Una lámina que trabaja a cortante puro: teoría de membrana frente a elementos finitos
Por qué una cáscara de pocos centímetros de espesor y forma de silla de montar puede soportar una carga uniforme casi sin flectar
Objetivos. Al terminar el tema sabrás:
Prerrequisitos. F2, El paraboloide hiperbólico (C5) y Leyes constitutivas.
Secciones del tema
| Símbolo | Significado |
|---|---|
| \(z=c\,x\,y\) | superficie media (bordes rectos; \(c\) en 1/longitud) |
| \(p\) | carga vertical por unidad de superficie en planta |
| \(N^{\alpha\beta}\) | resultantes de membrana (fuerza por unidad de longitud) |
| \(b_{12}=\hat{\mathbf a}_3\cdot\mathbf a_{1,2}\simeq c\) | segunda forma fundamental (convenio del libro) |
| rasante (shallow) | superficie de pendiente pequeña (\(c\,a\ll1\)) |
Una silla de montar tiene dos diagonales distintas: a lo largo de una la superficie se curva hacia arriba (forma de arco) y a lo largo de la otra hacia abajo (forma de cable colgado). Bajo una carga uniforme hacia abajo, el «arco» trabaja a compresión y el «cable» a tracción, con la misma intensidad. Como no hay nada que flecte, la lámina puede ser delgadísima. En cada punto, el estado de tensión es de cortante puro: si se gira la mirada \(45^\circ\), son tracción y compresión iguales y perpendiculares. Por eso las cubiertas de Candela se pueden hacer de pocos centímetros de espesor.
En la teoría de membrana se desprecia la flexión: sólo hay resultantes \(N^{\alpha\beta}\) en el plano tangente. Las ecuaciones de equilibrio (tema D7) son las tangenciales, \(N^{\alpha\beta}{}_{\|\beta}=0\), y la normal, \(N^{\alpha\beta}b_{\alpha\beta}+\hat{\mathbf n}\cdot\mathbf f=0\), con \(\mathbf f\) la carga por unidad de superficie. En un hypar rasante los símbolos de Christoffel son pequeños y la superficie tiene \(b_{11}\simeq b_{22}\simeq0\), \(b_{12}\simeq c\); si \(N^{11}=N^{22}=0\), las ecuaciones tangenciales se reducen a \(\partial N^{12}/\partial x=\partial N^{12}/\partial y=0\) (\(N^{12}\) constante) y la normal queda \(2c\,N^{12}-p=0\):
\[ N^{12}=\frac{p}{2c},\qquad N^{11}=N^{22}=0,\qquad \text{(carga vertical }p\text{ por unidad de planta).} \tag{33.1}\]
La resultante es uniforme en toda la lámina. Para que exista hacen falta bordes que la absorban: en cada borde recto se necesita una fuerza de borde (de un elemento rígido, o de un arco o cable en el borde) que equilibre el cortante.
Ejemplo 33.1 (Ejemplo resuelto: una cubierta de \(10\times10\) m) Cubierta \(z=c\,x\,y\) en \([-5,5]^2\) m con \(c=0{,}1\) m\(^{-1}\) (la esquina \(x=y=5\) queda a \(z=2{,}5\) m), \(t=50\) mm y carga \(p=1{,}5\) kN/m² (peso propio y nieve, por unidad de planta). Con ecuación 33.1: \[ N^{12}=\frac{1{,}5}{2\cdot0{,}1}=7{,}5\ \text{kN/m}=7{,}5\ \text{N/mm},\qquad \sigma_{\text{cortante}}=\frac{N^{12}}t=\frac{7{,}5}{50}=0{,}15\ \text{MPa}. \] Las tensiones principales (giradas \(45^\circ\)) son \(\pm\sigma_{\text{cortante}}=\pm\mathbf{0{,}15}\) MPa: una tracción y una compresión de 0,15 MPa, muy por debajo de la resistencia del hormigón. Resultado analítico (teoría de membrana rasante).
En el Ejemplo 33.1, ¿cuánto vale la tensión principal (en valor absoluto) de la cubierta de \(50\) mm de espesor?
\(N^{12}=p/(2c)=1{,}5/0{,}2=7{,}5\) N/mm; \(\sigma=7{,}5/50=0{,}15\) MPa.
