zeta=16/80=0{,}2\).

Para el mismo oscilador, calcula la frecuencia natural amortiguada \(\omega_d\).

Primero \(\omega_n=\sqrt{k/m}\); después \(\omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}\).

\(\omega_n=\sqrt{800/2}=20\) rad/s y \(\omega_d=20\sqrt{1-0{,}2^2}=19{,}596\) rad/s (\(3{,}119\) Hz). Distingue siempre rad/s de Hz.

Con \(\zeta=2\) el sistema vuelve al equilibrio antes que con \(\zeta=1\).

Falso. El amortiguamiento crítico es el que vuelve más deprisa sin oscilar. Con \(\zeta>1\) uno de los polos reales, \(\omega_n(\zeta-\sqrt{\zeta^2-1})\), es más lento que \(\omega_n\), así que el regreso es más lento.

Con \(m=1\) kg, \(k=100\) N/m, \(c=0{,}6\) N·s/m, \(x_0=0{,}01\) m y \(v_0=0{,}3\) m/s, calcula en Julia \(x(0{,}37)\) de dos formas y comprueba que coinciden: con la fórmula cerrada subcrítica y con la exponencial matricial del espacio de estados. Escribe aquí el valor (en m).

using LinearAlgebra
m, k, c = 1.0, 100.0, 0.6
x0, v0, t = 0.01, 0.3, 0.37
# 1) fórmula cerrada: ωn, ζ, ωd …
# 2) A = [0 1; -k/m -c/m];  x = (exp(A*t) * [x0, v0])[1]

ωn = sqrt(k / m);  ζ = c / (2sqrt(k * m));  ωd = ωn * sqrt(1 - ζ^2)
x_cerrada = exp(-ζ*ωn*t) * (x0*cos(ωd*t) + (v0 + ζ*ωn*x0)/ωd * sin(ωd*t))
A = [0 1; -k/m -c/m]
x_matriz = (exp(A*t) * [x0, v0])[1]
@show x_cerrada x_matriz   # ambos ≈ -0.021933

Coinciden hasta la precisión de la máquina. Si no te sale, comprueba que usas \(\omega_d\) y no \(\omega_n\) dentro del seno y del coseno.

M5.3 Modelos de amortiguamiento: viscoso, histerético y estructural

Los apuntes usan dos modelos de amortiguamiento, que se comportan de forma muy distinta.

Viscoso. La fuerza disipativa es proporcional a la velocidad, \(f_d=-c\dot{x}\). Es el modelo de la ecuación ecuación 1 y el natural en amortiguadores y en fluidos. Es una ecuación diferencial real en el tiempo, válida para cualquier excitación (libre, armónica, transitoria).

Histerético. Se propone una fuerza disipativa proporcional al desplazamiento pero en cuadratura con él (adelantada \(90^\circ\)), de modo que con movimiento armónico \(e^{i\omega t}\) la ecuación es

\[ m\ddot{x}+k\,x+i\,h\,x=f(t),\qquad \alpha(\omega)=\frac{1}{k-m\omega^2+i\,h}, \]

donde \(h\) (N/m) es el coeficiente histerético; el cociente \(\eta=h/k\) se llama factor de pérdidas. En los apuntes se usa para la receptancia en el diagrama de Nyquist (SDOF) y en la ecuación del movimiento con matriz \([D]\) (MDOF, § M6.3).

Energía disipada por ciclo. Con \(x=X\cos(\omega t+\theta)\), la energía disipada por ciclo por el amortiguador viscoso es \(W_v=\oint c\dot{x}\,\mathrm{d}x=\pi c\,\omega X^2\), que crece con la frecuencia. Para el modelo histerético, la fuerza disipativa \(h\,x\) en cuadratura equivale a un amortiguador de constante \(c_{\mathrm{eq}}=h/\omega\) a esa frecuencia, y

\[ W_h=\pi\,h\,X^2 , \]

independiente de la frecuencia. Igualando ambos, a la frecuencia \(\omega\) el modelo histerético equivale a un viscoso con \(c_{\mathrm{eq}}=h/\omega\), y en resonancia (\(\omega=\omega_n\)) a una razón de amortiguamiento \(\zeta_{\mathrm{eq}}=\eta/2\).

Demostración de \(W_v\), \(W_h\) y \(\zeta_{\mathrm{eq}}\)

Con \(x=X\cos(\omega t+\theta)\) resulta \(\dot{x}=-\omega X\sin(\omega t+\theta)\). En un ciclo, la energía que disipa el amortiguador viscoso es \(W_v=\int_0^{T}c\,\dot{x}^2\,\mathrm{d}t=c\,\omega^2X^2\cdot\tfrac{T}{2}=\pi c\,\omega X^2\), porque la media de \(\sin^2\) en un periodo es \(1/2\) y \(T=2\pi/\omega\). La fuerza histerética \(h\,x\) en cuadratura equivale a \(h\,\dot{x}/\omega\), es decir, a un amortiguador \(c_{\mathrm{eq}}=h/\omega\), de modo que \(W_h=\pi c_{\mathrm{eq}}\omega X^2=\pi hX^2\). En resonancia, \(c_{\mathrm{eq}}=h/\omega_n=2\zeta_{\mathrm{eq}}m\omega_n\) da \(\zeta_{\mathrm{eq}}=h/(2m\omega_n^2)=h/(2k)=\eta/2\).

	Viscoso	Histerético
Fuerza disipativa	\(c\,\dot{x}\)	\(i\,h\,x\) (en cuadratura con \(x\))
Energía por ciclo	\(\pi c\omega X^2\) (crece con \(\omega\))	\(\pi h X^2\) (no depende de \(\omega\))
Validez	cualquier excitación, en el tiempo y en frecuencia	solo régimen armónico (dominio de la frecuencia)
Pico de \(\lvert\alpha\rvert\)	cerca de \(\omega_n\sqrt{1-2\zeta^2}\)	exactamente en \(\omega_n\)
Lugar de Nyquist de la receptancia	casi un círculo si \(\zeta\) es pequeño	círculo exacto (§ M5.5)
Uso típico	amortiguadores; respuesta transitoria; integración temporal	ajuste de FRF medidas en materiales y estructuras

El «\(i\)» de la ecuación histerética hace que, escrita en el tiempo, la ecuación no sea una ecuación diferencial real: el modelo se define para movimiento armónico y no sirve tal cual para simular una respuesta transitoria. Para ampliar sobre este punto, véase (Crandall 1970).

Crandall, Stephen H. 1970. «The role of damping in vibration theory». Journal of Sound and Vibration 11 (1): 3-18.

Pendiente en esta sección

En los apuntes «estructural» aparece solo como etiqueta junto a «viscoso», «Coulomb» e «histerético»; en parte de la bibliografía se usa como sinónimo del histerético. No se desarrolla aquí como modelo distinto. Tampoco se trata el amortiguamiento de Coulomb (fricción seca).

