35  Frecuencias del paraboloide hiperbólico

Bordes curvos y bordes rectos, apoyos simples y empotrados, convergencia y extrapolación

Cuatro superficies en forma de silla de montar con colores azul y naranja que indican las zonas que suben y bajan en cada modo de vibración
Figura 35.1: Modos de vibración de un paraboloide hiperbólico simplemente apoyado, con \(14\times14\) elementos: arriba, el hypar de bordes curvos (modos 1 y 2); abajo, el de bordes rectos (modos 1 y 3). Naranja: sube; azul: baja. Los \(\lambda\) son los parámetros adimensionales de frecuencia. Cálculo calculado.

A qué frecuencias vibra una cubierta en forma de silla de montar y cuánto se puede confiar en el valor que da una malla concreta

Objetivos y prerrequisitos

Objetivos. Al terminar el tema sabrás:

  • distinguir el hypar de bordes curvos del de bordes rectos (la misma superficie con dos plantas distintas) y plantear sus apoyos SSSS y CCCC;
  • calcular las primeras frecuencias adimensionales y compararlas con las de una placa plana;
  • extrapolar el valor límite a partir de una serie de mallas (Richardson) y declarar su incertidumbre;
  • distinguir modos de membrana y de flexión por su dependencia del espesor;
  • convertir un \(\lambda\) en una frecuencia en Hz para una cubierta real.

Prerrequisitos. F4, F3 y El paraboloide hiperbólico (C5).

Secciones del tema

NotaNotación y convenciones de este tema
Símbolo Significado
\(L=2a\) lado de la planta cuadrada \([-a,a]^2\)
\(\lambda=\omega L^2\sqrt{\rho t/D}\) parámetro de frecuencia (el de F4, con el lado completo \(L\))
bordes curvos \(z=\tfrac1{2R}(y^2-x^2)\) ( paraboloide_curvo(R,−R) ): los bordes de la planta son parábolas
bordes rectos \(z=c\,x\,y\) ( paraboloide_recto(c) ), \(c=1/R\): los bordes de la planta son rectas
SSSS borde con \(u_{\text{tang}}=u_3=0\) y \(\varphi_{\text{tang}}=0\) (diafragma de corte)
CCCC empotrado: \(u_1=u_2=u_3=\varphi_1=\varphi_2=0\)
NotaExplicación para ingenieros: la cometa tensa, no la losa doblada

Una losa plana vibra flectando; un hypar vibra, sobre todo, estirándose y cizallándose como una cometa tensa: al subir una diagonal y bajar la otra, la superficie tiene que cambiar de longitud, y eso cuesta mucho más que flectar. Por eso un hypar de la misma planta, material y espesor que una losa tiene frecuencias varias veces más altas. Y por eso una cubierta de hypar es muy sensible a cómo se apoya en sus bordes: si el borde no puede suministrar el cortante de membrana, la lámina pierde su «tensión» y su rigidez.

35.1 Dos plantas, una superficie

El paraboloide hiperbólico \(z=\tfrac1{2R}(y^2-x^2)\) es la misma superficie que \(z=c\,x\,y\) con \(c=1/R\) girada \(45^\circ\) en planta (tema C5). Por eso hay dos problemas distintos, según qué cuadrado se recorte:

  • Bordes curvos: la planta \([-a,a]^2\) tiene los lados paralelos a los ejes de curvatura; los bordes de la lámina son parábolas.
  • Bordes rectos: la planta es el cuadrado girado, con los lados siguiendo las generatrices rectas (reglada). Los bordes son rectas inclinadas.

Con \(R=2\), \(a=1\) (es decir, \(c=0{,}5\)) ambas son la misma superficie: el desnivel entre el centro de un borde y la esquina es \(a^2/2R=0{,}25\) en el curvo y \(c\,a^2=0{,}5\) en el recto. Los apoyos que se estudian son SSSS (diafragma de corte: la lámina no se puede desplazar perpendicular ni tangente a su borde, pero sí girar respecto de él) y CCCC (empotrado).

