Extensión, flexión y cortante en función de los desplazamientos y los giros
Qué combinaciones de desplazamientos y giros producen cada tipo de deformación, y cuáles no producen ninguna
Objetivos. Al terminar el tema sabrás:
Laminas.jl.Prerrequisitos. Reissner–Mindlin y Símbolos de Christoffel.
Secciones del tema
| Símbolo | Significado |
|---|---|
| \(u_\alpha,\ u_3\) | componentes del desplazamiento de la superficie media: \(\mathbf{u}=u_\alpha\mathbf{a}^\alpha+u_3\hat{\mathbf{a}}_3\) |
| \(\varphi_\alpha\) | giro del director (covariante) |
| \((\ )_{\|\beta}\) | derivada covariante en la superficie (símbolos \(\bar\Gamma\)) |
| \(b_{\alpha\beta}\), \(b^\alpha_\beta\) | curvatura, convenio \(b_{\alpha\beta}=\hat{\mathbf{a}}_3\cdot\mathbf{a}_{\alpha,\beta}\) |
| \(\gamma^0,\gamma^1,\gamma_\alpha\) | extensión, flexión y cortante (de ingeniería) |
Las componentes físicas solo se definen aquí en bases ortogonales (\(a_{12}=0\)). Para bases no ortogonales (p. ej. la placa oblicua) y para los giros físicos del director no hay convenio fijado por el autor: se marcan «por confirmar» y no se usan en los ejemplos.
Proposición 19.1 (Deformaciones de la lámina (pequeñas deformaciones, giros moderados)) Linealizando ecuación 16.6 y ecuación 18.2 para desplazamientos y giros pequeños: \[ \begin{aligned} \gamma^0_{\alpha\beta}&=\tfrac12\bigl(u_{\alpha\|\beta}+u_{\beta\|\alpha}\bigr)-b_{\alpha\beta}\,u_3,\\[2pt] \gamma^1_{\alpha\beta}&=\tfrac12\bigl(\varphi_{\alpha\|\beta}+\varphi_{\beta\|\alpha}-b^\mu_\alpha u_{\mu\|\beta}-b^\mu_\beta u_{\mu\|\alpha}\bigr)+b^\mu_\alpha b_{\mu\beta}\,u_3,\\[2pt] \gamma_\alpha&=\varphi_\alpha+u_{3,\alpha}+b^\rho_\alpha u_\rho . \end{aligned} \tag{19.1}\] La deformación en el punto \(\theta^3\) del espesor es \(\gamma_{\alpha\beta}\approx\gamma^0_{\alpha\beta}+\theta^3\gamma^1_{\alpha\beta}\).
Se parte de \(\mathbf{R}_0=\mathbf{r}+\mathbf{u}\), \(\mathbf{A}_3=\hat{\mathbf{a}}_3+\varphi_\beta\mathbf{a}^\beta\) y se linealiza ecuación 16.6. Con Gauss–Weingarten (ecuación 9.3, ecuación 9.4), \(\mathbf{u}_{,\beta}=(u_{\alpha\|\beta}-b_{\alpha\beta}u_3)\mathbf{a}^\alpha+(u_{3,\beta}+b^\rho_\beta u_\rho)\hat{\mathbf{a}}_3\): la parte tangente da la extensión \(\gamma^0\) y la normal alimenta el cortante. El mismo cálculo con \(\hat{\mathbf{a}}_{3,\alpha}=-b^\mu_\alpha\mathbf{a}_\mu\) produce los términos de curvatura de \(\gamma^1\). La verificación definitiva es numérica: el test «Cinemática de láminas» compara ecuación 19.1 con la deformación exacta de un cuerpo con \(s=10^{-6}\) y coincide a \(2\cdot10^{-4}\) (extensión, cortante) y \(2\cdot10^{-3}\) (flexión). \(\square\)
En una placa (\(b_{\alpha\beta}=0\)) las tres relaciones se desacoplan: la extensión solo depende de \(u_\alpha\) (problema plano), la flexión de \(\varphi_\alpha\) y el cortante de \(\varphi_\alpha+w_{,\alpha}\). En una lámina curva, \(b_{\alpha\beta}\neq0\) mezcla membrana y flexión: empujar la superficie normalmente (\(u_3\)) la estira, y estirarla (\(u_\alpha\)) la flexa.
Observa en ecuación 19.1 dónde aparece \(b\):
| Término | Efecto físico |
|---|---|
| \(-b_{\alpha\beta}u_3\) en \(\gamma^0\) | un desplazamiento normal estira la superficie curva (el cilindro que se hincha) |
| \(-b^\mu_\alpha u_{\mu\|\beta}\) en \(\gamma^1\) | un estiramiento tangencial cambia la curvatura |
| \(b^\mu_\alpha b_{\mu\beta}u_3\) en \(\gamma^1\) | un desplazamiento normal cambia la curvatura aunque no gire el director |
| \(b^\rho_\alpha u_\rho\) en \(\gamma_\alpha\) | el movimiento tangencial inclina la normal de la superficie curva |
Por eso una lámina curva resiste mucho mejor las cargas normales que una placa plana: parte de la carga se resiste «por membrana», sin flexión (el argumento del primer tema del libro).
En una base ortogonal (\(a_{12}=0\)), las deformaciones físicas son \[ \varepsilon^{\,0}_{(\alpha\alpha)}=\frac{\gamma^0_{\alpha\alpha}}{a_{\alpha\alpha}},\qquad \varepsilon^{\,0}_{(12)}=\frac{\gamma^0_{12}}{\sqrt{a_{11}a_{22}}}, \tag{19.2}\] y análogamente la flexión y los cortantes (\(\gamma_{(\alpha)}=\gamma_\alpha/\sqrt{a_{\alpha\alpha}}\)). Las unidades son las naturales: la extensión es adimensional, la flexión es \(1/\text{longitud}\) y el cortante es adimensional.