Un poco de historia: Rayleigh y la disipación

En 1873, lord Rayleigh introdujo la función de disipación, que expresa la mitad de la potencia que un sistema pierde por rozamiento viscoso, y volvió a ella en su obra The Theory of Sound (1877-1878), referencia durante décadas (Minguzzi 2014). El amortiguamiento proporcional de M6.4 lleva su nombre. Hoy se usa más por comodidad matemática que por fidelidad a la física de la disipación, algo que conviene recordar al leer una razón de amortiguamiento ajustada.

Minguzzi, E. 2014. Rayleigh’s dissipation function at work. arXiv:1409.4041. https://arxiv.org/abs/1409.4041.

Pon a prueba lo anterior.

¿Cuál de estas afirmaciones sobre el amortiguamiento histerético es correcta?

Es válido para cualquier excitación, también para una respuesta transitoria.
La energía que disipa por ciclo no depende de la frecuencia.
Disipa más energía por ciclo cuanto mayor es la frecuencia.
Equivale siempre a un amortiguador viscoso de constante fija.

La b. \(W_h=\pi hX^2\) no depende de \(\omega\). Es un modelo de régimen armónico (a), y equivale a un viscoso solo a una frecuencia dada, \(c_{\mathrm{eq}}=h/\omega\) (d). Lo que crece con la frecuencia es la energía del modelo viscoso (c).

Reflexión (no evaluada). ¿Con qué modelo de amortiguamiento has trabajado antes?

Viscoso
Histerético
Ambos
Con ninguno, o no lo recuerdo

M5.4 Vibración forzada armónica, resonancia y factor de amplificación

Sea \(f(t)=\mathrm{Re}\{Fe^{i\omega t}\}=F\cos\omega t\). La solución es suma de la homogénea (transitoria, de M5.2, que decae como \(e^{-\zeta\omega_n t}\) si \(\zeta>0\)) y de una particular (estacionaria), que sigue a la fuerza: la que queda cuando el transitorio se ha extinguido. Para el régimen estacionario ensayamos \(x_p=\mathrm{Re}\{\bar{X}e^{i\omega t}\}\) con \(\bar{X}=Xe^{i\theta}\) complejo; sustituyendo, \((-m\omega^2+ic\omega+k)\bar{X}=F\), por tanto

\[ \bar{X}=\frac{F}{k-m\omega^2+i\,c\omega},\qquad X=\frac{F}{\sqrt{(k-m\omega^2)^2+(c\omega)^2}},\qquad \theta=-\operatorname{atan2}(c\omega,\;k-m\omega^2)\in(-\pi,0]. \]

Con \(\theta<0\) la respuesta se retrasa respecto de la fuerza. La respuesta completa es \(x(t)=x_h(t)+X\cos(\omega t+\theta)\), y las constantes de \(x_h\) se determinan con las condiciones iniciales de la solución total.

Factor de amplificación. Dividiendo por el desplazamiento estático \(X_s=F/k\) y con \(\beta=\omega/\omega_n\):

\[ Q(\beta)=\frac{X}{X_s}=\frac{1}{\sqrt{(1-\beta^2)^2+(2\zeta\beta)^2}},\qquad \theta(\beta)=-\operatorname{atan2}\big(2\zeta\beta,\;1-\beta^2\big). \]

Tres zonas:

\(\beta\ll1\) (por debajo de la resonancia): \(Q\to1\) y \(\theta\to0\). La estructura responde de forma casi estática, controlada por la rigidez.
\(\beta=1\) (resonancia): \(Q=1/(2\zeta)\) y \(\theta=-90^\circ\) para cualquier \(\zeta\). Está controlada por el amortiguamiento.
\(\beta\gg1\): \(Q\approx1/\beta^2\) y \(\theta\to-180^\circ\). Domina la masa (la respuesta es muy pequeña y en oposición de fase).

Resonancia y las tres frecuencias. «Frecuencia de resonancia» se usa con varios sentidos. Con amortiguamiento viscoso son distintas:

Frecuencia	Valor	Qué es
\(\omega_n=\sqrt{k/m}\)	–	natural no amortiguada; módulo de los polos
\(\omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}\)	–	frecuencia de la oscilación libre amortiguada
\(\omega_{\text{pico}}^{\alpha}=\omega_n\sqrt{1-2\zeta^2}\)	existe si \(\zeta<1/\sqrt2\)	máximo de \(\lvert\alpha\rvert\); ahí \(Q_{\max}=1/(2\zeta\sqrt{1-\zeta^2})\)
movilidad	\(\omega_n\)	máximo de \(\lvert Y\rvert\)
inertancia	\(\omega_n/\sqrt{1-2\zeta^2}\)	máximo de \(\lvert A\rvert\)

Para \(\zeta=0{,}03\) (con \(\omega_n=10\) rad/s) los tres valores son \(10{,}000\), \(9{,}9955\) y \(9{,}9910\) rad/s: casi iguales, pero no la misma cosa. Para \(\zeta=0{,}3\) son \(10\), \(9{,}54\) y \(9{,}06\) rad/s. Para estructuras con amortiguamientos bajos se suele hablar sin distinguir; en una identificación precisa conviene saber a cuál te refieres (M7).

Proposición 1 Frecuencias de pico. Con amortiguamiento viscoso, el módulo de la receptancia \(\lvert\alpha\rvert\) alcanza su máximo en \(\omega=\omega_n\sqrt{1-2\zeta^2}\) (si \(\zeta<1/\sqrt2\)), con \(Q_{\max}=1/\big(2\zeta\sqrt{1-\zeta^2}\big)\); el de la movilidad \(\lvert Y\rvert\), en \(\omega_n\); el de la inertancia \(\lvert A\rvert\), en \(\omega_n/\sqrt{1-2\zeta^2}\).

Demostración

Receptancia. \(\lvert\alpha\rvert\propto Q(\beta)\) es máximo cuando \(g(\beta)=(1-\beta^2)^2+4\zeta^2\beta^2\) es mínimo. Como \(g'(\beta)=-4\beta(1-\beta^2)+8\zeta^2\beta=4\beta\,(2\zeta^2-1+\beta^2)\), el mínimo está en \(\beta^2=1-2\zeta^2\) y vale \(g=4\zeta^2(1-\zeta^2)\), de donde \(Q_{\max}=1/(2\zeta\sqrt{1-\zeta^2})\).

Movilidad. \(\lvert Y\rvert=\omega\lvert\alpha\rvert\) y \(\beta^2/g(\beta)=1/\big((1/\beta-\beta)^2+4\zeta^2\big)\), que es máximo si \(1/\beta-\beta=0\), es decir, en \(\beta=1\).

Inertancia. \(\lvert A\rvert=\omega^2\lvert\alpha\rvert\) y, con \(u=1/\beta^2\), \(\beta^4/g=1/\big((u-1)^2+4\zeta^2u\big)\), que es máximo cuando \((u-1)^2+4\zeta^2u\) es mínimo: \(u=1-2\zeta^2\), es decir, \(\beta^2=1/(1-2\zeta^2)\).