AdvertenciaConvenio por confirmar

La definición de «simplemente apoyado» (SSSS) para una lámina curva no es única: aquí se usa el diafragma de corte con g.d.l. covariantes: \(u_{\text{tang}}=u\cdot\mathbf a_t=0\), \(u_3=0\) y \(\varphi_{\text{tang}}=0\). Otras definiciones (por ejemplo con el desplazamiento tangente libre) dan frecuencias distintas. Los convenios de g.d.l. y de giros (tema E3) están por confirmar con el autor.

35.2 Frecuencias y parámetros

Con \(t/a=0{,}01\) (esto es, \(t/L=0{,}005\)) y mallas de \(24\times24\) elementos, los cuatro primeros \(\lambda\) son:

Caso \(\lambda_1\) \(\lambda_2\) \(\lambda_3\) \(\lambda_4\)
Placa plana SSSS (referencia \(2\pi^2,5\pi^2,5\pi^2,8\pi^2\)) 19,74 49,35 49,35 78,96
Curvo \(R=2\), SSSS 41,88 72,70 164,23 252,28
Recto \(c=0{,}5\), SSSS 98,68 98,68 137,96 158,72
Curvo \(R=2\), CCCC 347,85 355,99 355,99 366,57
Recto \(c=0{,}5\), CCCC 366,72 366,72 374,66 376,26

Calculado con este elemento (\(E=10^4\), \(\nu=0{,}3\), \(\rho=1\)). Tres cosas llaman la atención. (i) El hypar es entre 2 y 5 veces más rígido que la losa plana en SSSS y unas 10 veces en CCCC (el valor de la placa empotrada con este elemento es \(\lambda_1\approx36\), con \(12\times12\) elementos). (ii) En el hypar de bordes rectos las dos primeras frecuencias son iguales (simetría de la planta cuadrada con generatrices rectas: dos modos cruzados). (iii) El empotramiento eleva la frecuencia mucho más en la lámina curva que en la plana, porque impide que el borde ceda y deshace la acción de membrana.

¿Por qué un hypar SSSS tiene frecuencias mucho más altas que una losa plana de la misma planta y espesor?

  • Porque pesa menos
  • Porque el material es distinto
  • Porque para vibrar debe estirarse y cizallarse (rigidez de membrana), además de flectar
  • Porque la planta es cuadrada

La curvatura de doble signo obliga a que cualquier movimiento vertical cambie la longitud de las curvas de la superficie: la rigidez de membrana (\(\propto t\)) domina frente a la de flexión (\(\propto t^3\)). La losa plana sólo flecta.

35.3 Convergencia y extrapolación

La convergencia del \(\lambda_1\) es lenta (Figura 35.2): con \(24\times24\) elementos el valor aún está un 2 % por encima de su límite. La figura muestra \(\lambda_1\) frente a \((1/n)^2\): los puntos caen casi sobre una recta (error \(O(h^2)\)) y se puede extrapolar a \(h\to0\) con dos mallas consecutivas (extrapolación de Richardson):

\[ \lambda_\infty\simeq\lambda_{n_2}-\frac{\lambda_{n_1}-\lambda_{n_2}}{(n_2/n_1)^2-1}. \tag{35.1}\]

Dos series de puntos casi alineadas que descienden hacia la izquierda, hacia un tamaño de elemento nulo, con líneas horizontales de trazos que marcan los valores extrapolados
Figura 35.2: Primera frecuencia \(\lambda_1\) del hypar SSSS (\(t/a=0{,}01\)) frente a \((1/n)^2\). Los puntos se alinean; la extrapolación con las dos mallas más finas (\(24\) y \(32\)) da \(\lambda_1\approx40{,}8\) (curvo) y \(\approx96{,}8\) (recto). Cálculo calculado; los valores extrapolados son estimaciones.

Ejemplo 35.1 (Ejemplo resuelto: extrapolar el hypar curvo) Con \(n_1=24\) y \(n_2=32\): \(\lambda_{24}=41{,}88\) y \(\lambda_{32}=41{,}43\). Con ecuación 35.1, \((n_2/n_1)^2-1=0{,}778\) y \[ \lambda_\infty\simeq41{,}43-\frac{41{,}88-41{,}43}{0{,}778}=41{,}43-0{,}58=\mathbf{40{,}85}. \] Con las mallas \(16\) y \(24\) resulta \(40{,}9\): dos extrapolaciones coinciden en \(40{,}9\pm0{,}1\), indicio de que el error \(O(h^2)\) está bien descrito. Resultado calculado (no es una solución exacta).