Con \(N^{12}\) constante y \(N^{11}=N^{22}=0\), el tensor de resultantes en las diagonales \(\xi=(x+y)/\sqrt2\) y \(\zeta=(x-y)/\sqrt2\) es \(N_{\xi\xi}=N^{12}\) y \(N_{\zeta\zeta}=-N^{12}\): tracción a lo largo de una diagonal y compresión a lo largo de la otra (ecuación 33.1 con \(p>0\) hacia abajo: la diagonal que sube es el arco). La carga baja por el sistema de arcos y cables hasta los bordes.
Se discretiza \(z=cxy\) en \([-a,a]^2\) con \(a=1\), \(t=0{,}01\), \(E=10^4\), \(\nu=0{,}3\), \(p=1\) y bordes articulados (\(u_1=u_2=u_3=0\), giros libres: el apoyo compatible con la membrana). Se mide \(N^{12}\) en el centro con las resultantes de los elementos centrales:
| \(c\) | \(n\) | \(N^{12}\) (EF) | \(p/(2c)\) | Diferencia |
|---|---|---|---|---|
| 0,25 | 16 | 2,0192 | 2,0 | \(+1{,}0\,\%\) |
| 0,25 | 32 | 2,0097 | 2,0 | \(+0{,}5\,\%\) |
| 0,5 | 16 | 0,9905 | 1,0 | \(-0{,}9\,\%\) |
| 1,0 | 16 | 0,4978 | 0,5 | \(-0{,}4\,\%\) |
Calculado con este elemento, como media de los cuatro elementos que rodean el centro (el valor de un solo elemento depende de su posición respecto del eje, como se ve en la Figura 33.2, y puede alejarse un 2 % o más). El resultado coincide con la membrana en torno al 1 % y se acerca al refinar la malla. Si se adelgaza la lámina (\(t=0{,}02\), \(0{,}005\), \(0{,}002\) con \(c=0{,}5\), \(n=16\)) el valor oscila entre \(1{,}020\), \(0{,}996\) y \(1{,}002\): la membrana domina más cuanto más delgada es.
En un hypar rasante \(z=cxy\) con carga uniforme \(p\) por unidad de planta, ¿qué esfuerzos de membrana aparecen?
Con \(b_{11}\simeq b_{22}\simeq0\) y \(b_{12}\simeq c\), la ecuación normal \(2cN^{12}=p\) se cumple con cortante puro. Es el estado que hace tan eficiente esta forma.
La solución de membrana (ecuación 33.1) vale en el interior; cerca de los bordes, el apoyo real no puede suministrar exactamente la reacción de membrana y aparece flexión. Con bordes articulados el efecto es pequeño y de poca extensión; con bordes empotrados es mayor (Figura 33.2), porque se impide el giro y hay un momento de empotramiento. Dos consecuencias prácticas: (i) el espesor crece hacia los bordes en muchas cubiertas reales, y (ii) los elementos de borde (nervios, vigas, arcos) se dimensionan con la reacción de membrana más un término de flexión.
ilustrativo Obra civil. El paraboloide hiperbólico es la forma de las cubiertas de Candela. En el Oceanogràfic de Valencia (Candela, proyecto de 1997, con los ingenieros Alberto Domingo y Carlos Lázaro) la cubierta del restaurante se compone de cuatro hypar que se intersecan y la de la entrada es un hypar equilátero de 30 m de luz; los textos técnicos lo describen como un caso de acción de membrana, con cargas transmitidas por esfuerzos en el plano. El espesor, según fuentes comerciales, ronda los 6 cm, aunque otra fuente indica 6 cm en los bordes y hasta unos 22 cm en la intersección de los nervios, y no se ha verificado cuál describe cada estructura.
Fuentes (secundarias): L’Oceanogràfic (Wikipedia); Shell structure at the entrance of the L’Oceanogràfic (ResearchGate); Saddle roof (Wikipedia). Los espesores son discordantes entre fuentes; no se consultaron planos de proyecto. Consultado el 23-10-2026.
calculado (1) La cubierta del Ejemplo 33.1. (2) \(N^{12}\) del centro de un hypar para varias pendientes y mallas. (3) El perfil de \(N^{12}\) con bordes articulados y empotrados.