Ejemplo 1 Ejemplo resuelto. Sea \(m=1\) kg, \(k=100\) N/m, \(c=0{,}6\) N·s/m, \(F=1\) N y \(\omega=9{,}5\) rad/s. Entonces \(\omega_n=10\) rad/s, \(\zeta=0{,}03\) y \(\beta=0{,}95\). Resulta \(Q=1/\sqrt{(1-0{,}9025)^2+(2\cdot0{,}03\cdot0{,}95)^2}=8{,}854\), la amplitud estacionaria \(X=QF/k=0{,}0885\) m y la fase \(\theta=-\operatorname{atan2}(0{,}057;\,0{,}0975)=-30{,}3^\circ\) (la respuesta se retrasa respecto de la fuerza).

Sin amortiguamiento. Con \(c=0\) y \(\omega=\omega_n\) no existe régimen estacionario: la solución particular crece sin límite, \(x(t)=\dfrac{F}{2m\omega_n}\,t\sin\omega_n t\) (con condiciones iniciales nulas). Es cierto que la amplitud «tiende a infinito», pero lo hace linealmente con el tiempo, y en un sistema real \(\zeta>0\) acota el máximo en \(Q=1/(2\zeta)\) una vez agotado el transitorio.

Simulación 2. Respuesta forzada. Excita el sistema con \(f(t)=F\cos\omega t\) desde reposo y observa cómo el transitorio da paso al régimen estacionario, y cómo cambian \(Q\) y la fase con la frecuencia relativa.

viewof F_m = Inputs.range([0.2, 5], {value: 1, step: 0.1, label: "m (kg)"})

viewof F_k = Inputs.range([20, 500], {value: 100, step: 5, label: "k (N/m)"})

viewof F_c = Inputs.range([0.2, 30], {value: 3, step: 0.1, label: "c (N·s/m)"})

viewof F_beta = Inputs.range([0.2, 2], {value: 0.9, step: 0.01, label: "β = ω/ωₙ"})

F_p = sdofParametros(F_m, F_k, F_c)
F_w = F_beta * F_p.wn
F_T = Math.min(Math.max(6 / (F_p.zeta * F_p.wn), 8 * 2 * Math.PI / Math.min(F_w, F_p.wn)), 60 * 2 * Math.PI / F_p.wn)
F_datos = {
  const n = 1200, out = [];
  for (let i = 0; i < n; i++) {
    const t = F_T * i / (n - 1);
    const r = sdofForzada(F_m, F_k, F_c, 1, F_w, 0, 0, t);
    out.push({t, total: 1000 * r.total, estacionaria: 1000 * r.estacionaria});
  }
  return out;
}
F_Q = muestrea(b => factorAmplificacion(b, F_p.zeta), 0.01, 2.5, 400).map(d => ({b: d.x, Q: d.y}))
F_fase = muestrea(b => faseForzada(b, F_p.zeta) * 180 / Math.PI, 0.01, 2.5, 400).map(d => ({b: d.x, fase: d.y}))

F_fig1 = Plot.plot({
  width: 700, height: 260, marginLeft: 55,
  x: {label: "t (s)"}, y: {label: "x (mm) para F = 1 N", grid: true},
  marks: [
    Plot.ruleY([0]),
    Plot.line(F_datos, {x: "t", y: "estacionaria", stroke: "#d95f02", strokeDasharray: "5 4"}),
    Plot.line(F_datos, {x: "t", y: "total", stroke: "#1b6ca8", strokeWidth: 1.6})
  ]
})
F_fig2 = Plot.plot({
  width: 340, height: 240, marginLeft: 50,
  x: {label: "β = ω/ωₙ"}, y: {label: "Q = X/Xₛ", grid: true, domain: [0, Math.max(3, Math.min(25, 1.15 * Math.max(...F_Q.map(d => d.Q))))]},
  marks: [
    Plot.line(F_Q, {x: "b", y: "Q", stroke: "#1b6ca8", strokeWidth: 2}),
    Plot.ruleX([F_beta], {stroke: "#d95f02"}),
    Plot.dot([{b: F_beta, Q: factorAmplificacion(F_beta, F_p.zeta)}], {x: "b", y: "Q", fill: "#d95f02", r: 5})
  ]
})
F_fig3 = Plot.plot({
  width: 340, height: 240, marginLeft: 50,
  x: {label: "β = ω/ωₙ"}, y: {label: "θ (°)", grid: true, domain: [-185, 5]},
  marks: [
    Plot.ruleY([-90], {stroke: "#999", strokeDasharray: "3 3"}),
    Plot.line(F_fase, {x: "b", y: "fase", stroke: "#1b6ca8", strokeWidth: 2}),
    Plot.ruleX([F_beta], {stroke: "#d95f02"}),
    Plot.dot([{b: F_beta, f: faseForzada(F_beta, F_p.zeta) * 180 / Math.PI}], {x: "b", y: "f", fill: "#d95f02", r: 5})
  ]
})
html`<div>${F_fig1}</div><div style="display:flex; gap:1rem; flex-wrap:wrap">${F_fig2}${F_fig3}</div>`

md`En azul, la respuesta total (transitorio + estacionaria); en naranja discontinuo, solo la estacionaria. ω<sub>n</sub> = ${F_p.wn.toFixed(2)} rad/s · ζ = ${(100 * F_p.zeta).toFixed(1)} % · ω = ${F_w.toFixed(2)} rad/s (${(F_w / (2 * Math.PI)).toFixed(2)} Hz) · Q = ${factorAmplificacion(F_beta, F_p.zeta).toFixed(2)} · θ = ${(faseForzada(F_beta, F_p.zeta) * 180 / Math.PI).toFixed(1)}°`

En las noticias: la pasarela que se balanceaba (Londres, 2000)

La pasarela del Milenio, sobre el Támesis, se inauguró el 10 de junio de 2000 y se cerró dos días después por un balanceo lateral con mucha gente encima. Los ingenieros del proyecto publicaron en 2001 su análisis (Dallard et al. 2001): la fuerza lateral que ejercen los peatones depende del movimiento del tablero, y cualquier pasarela con una frecuencia lateral por debajo de unos 1,3 Hz y suficiente gente podría comportarse igual. La solución fue amortiguar (no rigidizar), con amortiguadores viscosos. El mecanismo exacto sigue discutiéndose: lo investigarás en el ejercicio de M5.6.

Enlaces: artículo de The Structural Engineer (2001) · Millennium Bridge, Wikipedia · Taylor Devices: refuerzo con amortiguadores. Consultado el 21-10-2026.

Dallard, Peter, Tony Fitzpatrick, Anthony Flint, et al. 2001. «The London Millennium Footbridge». The Structural Engineer 79 (22). https://istructe.org/journal/volumes/volume-79-(published-in-2001)/issue-22.

Un poco de historia: soldados, puentes y el «paso rompido»

El puente colgante de Broughton (Mánchester) cayó el 12 de abril de 1831 al cruzarlo una tropa marchando al paso; no hubo muertos. Se contó durante siglos como el ejemplo de resonancia por excelencia, y se dice que el ejército británico ordenó desde entonces romper el paso al cruzar puentes. Pero las fuentes discrepan: algunas atribuyen la rotura a un perno de mala calidad y consideran la marcha solo el detonante. Una buena lección de M5.4: resonar no es romper; hace falta que la estructura, además, no aguante.