Con los valores del Ejemplo 35.1 (\(\lambda_{24}=41{,}88\), \(\lambda_{32}=41{,}43\)), ¿qué valor extrapolado de \(\lambda_1\) da ecuación 35.1?

\((n_2/n_1)^2-1=(32/24)^2-1=0{,}7778\).

\(\lambda_\infty=41{,}43-(41{,}88-41{,}43)/0{,}7778=41{,}43-0{,}5786=40{,}85\).

AdvertenciaDos puntos que suelen confundir
  • Extrapolar no es exacto. La estimación \(40{,}8\) supone un error \(\propto h^2\); con modos de flexión muy localizados o con espesores muy pequeños puede no valer. Se debe comprobar que dos extrapolaciones coincidan.
  • Pocas mallas, mucha cautela. Con \(8\times8\) el hypar curvo da \(\lambda_1=48{,}0\) (\(+18\,\%\) sobre el límite estimado): nunca se debe fiar un valor de una sola malla.

35.4 Membrana o flexión

Para un modo de flexión pura \(\omega\propto t\) (porque \(D\propto t^3\) y \(\rho t\propto t\)), mientras que para uno de membrana \(\omega\) no depende de \(t\). Comparando la frecuencia con espesor \(t/2\) y \(t\) (razón \(\omega(t/2)/\omega(t)\): 0,5 = flexión; 1 = membrana), con \(16\times16\) elementos:

Caso modo 1 modo 2 modo 3 modo 4
Curvo SSSS 0,85 0,53 0,50 0,60
Recto SSSS 0,71 0,71 0,67 0,66
Curvo CCCC 0,80 0,79 0,79 0,77
Recto CCCC 0,77 0,78 0,78 0,76

Los modos del hypar son mixtos: el primero del curvo es casi de membrana (0,85), y los segundo y tercero son casi de flexión pura (0,50–0,53). Calculado. Es una consecuencia útil: aumentar el espesor sube las frecuencias, pero menos que proporcionalmente, y puede no compensar el peso añadido.

35.5 Una cubierta real

Ejemplo 35.2 (Ejemplo resuelto: la cubierta de F3) Hypar de bordes rectos de \(L=10\) m (\(a=5\) m), \(c=0{,}1\) m\(^{-1}\) (es decir, \(c\,a=0{,}5\)), \(t=50\) mm (así \(t/a=0{,}01\), justo el espesor relativo de los cálculos de este tema), hormigón con \(E=30\) GPa, \(\nu=0{,}3\), \(\rho=2500\) kg/m³, SSSS. Con \(\lambda_1\approx96{,}8\) (extrapolado): \[ D=\frac{Et^3}{12(1-\nu^2)}=343\,407\ \text{N·m},\quad \rho t=125\ \text{kg/m}^2,\quad \omega_1=\lambda_1\frac{1}{L^2}\sqrt{\frac D{\rho t}}=96{,}8\cdot\frac{52{,}42}{100}=50{,}7\ \text{rad/s}, \] es decir, \(f_1\approx\mathbf{8{,}1}\) Hz. Una losa plana de las mismas dimensiones y espesor (\(\lambda_1=2\pi^2\)) vibraría a \(1{,}65\) Hz: el hypar es unas cinco veces más rígido. Resultado calculado: el \(\lambda\) corresponde a \(\nu=0{,}3\) y a la definición SSSS de este tema, de modo que es una estimación orientativa.

En el Ejemplo 35.2, ¿cuánto vale la frecuencia fundamental \(f_1\) de la cubierta con \(\lambda_1=96{,}8\), \(L=10\) m, \(E=30\) GPa, \(\nu=0{,}3\), \(\rho=2500\) kg/m³ y \(t=50\) mm?