using Geometria, LinearAlgebra
# (1) Cubierta real
c, p, t = 0.1, 1.5, 50.0 # 1/m, kN/m², mm
N12 = p / (2c) # kN/m = N/mm
(N12_kN_m = N12, tensión_principal_MPa = N12 / t)(N12_kN_m = 7.5, tensión_principal_MPa = 0.15)function hypar_estatico(n, c; t = 0.01, E = 1.0e4, ν = 0.3, p = 1.0, a = 1.0, apoyo = :articulado)
r = paraboloide_recto(c)
nodos, conn = malla_rectangular((-a, a), (-a, a), n, n)
f = θ -> [0.0, 0.0, -p / geometria_punto(r, θ).sa] # p por unidad de planta
K, _, F = ensamblar(r, nodos, conn, E, ν, t; f)
fij = Int[]
for k in 1:size(nodos, 2)
x, y = nodos[:, k]
if abs(x) ≈ a || abs(y) ≈ a
append!(fij, [gdl(k, 1), gdl(k, 2), gdl(k, 3)])
apoyo == :empotrado && append!(fij, [gdl(k, 4), gdl(k, 5)])
end
end
(r, nodos, conn, resolver_estatica(K, F, unique(fij)))
end
# N¹² de los elementos centrales (media de los que están a ambos lados del eje y = 0)
function n12_centro(n, c; t = 0.01, E = 1.0e4, ν = 0.3, kw...)
r, nodos, conn, u = hypar_estatico(n, c; t, E, ν, kw...)
vals = Float64[]
for e in axes(conn, 2)
X = nodos[:, conn[:, e]]
xc = (X[1, 1] + X[1, 2]) / 2; yc = (X[2, 1] + X[2, 4]) / 2
(abs(xc) <= 1.0 / n * 1.001 && abs(yc) <= 1.0 / n * 1.001) && push!(vals, deformaciones_medias(r, nodos, conn, e, u, E, ν, t).N[3])
end
sum(vals) / length(vals)
end
[(c = c, n = n, N12_EF = n12_centro(n, c), teoría = 1 / (2c)) for (c, n) in ((0.25, 16), (0.25, 32), (0.5, 16), (1.0, 16))]4-element Vector{@NamedTuple{c::Float64, n::Int64, N12_EF::Float64, teoría::Float64}}:
(c = 0.25, n = 16, N12_EF = 2.0192332270226747, teoría = 2.0)
(c = 0.25, n = 32, N12_EF = 2.009741692492367, teoría = 2.0)
(c = 0.5, n = 16, N12_EF = 0.9905409560932471, teoría = 1.0)
(c = 1.0, n = 16, N12_EF = 0.4978203426549612, teoría = 0.5)# (3) Efecto del espesor (c = 0.5): más delgada → más cerca de la membrana
[(t = t, N12 = n12_centro(16, 0.5; t = t)) for t in (0.02, 0.005, 0.002)]3-element Vector{@NamedTuple{t::Float64, N12::Float64}}:
(t = 0.02, N12 = 1.020285274743213)
(t = 0.005, N12 = 0.9959166789268626)
(t = 0.002, N12 = 1.0016558481836835)Cambio de carga. Si la carga se duplica, ¿cómo cambia \(N^{12}\) y la tensión?
Se duplica (\(N^{12}\propto p\)). Con la cubierta de 50 mm, \(0{,}30\) MPa.
Más curvatura. Si \(c\) se duplica manteniendo \(p\) y \(t\), ¿qué ocurre con \(N^{12}\)?
Se reduce a la mitad: una silla más curvada soporta la misma carga con menor esfuerzo (por eso las cubiertas reales no son planas). Pero deja de ser rasante y hay que revisar la fórmula.
Bordes. ¿Por qué un hypar sin elementos de borde no puede trabajar como membrana?
Porque en un borde libre la lámina no puede transmitir fuerza: debería ser \(N^{12}=0\) allí, y con \(N^{12}=p/(2c)\) uniforme eso es imposible. Hace falta un elemento de borde (viga, arco o cable) que reciba la fuerza tangencial que la lámina le entrega y la lleve a los apoyos.
Fuentes. Texto autónomo; la teoría de membrana de láminas es estándar (Flügge 1972; Novozhilov 1959); la deducción para el hypar rasante es propia y los resultados de EF son calculados. Las fuentes de Candela y del Oceanogràfic son secundarias.
Qué queda pendiente. No hay comparación con resultados de la literatura para el hypar estático (sólo con la teoría de membrana rasante); la teoría de membrana no rasante no se ha deducido; la solución de capa límite se describe sólo cualitativamente; espesores del Oceanogràfic discordantes; la dependencia de \(N^{12}\) del elemento muestreado indica que conviene promediar (lección registrada); revisión visual de las figuras.
Son las mismas que aparecen en el margen, junto al texto.
Flügge, W. 1972. Tensor Analysis and Continuum Mechanics. Springer-Verlag.
Novozhilov, V. V. 1959. The Theory of Thin Shells. P. Noordhoff ltd.