Enlaces: Broughton Suspension Bridge, Wikipedia · Grace’s Guide. La orden de «romper el paso» se repite en las fuentes sin documentación primaria. Consultado el 21-10-2026.

Un poco de historia: ¿fue resonancia en Tacoma Narrows?

El colapso del puente de Tacoma Narrows (1940) figura en muchos libros de física como resonancia forzada. En 1991, Billah y Scanlan advirtieron de que esa explicación es incorrecta y de que el fenómeno se asocia a una autoexcitación aeroelástica (la estructura extrae energía del viento al moverse) (Billah y Scanlan 1991). Aun hoy no hay una única explicación unánime. Retomaremos la idea en el ejercicio de investigación de M5.6.

Fuentes secundarias consultadas: Torsional instability in suspension bridges: the Tacoma Narrows Bridge case, arXiv:1508.03200 · Mark Ketchum, Bridge Aerodynamics. No he tenido acceso al texto de Billah y Scanlan. Consultado el 21-10-2026.

Billah, K. Yusuf, y Robert H. Scanlan. 1991. «Resonance, Tacoma Narrows bridge failure, and undergraduate physics textbooks». American Journal of Physics 59 (2): 118-24.

Pon a prueba lo anterior.

Con \(\zeta=0{,}2\) y \(\beta=\omega/\omega_n=0{,}9\), calcula el factor de amplificación \(Q\).

\(Q=1/\sqrt{(1-\beta^2)^2+(2\zeta\beta)^2}\).

\((1-0{,}81)^2+(2\cdot0{,}2\cdot0{,}9)^2=0{,}0361+0{,}1296=0{,}1657\), luego \(Q=1/\sqrt{0{,}1657}=2{,}457\).

Con \(\zeta=0\) y \(\omega=\omega_n\), la respuesta alcanza un régimen estacionario de amplitud infinita.

Falso. No existe régimen estacionario: la solución particular crece linealmente con el tiempo, \(x=\dfrac{F}{2m\omega_n}\,t\sin\omega_n t\). Con cualquier \(\zeta>0\), el máximo queda acotado en \(Q=1/(2\zeta)\) cuando se extingue el transitorio.

Explica con tus palabras por qué, en la resonancia, la amplitud queda controlada por el amortiguamiento y no por la masa ni por la rigidez.

Menciono que en \(\omega=\omega_n\) se cumple \(k-m\omega^2=0\): la fuerza elástica y la de inercia se compensan.
Concluyo que solo queda la fuerza de amortiguamiento para equilibrar la fuerza aplicada: \(X=F/(c\omega_n)\).
Doy el resultado \(Q=1/(2\zeta)\) y la fase \(-90^\circ\).

En \(\omega=\omega_n\) la rigidez y la masa «se cancelan» en la ecuación, \((k-m\omega_n^2)\bar{X}+ic\omega_n\bar{X}=F\), de modo que \(\bar{X}=F/(ic\omega_n)\): la amplitud la fija solo \(c\) y la respuesta va retrasada \(90^\circ\). Por eso \(Q=1/(2\zeta)\).

M5.5 FRF: receptancia, movilidad e inertancia; diagramas de Bode y Nyquist

La función de respuesta en frecuencia (FRF, frequency response function) es la función de transferencia evaluada sobre el eje imaginario, \(H(i\omega)=H(s)|_{s=i\omega}\) (véase M5.6 para la diferencia entre \(H(s)\) y \(H(i\omega)\)). Para el sistema viscoso de 1 GDL, relaciona la amplitud compleja del movimiento y la de la fuerza armónica de frecuencia \(\omega\) en régimen estacionario:

\[ \alpha(\omega)=\frac{\bar{X}}{F}=\frac{1}{k-m\omega^2+i\,c\omega}\quad\text{(receptancia, m/N).} \]

Como en la práctica se mide aceleración o velocidad, hay otras dos versiones. Como \(\dot{x}\to i\omega\bar{X}\) y \(\ddot{x}\to-\omega^2\bar{X}\):

FRF	Respuesta / fuerza	Expresión	Unidad	Fase respecto de \(\alpha\)	Inversa
Receptancia \(\alpha\)	desplazamiento	\(\dfrac{1}{k-m\omega^2+ic\omega}\)	m/N	–	rigidez dinámica
Movilidad \(Y\)	velocidad	\(i\omega\,\alpha\)	m/(s·N)	\(+90^\circ\)	impedancia mecánica
Inertancia (acelerancia) \(A\)	aceleración	\(-\omega^2\alpha\)	m/(s²·N)	\(+180^\circ\)	masa aparente

Representaciones. Una FRF compleja puede mostrarse de varias formas:

Parte real y parte imaginaria frente a \(\omega\). Para la receptancia viscosa, \(\mathrm{Re}\,\alpha\) es positiva por debajo de \(\omega_n\), cambia de signo en \(\omega_n\) y es negativa por encima; \(\mathrm{Im}\,\alpha\le0\) y tiene su valor extremo cerca de \(\omega_n\).
Diagrama de Bode. Módulo y fase frente a \(\omega\). Con escalas logarítmicas no se pierde detalle en los niveles bajos. El módulo se expresa también en decibelios, \(20\log_{10}(|\alpha|/\alpha_{\mathrm{ref}})\), con \(\alpha_{\mathrm{ref}}=1\) si no se indica otra referencia.
Diagrama de Nyquist. \(\mathrm{Im}\,H\) frente a \(\mathrm{Re}\,H\) con \(\omega\) como parámetro.

Asíntotas en el Bode logarítmico. En escala log–log, el módulo de la receptancia se aproxima por dos rectas:

Baja frecuencia (\(\omega\ll\omega_n\)), recta de rigidez o de flexibilidad: \(|\alpha|\to1/k\), horizontal.
Alta frecuencia (\(\omega\gg\omega_n\)), recta de masa: \(|\alpha|\to1/(m\omega^2)\), pendiente \(-2\) (en \(\log|\alpha|=-\log m-2\log\omega\)).

Se cortan exactamente en \(\omega_n\) (\(k=m\omega_n^2\)). Para movilidad e inertancia las pendientes se desplazan \(+1\) y \(+2\): rigidez \(|Y|\to\omega/k\), masa \(|Y|\to1/(m\omega)\); rigidez \(|A|\to\omega^2/k\), masa \(|A|\to1/m\).

Efecto de cambiar la masa, la rigidez o el amortiguamiento.

Rigidez \(k\): desplaza la frecuencia de resonancia y cambia el nivel a baja frecuencia.
Masa \(m\): desplaza la frecuencia de resonancia y cambia el comportamiento a alta frecuencia.
Amortiguamiento \(c\): no cambia las rectas de masa y rigidez ni \(\omega_n\); modifica sobre todo la altura y la anchura del pico (y, ligeramente, \(\omega_d\) y la posición exacta del máximo).