\(D=30\cdot10^9\cdot(0{,}05)^3/(12\cdot0{,}91)=343\,407\) N·m; \(D/(\rho t)=2747\); \(\omega=96{,}8\cdot52{,}4/100=50{,}7\) rad/s; \(f=8{,}07\) Hz.

TipAplicación real: cubiertas de Candela y control de vibraciones

ilustrativo En cubiertas delgadas de hormigón como las de Candela, las frecuencias propias (del orden de unos pocos Hz a unas decenas de Hz según luz y curvatura) deben compararse con las excitaciones del viento y, en zonas sísmicas, del terremoto; la sensibilidad de las frecuencias a los apoyos (SSSS frente a CCCC) obliga a modelar bien el contorno. En biomecánica, el mismo problema aparece al estudiar la respuesta dinámica de estructuras laminares curvas con borde apoyado de forma imperfecta, como membranas y cúpulas óseas. Idea de aplicación sin fuente verificada: es una orientación, no una cita.

35.6 Práctica guiada en Julia

TipEjemplo computacional

calculado (1) Las frecuencias de los dos hypar SSSS y CCCC con una serie de mallas. (2) La extrapolación de Richardson. (3) La frecuencia en Hz del Ejemplo 35.2.

using Geometria, LinearAlgebra

E, ν, ρ = 1.0e4, 0.3, 1.0
function hypar_lambda(r, n, t, bc; k = 4, a = 1.0)
    nodos, conn = malla_rectangular((-a, a), (-a, a), n, n)
    K, M, _ = ensamblar(r, nodos, conn, E, ν, t; ρ)
    fij = Int[]
    for j in 1:size(nodos, 2)
        x, y = nodos[:, j]; e1 = abs(x) ≈ a; e2 = abs(y) ≈ a
        if bc == :SSSS
            e1 && append!(fij, [gdl(j, 2), gdl(j, 3), gdl(j, 5)])       # borde x = ±a: tangente = a₂
            e2 && append!(fij, [gdl(j, 1), gdl(j, 3), gdl(j, 4)])       # borde y = ±a: tangente = a₁
        else
            (e1 || e2) && append!(fij, gdl(j, 1):gdl(j, 5))
        end
    end
    ω, _ = frecuencias(K, M, unique(fij); n = k)
    D = E * t^3 / (12 * (1 - ν^2))
    ω .* (2a)^2 .* sqrt(ρ * t / D)
end

curvo = paraboloide_curvo(2.0, -2.0); recto = paraboloide_recto(0.5)
tabla = [(caso = nombre, n = n, λ = round.(hypar_lambda(r, n, 0.01, :SSSS), digits = 2))
         for (nombre, r) in (("curvo SSSS", curvo), ("recto SSSS", recto)), n in (8, 12, 16, 24)]
vec(tabla)
8-element Vector{@NamedTuple{caso::String, n::Int64, λ::Vector{Float64}}}:
 (caso = "curvo SSSS", n = 8, λ = [48.01, 77.0, 186.49, 272.79])
 (caso = "recto SSSS", n = 8, λ = [107.16, 107.16, 148.32, 173.63])
 (caso = "curvo SSSS", n = 12, λ = [44.59, 74.35, 172.2, 260.0])
 (caso = "recto SSSS", n = 12, λ = [102.63, 102.63, 142.06, 164.39])
 (caso = "curvo SSSS", n = 16, λ = [43.09, 73.4, 167.5, 255.5])
 (caso = "recto SSSS", n = 16, λ = [100.55, 100.55, 139.73, 161.13])
 (caso = "curvo SSSS", n = 24, λ = [41.88, 72.7, 164.23, 252.28])
 (caso = "recto SSSS", n = 24, λ = [98.68, 98.68, 137.96, 158.72])
# (2) Richardson con las mallas 16 y 24 (curvo SSSS, modo 1) y con 24 y 32
rich(l1, n1, l2, n2) = l2 - (l1 - l2) / ((n2 / n1)^2 - 1)
l16, l24, l32 = [hypar_lambda(curvo, n, 0.01, :SSSS; k = 1)[1] for n in (16, 24, 32)]
(λ16 = l16, λ24 = l24, λ32 = l32, extrapolado_16_24 = rich(l16, 16, l24, 24), extrapolado_24_32 = rich(l24, 24, l32, 32))
(λ16 = 43.086053573613576, λ24 = 41.883530494374774, λ32 = 41.430679409624965, extrapolado_16_24 = 40.921512030983735, extrapolado_24_32 = 40.84844230066092)
# (3) Cubierta real: f₁ con λ₁ = 96.8
Ec, νc, ρc, t, L, λ1 = 30e9, 0.3, 2500.0, 0.05, 10.0, 96.8
Dc = Ec * t^3 / (12 * (1 - νc^2))
ω1 = λ1 / L^2 * sqrt(Dc / (ρc * t))
(D = Dc, ω = ω1, f_Hz = ω1 / 2π, f_losa_Hz = 2π^2 / L^2 * sqrt(Dc / (ρc * t)) / 2π)
(D = 343406.5934065935, ω = 50.736986097340846, f_Hz = 8.075042134976568, f_losa_Hz = 1.646641970957577)