Simulación 3. FRF en Bode con asíntotas. Cambia \(m\), \(k\) y \(c\) y compara el módulo con las rectas de masa y de rigidez.

viewof R_m = Inputs.range([0.2, 10], {value: 1, step: 0.1, label: "m (kg)"})

viewof R_k = Inputs.range([20, 2000], {value: 100, step: 10, label: "k (N/m)"})

viewof R_c = Inputs.range([0.05, 40], {value: 0.6, step: 0.05, label: "c (N·s/m)"})

viewof R_tipo = Inputs.radio(["Receptancia", "Movilidad", "Inertancia"], {value: "Receptancia", label: "FRF"})

R_p = sdofParametros(R_m, R_k, R_c)
R_f = R_tipo === "Receptancia" ? receptancia : R_tipo === "Movilidad" ? movilidad : inertancia
R_pot = R_tipo === "Receptancia" ? 0 : R_tipo === "Movilidad" ? 1 : 2
R_mod = muestreaLog(w => cabs(R_f(R_m, R_k, R_c, w)), 0.1, 1000, 500).map(d => ({w: d.x, y: d.y}))
R_fase = muestreaLog(w => faseGrados(R_f(R_m, R_k, R_c, w)), 0.1, 1000, 500).map(d => ({w: d.x, y: d.y}))
R_asi_k = muestreaLog(w => (w ** R_pot) / R_k, 0.1, 1000, 100).map(d => ({w: d.x, y: d.y}))
R_asi_m = muestreaLog(w => (w ** (R_pot - 2)) / R_m, 0.1, 1000, 100).map(d => ({w: d.x, y: d.y}))

R_fig1 = Plot.plot({
  width: 700, height: 320, marginLeft: 65,
  x: {type: "log", label: "ω (rad/s)", domain: [0.1, 1000], grid: true},
  y: {type: "log", label: "|" + R_tipo + "|", grid: true},
  marks: [
    Plot.line(R_asi_k, {x: "w", y: "y", stroke: "#2a9d8f", strokeDasharray: "6 4", strokeWidth: 1.5}),
    Plot.line(R_asi_m, {x: "w", y: "y", stroke: "#8a5a00", strokeDasharray: "2 3", strokeWidth: 1.5}),
    Plot.line(R_mod, {x: "w", y: "y", stroke: "#1b6ca8", strokeWidth: 2.2}),
    Plot.ruleX([R_p.wn], {stroke: "#d95f02", strokeDasharray: "2 3"})
  ]
})
R_fig2 = Plot.plot({
  width: 700, height: 200, marginLeft: 65,
  x: {type: "log", label: "ω (rad/s)", domain: [0.1, 1000], grid: true},
  y: {label: "fase (°)", grid: true, domain: [R_pot === 0 ? -190 : R_pot === 1 ? -100 : -10, R_pot === 0 ? 10 : R_pot === 1 ? 100 : 190]},
  marks: [Plot.line(R_fase, {x: "w", y: "y", stroke: "#1b6ca8", strokeWidth: 2.2}), Plot.ruleX([R_p.wn], {stroke: "#d95f02", strokeDasharray: "2 3"})]
})
html`<div>${R_fig1}</div><div>${R_fig2}</div>`

md`Trazo azul: ${R_tipo.toLowerCase()}. Verde a trazos: recta de rigidez. Marrón punteada: recta de masa. Naranja: ω<sub>n</sub> = ${R_p.wn.toFixed(2)} rad/s (${(R_p.wn / (2 * Math.PI)).toFixed(2)} Hz), ζ = ${(100 * R_p.zeta).toFixed(2)} %.`

Nyquist: qué círculo es cuál.

Proposición 2 Círculo de la receptancia histerética. Con \(\alpha(\omega)=1/(k-m\omega^2+ih)\), el lugar de Nyquist es un círculo exacto, de centro \((0,-1/(2h))\) y radio \(1/(2h)\), que pasa por el origen. La resonancia \(\omega=\omega_n\) es su punto inferior, \(\alpha=-i/h\).

Demostración

Con \(a=\mathrm{Re}\,\alpha=(k-m\omega^2)/D\), \(b=\mathrm{Im}\,\alpha=-h/D\) y \(D=(k-m\omega^2)^2+h^2\), se cumple \(a^2+b^2=1/D=-b/h\), es decir \(a^2+b^2+b/h=0\). Completando cuadrados, \(a^2+\big(b+\tfrac{1}{2h}\big)^2=\big(\tfrac{1}{2h}\big)^2\). En \(\omega=\omega_n\), \(k-m\omega_n^2=0\) y \(\alpha=1/(ih)=-i/h\).

Los puntos de potencia mitad \(\omega_{1,2}=\omega_n\sqrt{1\mp\eta}\) están sobre la horizontal que pasa por el centro, donde \(|\alpha|=(1/h)/\sqrt2\); el ángulo entre ellos y el diámetro vertical es \(90^\circ\). Este razonamiento geométrico es la base del ajuste circular que verás en M7.2.

No hay que extender esa deducción al amortiguamiento viscoso: para la receptancia viscosa el lugar de Nyquist solo se parece a un círculo cuando \(\zeta\) es pequeño. Sí se cumple, y puede comprobarse, que la movilidad viscosa \(Y(\omega)=1/\big(c+i(m\omega-k/\omega)\big)\) describe un círculo exacto de centro \(1/(2c)\) y diámetro \(1/c\) (la expresión \(1/(c+iX)\) con \(X\) real recorre una circunferencia).

Simulación 4. Nyquist.

viewof N_tipo = Inputs.radio(["Receptancia histerética (círculo exacto)", "Receptancia viscosa", "Movilidad viscosa (círculo exacto)"], {value: "Receptancia histerética (círculo exacto)", label: "FRF"})

viewof N_zeta = Inputs.range([0.01, 0.5], {value: 0.05, step: 0.01, label: "ζ (viscoso) o η/2 (histerético)"})

N_m = 1
N_k = 100
N_wn = Math.sqrt(N_k / N_m)
N_c = 2 * N_zeta * N_m * N_wn
N_h = 2 * N_zeta * N_k
N_f = w => N_tipo.startsWith("Receptancia hist") ? receptanciaHisteretica(N_m, N_k, N_h, w) : N_tipo.startsWith("Receptancia vis") ? receptancia(N_m, N_k, N_c, w) : movilidad(N_m, N_k, N_c, w)
N_datos = Array.from({length: 1200}, (_, i) => { const w = 0.05 * N_wn + (3 * N_wn) * i / 1199; const z = N_f(w); return {re: z.re, im: z.im, w}; })
N_pico = N_f(N_wn)

Plot.plot({
  width: 520, height: 420, aspectRatio: 1, marginLeft: 70,
  x: {label: "Re (" + (N_tipo.startsWith("Mov") ? "m/(s·N)" : "m/N") + ")", grid: true},
  y: {label: "Im", grid: true},
  marks: [
    Plot.ruleX([0]), Plot.ruleY([0]),
    Plot.line(N_datos, {x: "re", y: "im", stroke: "#1b6ca8", strokeWidth: 2.2}),
    Plot.dot([{re: N_pico.re, im: N_pico.im}], {x: "re", y: "im", fill: "#d95f02", r: 6}),
    Plot.text([{re: N_pico.re, im: N_pico.im}], {x: "re", y: "im", text: () => "ω = ωₙ", dy: 14, dx: 40, fill: "#d95f02"})
  ]
})

md`Con ω<sub>n</sub> = ${N_wn} rad/s, m = ${N_m} kg y k = ${N_k} N/m. Punto naranja: ω = ω<sub>n</sub>. El sentido de recorrido es el de ω creciente (horario en la receptancia).`

Pon a prueba lo anterior.

En el Bode log–log de la receptancia, ¿qué pendiente tiene la asíntota de alta frecuencia (la recta de masa)?

\(0\)
\(-1\)
\(-2\)
\(+2\)

\(-2\): a alta frecuencia \(\lvert\alpha\rvert\to1/(m\omega^2)\), es decir \(\log\lvert\alpha\rvert=-\log m-2\log\omega\). La recta de rigidez (\(1/k\)) es horizontal.

Para el oscilador \(m=2\) kg, \(k=800\) N/m y \(c=16\) N·s/m, calcula el módulo de la movilidad en \(\omega_n\).

En \(\omega_n\) se anula la parte reactiva y \(Y(\omega_n)=1/c=1/16=0{,}0625\) m/(s·N).

M5.6 Excitación por la base, aislamiento, respuesta impulsional e integral de Duhamel

Función de transferencia. Transformamos por Laplace la ecuación ecuación 1. Para derivadas, \(\mathcal{L}[\dot{x}]=sX(s)-x(0)\) y \(\mathcal{L}[\ddot{x}]=s^2X(s)-sx(0)-\dot{x}(0)\), de donde

\[ (ms^2+cs+k)\,X(s)-(ms+c)\,x(0)-m\,\dot{x}(0)=F(s). \]

Con condiciones iniciales nulas queda \(X(s)=H(s)F(s)\), con la función de transferencia

\[ H(s)=\frac{X(s)}{F(s)}=\frac{1}{ms^2+cs+k}=\frac{1/m}{(s-s_1)(s-s_1^*)} \]

cuyos polos \(s_1,s_1^*=\sigma\pm i\omega_d\) son los de M5.2. La función de transferencia es una función de la variable compleja \(s\); la FRF de M5.5 es su valor sobre el eje imaginario, \(H(i\omega)\), y solo describe el régimen estacionario ante una excitación armónica (un sistema estable con condiciones iniciales nulas).

Dos diagramas de bloques: arriba F(s) entra en H(s) y sale X(s); abajo f(t) entra en h(t) y sale x(t) por convolución — Figura 3: La misma relación entrada–salida en la frecuencia, \(X(s)=H(s)F(s)\), y en el tiempo, \(x=f*h\). Ambas descripciones son equivalentes: \(h=\mathcal{L}^{-1}[H]\).

Polos y residuos. Descomponiendo en fracciones simples,

\[ H(s)=\frac{A}{s-s_1}+\frac{A^*}{s-s_1^*},\qquad A=\frac{1}{m(s_1-s_1^*)}=\frac{1}{2i\,m\,\omega_d}=-\frac{i}{2m\omega_d}. \]

\(A\) y \(A^*\) son los residuos. Para 1 GDL, el residuo es imaginario puro (para varios GDL será complejo en general, M6). Cerca de un polo, \(H(i\omega)\approx A/(i\omega-s_1)\); en \(\omega=\omega_d\) resulta \(H\approx-A/\sigma\), que explica por qué el pico de la FRF es alto cuando \(|\sigma|\) es pequeño.

Respuesta impulsional. Si la fuerza es un impulso unitario, \(F(s)=1\), la respuesta es \(h(t)=\mathcal{L}^{-1}[H(s)]\). Antitransformando las fracciones simples,

\[ h(t)=Ae^{s_1t}+A^*e^{s_1^*t}=\frac{1}{m\omega_d}\,e^{-\zeta\omega_n t}\sin\omega_d t,\qquad t\ge0 . \]

Lo que importa de ella: la frecuencia de oscilación es la parte imaginaria del polo (\(\omega_d\)); la tasa de decaimiento es la parte real, \(|\sigma|=\zeta\omega_n\); y la magnitud del residuo fija la amplitud, de modo que \(h(0)=0\) y \(\dot{h}(0^+)=1/m\): el impulso comunica a la masa una velocidad inicial \(1/m\).

Convolución. Como el sistema es lineal e invariante, la respuesta a una fuerza cualquiera se obtiene sumando las respuestas a impulsos elementales:

\[ x(t)=(f*h)(t)=\int_0^t h(t-\tau)\,f(\tau)\,\mathrm{d}\tau,\qquad\text{equivalente a }X(s)=H(s)F(s). \]

En la frecuencia, la convolución se convierte en un producto: \(X(\omega)=H(i\omega)F(\omega)\) con \(H(i\omega)\) la transformada de Fourier de \(h(t)\).

Simulación 5. Del impulso a la convolución. Una fuerza rectangular de duración \(\Delta\) e impulso fijo de \(1\,\mathrm{N\cdot s}\) (\(F=1/\Delta\)): cuando \(\Delta\to0\) la respuesta tiende a \(h(t)\).

viewof I_m = Inputs.range([0.2, 5], {value: 1, step: 0.1, label: "m (kg)"})

viewof I_k = Inputs.range([20, 500], {value: 100, step: 5, label: "k (N/m)"})

viewof I_c = Inputs.range([0.2, 30], {value: 2, step: 0.1, label: "c (N·s/m)"})

viewof I_D = Inputs.range([0.005, 0.5], {value: 0.2, step: 0.005, label: "Δ (s), duración del pulso"})

I_p = sdofParametros(I_m, I_k, I_c)
I_T = Math.min(Math.max(5 / (I_p.zeta * I_p.wn), 3 * 2 * Math.PI / I_p.wn), 25 * 2 * Math.PI / I_p.wn)
I_h = muestrea(t => 1000 * sdofImpulsional(I_m, I_k, I_c, t), 0, I_T, 600).map(d => ({t: d.x, y: d.y}))
I_x = muestrea(t => {
  const n = 300, tope = Math.min(t, I_D), dt = tope / n;
  let s = 0;
  for (let i = 0; i < n; i++) s += sdofImpulsional(I_m, I_k, I_c, t - (i + 0.5) * dt) * (1 / I_D) * dt;
  return 1000 * s;
}, 0, I_T, 600).map(d => ({t: d.x, y: d.y}))

Plot.plot({
  width: 700, height: 300, marginLeft: 60,
  x: {label: "t (s)"}, y: {label: "mm por N·s", grid: true},
  marks: [
    Plot.ruleY([0]),
    Plot.line(I_h, {x: "t", y: "y", stroke: "#d95f02", strokeDasharray: "5 4", strokeWidth: 1.8}),
    Plot.line(I_x, {x: "t", y: "y", stroke: "#1b6ca8", strokeWidth: 2})
  ]
})

md`Naranja a trazos: h(t) (impulso ideal). Azul: respuesta a un pulso rectangular de duración Δ = ${I_D.toFixed(3)} s, calculada por convolución numérica. ω<sub>d</sub> = ${I_p.wd.toFixed(2)} rad/s, ζ = ${(100 * I_p.zeta).toFixed(1)} %.`

Pendiente en esta sección

Los apuntes de partida no desarrollan la excitación por la base (movimiento del apoyo), el aislamiento de vibraciones ni la integral de Duhamel como herramienta de cálculo (la convolución anterior es la forma general de la que esta es un caso particular, pero su desarrollo y aplicaciones quedan pendientes de una fuente verificable).