35.7 Ejercicios

  1. Ángulo de planta. ¿Por qué el hypar de bordes rectos y el de bordes curvos con la misma superficie tienen frecuencias distintas?

    Porque la planta (el recorte de la superficie) y los bordes son distintos: el curvo tiene lados paralelos a los ejes de curvatura y el recto sigue las generatrices. Las condiciones de contorno actúan sobre direcciones distintas de la superficie y cambian cómo se transmite el cortante de membrana.

  2. Espesor. Si se duplica el espesor de la cubierta del Ejemplo 35.2, ¿cómo cambia \(f_1\) en un modo de flexión pura y en uno de membrana?

    Flexión: se duplica (\(\omega\propto t\)). Membrana: no cambia. Un modo mixto (el caso real) sube entre un 0 y un 100 %: con la razón 0,71 del primer modo del hypar recto SSSS, al duplicar \(t\) la frecuencia sube \(1/0{,}71\approx1{,}4\) veces (+40 %).

  3. Dos mallas. Con \(\lambda_{16}=43{,}09\) y \(\lambda_{24}=41{,}88\), extrapola \(\lambda_1\).

    \((24/16)^2-1=1{,}25\); \(\lambda_\infty\simeq41{,}88-(43{,}09-41{,}88)/1{,}25=40{,}91\).

La doy por superada si…

  • Describo los dos hypar y los apoyos SSSS y CCCC.
  • Comparo sus frecuencias con las de una placa plana y explico la diferencia.
  • Extrapolo con Richardson y declaro la incertidumbre.
  • Reconozco modos de membrana y de flexión por su dependencia del espesor.
  • Convierto un \(\lambda\) en Hz para una cubierta real.

Fuentes. Texto autónomo; todos los valores de \(\lambda\) son calculados con el elemento de este libro; la geometría y las definiciones siguen los temas C5 y E3. Sobre vibraciones de láminas rasantes con apoyos de esquina, véase (Narita y Leissa 1984) (no se ha usado para contrastar números).

Qué queda pendiente. Comparación con valores publicados (otros autores, soluciones de referencia) para los dos hypar: sin verificar (no se ha podido contrastar ningún valor externo); la definición de SSSS (convenio por confirmar); los modos CCCC en los que las cuatro primeras frecuencias son casi iguales (agrupadas) no se han extrapolado; la extrapolación de Richardson supone orden 2 y se ha comprobado sólo con \(\lambda_1\) del curvo; la «Aplicación real» es una orientación sin fuente; no hay nota histórica por falta de fuente verificada; revisión visual de las figuras.

Narita, Y., y A. W. Leissa. 1984. «Vibrations of Corner Point Supported Shallow Shells of Rectangular Planform». Earthquake Engineering and Structural Dynamics 12: 651-61.

Referencias

Son las mismas que aparecen en el margen, junto al texto.

Narita, Y., y A. W. Leissa. 1984. «Vibrations of Corner Point Supported Shallow Shells of Rectangular Planform». Earthquake Engineering and Structural Dynamics 12: 651-61.

Referencias