Pon a prueba lo anterior.

Una fuerza impulsiva de \(0{,}5\) N·s actúa sobre una masa \(m=2\) kg en reposo. ¿Qué velocidad adquiere justo después?

\(v(0^+)=I/m=0{,}5/2=0{,}25\) m/s: es la propiedad \(\dot{h}(0^+)=1/m\) de la respuesta impulsional.

Un caso real: ¿fue resonancia? Elige uno de estos dos casos: la oscilación lateral de la pasarela del Milenio de Londres tras su apertura (2000) o el colapso del puente de Tacoma Narrows (1940). Averigua qué mecanismo se propuso en la literatura técnica y si el término «resonancia» lo describe bien.

Localizo al menos dos fuentes fiables (informe de ingeniería, artículo técnico o libro) y las anoto con autor, año y enlace.
Identifico el mecanismo propuesto: excitación periódica externa, autoexcitación o realimentación entre la estructura y quien la excita.
Anoto la frecuencia natural y el amortiguamiento si constan, con su fuente.
Explico si «resonancia» (excitación armónica a \(\omega\approx\omega_n\), como en M5.4) describe bien el caso y por qué.
Compruebo cada dato en dos fuentes y descarto lo que no puedo localizar (C0.5).

Busca términos como lateral synchronous excitation, Millennium Bridge, Tacoma Narrows, aeroelastic flutter o self-excited oscillation, y desconfía de las explicaciones de libros de texto sin referencias.

No hay una única respuesta, y por eso es una investigación. Lo que cabe esperar que encuentres, y debes comprobar en tus fuentes, es que en ambos casos los autores distinguen entre una resonancia forzada sencilla y mecanismos de autoexcitación (en la pasarela, la sincronización lateral de peatones con el movimiento; en el puente, un fenómeno aeroelástico), y que la palabra «resonancia» se usa a menudo de forma coloquial. Anota qué fuente respalda cada afirmación.

Práctica guiada

Del modelo a la FRF de un oscilador. Sea el sistema de los apuntes: \(m=1\) kg, \(k=100\) N/m, \(c=0{,}6\) N·s/m.

Calcula \(\omega_n\), \(f_n\), \(c_c\), \(\zeta\), \(\omega_d\) y los polos.
Calcula la respuesta libre con \(x_0=0{,}01\) m y \(v_0=0{,}3\) m/s en \(t=0{,}37\) s y \(t=1{,}9\) s.
Calcula el módulo y la fase de la receptancia en \(\omega=9\), \(9{,}5\), \(10\), \(10{,}5\) y \(11\) rad/s. Obtén también la movilidad y la inertancia y comprueba que sus módulos son \(\omega|\alpha|\) y \(\omega^2|\alpha|\).
Comprueba que \(|\alpha(\omega_n)|=1/(c\,\omega_n)\) y que la recta de masa y la de rigidez se cortan en \(\omega_n\).

Código Julia (solo la biblioteca estándar; se ejecuta en local con julia --project=. practica_m5.jl):

using LinearAlgebra

m, k, c = 1.0, 100.0, 0.6
ωn = sqrt(k / m);  cc = 2sqrt(k * m);  ζ = c / cc;  ωd = ωn * sqrt(1 - ζ^2)
println("ωn = $ωn rad/s ($(round(ωn/2π; digits=4)) Hz), cc = $cc, ζ = $ζ, ωd = $(round(ωd; digits=4))")

# Respuesta libre: forma cerrada frente a la exponencial matricial del espacio de estados
x_libre(t, x0, v0) = exp(-ζ*ωn*t) * (x0*cos(ωd*t) + (v0 + ζ*ωn*x0)/ωd * sin(ωd*t))
A = [0 1; -k/m -c/m]
for t in (0.37, 1.9)
    exacta = (exp(A * t) * [0.01, 0.3])[1]
    println("t = $t s:  x = $(round(x_libre(t, 0.01, 0.3); digits=6)) m   (exp(At): $(round(exacta; digits=6)))")
end

# FRF (convención e^{+iωt})
α(ω) = 1 / (k - m*ω^2 + im*ω*c)
for ω in (9.0, 9.5, 10.0, 10.5, 11.0)
    H = α(ω)
    println("ω = $ω:  |α| = $(round(abs(H); digits=5)) m/N,  fase = $(round(rad2deg(angle(H)); digits=2))°,  ",
            "|Y| = $(round(ω*abs(H); digits=4)),  |A| = $(round(ω^2*abs(H); digits=4))")
end

Resultados verificados (ejecutando el código anterior y, de forma independiente, la integración numérica RK4 con paso \(10^{-4}\) s):

Magnitud	Valor
\(\omega_n\), \(f_n\)	\(10\) rad/s, \(1{,}5915\) Hz
\(c_c\), \(\zeta\)	\(20\) N·s/m, \(0{,}03\)
\(\omega_d\)	\(9{,}9955\) rad/s
polos	\(-0{,}3\pm9{,}9955\,i\)
\(x(0{,}37)\), \(x(1{,}9)\)	\(-0{,}021933\) m, \(0{,}008023\) m
\(\lvert\alpha(\omega_n)\rvert\)	\(0{,}16667\) m/N \(=1/(c\omega_n)\)

\(\omega\) (rad/s)	\(\beta\)	\(\lvert\alpha\rvert\) (m/N)	Fase	\(Q\)
9,0	0,900	0,05063	\(-15{,}87^\circ\)	5,06
9,5	0,950	0,08854	\(-30{,}31^\circ\)	8,85
10,0	1,000	0,16667	\(-90{,}00^\circ\)	16,67
10,5	1,050	0,08312	\(-148{,}42^\circ\)	8,31
11,0	1,100	0,04543	\(-162{,}55^\circ\)	4,54

Observa: \(\omega_{\text{pico}}^{\alpha}=9{,}9910\) rad/s es muy cercana a \(\omega_n\) para un amortiguamiento tan bajo; y a \(\omega=\omega_n\) la fase vale exactamente \(-90^\circ\).

Siguientes pasos en el repositorio. Esta misma comparación con integración numérica puede automatizarse con las herramientas de J3.6, y la medición real de FRF con martillo o excitador se trabajará en L3 · Ensayo modal experimental. El concepto de identificación se desarrolla en M7.

«Pídeselo a Claude»

Prompt

Tengo un oscilador de 1 GDL con \(m=2\) kg, \(k=800\) N/m y \(c=16\) N·s/m. Escribe un script de Julia que use solo la biblioteca estándar y que: (1) calcule \(\omega_n\), \(\zeta\) y \(\omega_d\); (2) calcule el módulo y la fase de la receptancia, la movilidad y la inertancia entre 1 y 100 rad/s con la convención \(e^{+i\omega t}\) y las compare con las asíntotas de masa y de rigidez; (3) compruebe numéricamente la respuesta libre frente a la exponencial matricial del espacio de estados. Indica las unidades de cada magnitud y dime qué has comprobado y qué no.

Verifica.

\(\omega_n=20\) rad/s, \(\zeta=0{,}2\) y \(\omega_d\approx19{,}596\) rad/s. Si da otros valores, rehaz el cálculo a mano.
La fase de la receptancia va de \(0^\circ\) a \(-180^\circ\) y vale \(-90^\circ\) en \(\omega_n\). Si sale al revés, la convención temporal es la contraria.
Los módulos de movilidad e inertancia son \(\omega|\alpha|\) y \(\omega^2|\alpha|\); las asíntotas se cortan en \(\omega_n\).
No aparecen paquetes ni funciones que no existan (C0.5).

Ejercicios

Parámetros. Un oscilador tiene \(m=2\) kg, \(k=800\) N/m y \(c=16\) N·s/m. Calcula \(\omega_n\) (rad/s y Hz), \(c_c\), \(\zeta\), \(\omega_d\) e indica el régimen.

NotaSolución

\(\omega_n=20\) rad/s (\(3{,}183\) Hz); \(c_c=2\sqrt{km}=80\) N·s/m; \(\zeta=0{,}2\); \(\omega_d=20\sqrt{0{,}96}=19{,}596\) rad/s. Subcrítico.
Polos. Un polo medido es \(s=-3+40\,i\) (rad/s). Calcula \(\omega_n\), \(\omega_d\) y \(\zeta\).

NotaSolución

\(\omega_d=40\) rad/s; \(\omega_n=|s|=\sqrt{3^2+40^2}=40{,}11\) rad/s; \(\zeta=-\sigma/|s|=3/40{,}11=0{,}0748\).
Respuesta forzada. El sistema del ejercicio 1 se excita con \(f=10\cos18t\) N. Calcula \(\beta\), \(Q\), la amplitud estacionaria y la fase.

NotaSolución

\(\beta=0{,}9\); \(Q=1/\sqrt{(1-0{,}81)^2+(2\cdot0{,}2\cdot0{,}9)^2}=2{,}457\); \(X=QF/k=0{,}0307\) m \(=30{,}7\) mm; \(\theta=-\operatorname{atan2}(0{,}36;0{,}19)=-62{,}2^\circ\).
Asíntotas. En el Bode log–log de una receptancia, la recta de rigidez está a \(2\cdot10^{-5}\) m/N y corta a la recta de masa en \(\omega=50\) rad/s. Calcula \(k\) y \(m\).

Figura 4: Esquema del ejercicio 4: recta de rigidez, recta de masa y su corte en \(\omega_n\).

NotaSolución

\(k=1/(2\cdot10^{-5})=5\cdot10^4\) N/m; \(m=k/\omega_n^2=5\cdot10^4/2500=20\) kg.
Círculo histerético. El lugar de Nyquist de una receptancia histerética es un círculo de diámetro \(4\cdot10^{-4}\) m/N y \(k=5\cdot10^4\) N/m. Calcula \(h\), el factor de pérdidas \(\eta\) y la razón de amortiguamiento viscosa equivalente en resonancia.

NotaSolución

Diámetro \(=1/h\Rightarrow h=2500\) N/m; \(\eta=h/k=0{,}05\); \(\zeta_{\mathrm{eq}}=\eta/2=0{,}025\).
Movilidad. Con el sistema del ejercicio 1, ¿cuánto vale \(|Y(\omega_n)|\) y por qué?

NotaSolución

En \(\omega_n\) la parte reactiva se anula, \(k-m\omega_n^2=0\), y queda \(Y=i\omega_n/(ic\omega_n)=1/c=0{,}0625\) m/(s·N).
Impulso. Una fuerza impulsiva de \(0{,}5\) N·s actúa sobre el sistema del ejercicio 1 en reposo. Calcula la velocidad inicial y el máximo de desplazamiento.

NotaSolución

\(v(0^+)=I/m=0{,}25\) m/s. El máximo de \(x=I\,h(t)\) ocurre en \(t=\arctan(\omega_d/\zeta\omega_n)/\omega_d=0{,}0699\) s y vale \(9{,}45\) mm.
Fase y rigidez/masa. Sin calcular, indica la fase de la receptancia en \(\omega\ll\omega_n\), en \(\omega_n\) y en \(\omega\gg\omega_n\), y justifica qué parámetro domina en cada zona.

NotaSolución

\(0^\circ\) (rigidez), \(-90^\circ\) (amortiguamiento), \(-180^\circ\) (masa).

La doy por superada si…

Planteo \(m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=f\) y explico qué hipótesis exige.
Calculo \(\omega_n\), \(\zeta\), \(\omega_d\) y los polos, y distingo rad/s de Hz.
Escribo la respuesta libre en los tres regímenes y la ajusto a unas condiciones iniciales.
Lleno de significado la parte real y la imaginaria de un polo.
Explico la diferencia entre el modelo viscoso y el histerético y cuándo usar cada uno.
Calculo amplitud, fase y \(Q\) de la respuesta estacionaria, y distingo \(\omega_n\), \(\omega_d\) y el máximo de la receptancia.
Dibujo la receptancia en Bode con sus asíntotas y explico qué cambia al variar \(m\), \(k\) y \(c\).
Identifico que el círculo de Nyquist de este tema es el de la receptancia histerética y por qué no se extiende sin más al caso viscoso.
Distingo \(H(s)\) de \(H(i\omega)\) y relaciono \(H(s)\), \(h(t)\) y la convolución.
Sé qué temas (decremento logarítmico, excitación por la base, aislamiento, Duhamel) quedan pendientes.

Las referencias citadas aparecen en el margen, junto al texto (y en una tarjeta al pasar el ratón por la cita). La bibliografía completa de Resonancia, con el estado de verificación de cada ficha, está en recursos/bibliografia.bib del repositorio.

Referencias

Son las mismas que aparecen en el margen, junto al texto. La lista completa del curso, con el estado de verificación de cada ficha, está en recursos/bibliografia.bib del repositorio.

Avitabile, Peter. 2018. Modal Testing: A Practitioner’s Guide. Wiley.

Billah, K. Yusuf, y Robert H. Scanlan. 1991. «Resonance, Tacoma Narrows bridge failure, and undergraduate physics textbooks». American Journal of Physics 59 (2): 118-24.

Crandall, Stephen H. 1970. «The role of damping in vibration theory». Journal of Sound and Vibration 11 (1): 3-18.

Ewins, David J. 2000. Modal Testing: Theory, Practice and Application. 2.ª ed. Research Studies Press.

Inman, Daniel J. 2017. Vibration with Control. 2.ª ed. Wiley.

Minguzzi, E. 2014. Rayleigh’s dissipation function at work. arXiv:1409.4041. https://arxiv.org/abs/1409.4041.

Silva, José M. M., y Nuno M. M. Maia, eds. 1999. Modal Analysis and Testing. Springer. https://doi.org/10.1007/978-94-011-4503-9.