Ejemplo 19.1 (Ejemplo resuelto: el cilindro que se hincha, con las fórmulas) Cilindro de radio \(R\) (D3), \(\theta^1=\varphi\), desplazamiento solo normal \(u_3=\text{const}\), sin giro del director (\(\varphi_\alpha=0\)). Con \(b_{\varphi\varphi}=-R\), \(b^\varphi_\varphi=-1/R\) y \(\bar\Gamma^\varphi_{\varphi\varphi}=0\) (la base no gira en intensidad), ecuación 19.1 da: \[ \gamma^0_{\varphi\varphi}=-b_{\varphi\varphi}u_3=R\,u_3,\qquad \gamma^1_{\varphi\varphi}=b^\varphi_\varphi b_{\varphi\varphi}u_3=u_3,\qquad \gamma_\varphi=0 . \] En componentes físicas (\(a_{\varphi\varphi}=R^2\)): \(\varepsilon^0=u_3/R\) (el aro se alarga) y \(\gamma^1/a_{\varphi\varphi}=u_3/R^2\) (la curvatura del aro cambia, porque \(1/(R+u_3)\approx1/R-u_3/R^2\)). Con \(R=2000\) mm y \(u_3=1\) mm: \(\varepsilon^0=5\cdot10^{-4}\) y \(\kappa=2{,}5\cdot10^{-7}\ \text{mm}^{-1}\). Coincide con el cilindro de D3.
Pon a prueba lo anterior.
Cilindro de \(R=2000\) mm con \(u_3=1\) mm uniforme y \(\varphi_\alpha=0\): ¿cuánto vale la deformación de membrana física \(\varepsilon^0=\gamma^0_{\varphi\varphi}/a_{\varphi\varphi}\)?
\(\gamma^0=-b\,u_3=R\,u_3\) y \(a_{\varphi\varphi}=R^2\).
\(\varepsilon^0=u_3/R=1/2000=5\cdot10^{-4}\).
Con los mismos datos, ¿cuánto vale \(\gamma^1_{\varphi\varphi}/a_{\varphi\varphi}\) (en mm\(^{-1}\))?
\(\gamma^1_{\varphi\varphi}=b^\varphi_\varphi b_{\varphi\varphi}u_3=u_3\).
\(1/R^2=1/(2000)^2=2{,}5\cdot10^{-7}\ \text{mm}^{-1}\).
En una placa plana (\(b_{\alpha\beta}=0\)), el desplazamiento transversal \(u_3\) no produce extensión de la superficie media (a orden lineal).
Verdadero. El único término con \(u_3\) en \(\gamma^0\) es \(-b_{\alpha\beta}u_3\), que se anula. Por eso la placa plana trata aparte membrana y flexión; en una lámina curva ambas se acoplan.
calculado Se evalúan las tres relaciones con deformacion_lamina_lineal en el cilindro y en el paraboloide, y se comprueban contra la deformación exacta.
using Geometria, LinearAlgebra
R = 2000.0; r = cilindro(R)
θ = [0.9, 0.3]
γ0, γ1, γS = deformacion_lamina_lineal(r, t -> [0.0, 0.0], t -> 1.0, t -> [0.0, 0.0], θ)
a = metrica_superficie(r, θ)
(ε0 = γ0[1, 1] / a[1, 1], κ = γ1[1, 1] / a[1, 1], γS = γS)(ε0 = 0.0004999999854643305, κ = 2.4999998546433064e-7, γS = [0.0, 0.0])# Paraboloide: extensión y flexión lineales frente a la deformación exacta (ver tests)
rp = paraboloide_curvo(3.0, -2.0); θp = [0.7, -0.4]
udn(t) = [0.30 * sin(t[1]) + 0.1 * t[2], 0.20 * cos(t[2]) - 0.05 * t[1]]
u3(t) = 0.25 * t[1] * t[2] + 0.1 * cos(t[1])
φdn(t) = [0.12 * t[2] - 0.05, -0.08 * t[1] + 0.03 * sin(t[2])]
s = 1e-6
γ0, γ1, γS = deformacion_lamina_lineal(rp, udn, u3, φdn, θp)
R0, A3 = campos_lamina(rp, udn, u3, φdn, s)
ex(θ3) = deformacion_lamina_exacta(rp, R0, A3, θp, θ3) ./ s
(max_dif_γ0 = maximum(abs.(ex(0.0)[1:2, 1:2] .- γ0)),
max_dif_γS = maximum(abs.(2 .* ex(0.0)[1:2, 3] .- γS)))(max_dif_γ0 = 1.3504576386325073e-6, max_dif_γS = 1.4105992295343484e-6)Traslación rígida. Una lámina cilíndrica se desplaza una distancia \(c\) en la dirección \(z\) (el eje): \(u_z=c\). ¿Qué deformaciones produce?
Ninguna: \(u_{\alpha\|\beta}=0\) (campo constante en la base cartesiana) y \(b_{zz}=0\). Los movimientos rígidos no deforman.
Acople. Explica por qué un cilindro con \(u_3=1\) mm uniforme tiene deformación de membrana, aunque no haya fuerzas en el plano.
Porque \(\gamma^0_{\varphi\varphi}=-b_{\varphi\varphi}u_3=Ru_3\neq0\): ensanchar un aro alarga su perímetro. Ese es el origen del efecto membrana.
Orden. ¿Qué relación de ecuación 19.1 contiene la derivada más alta de los desplazamientos? ¿Y de \(u_3\) en KL?
En RM, \(\gamma^1\) contiene primeras derivadas de \(\varphi\) y \(u_\mu\) y \(\gamma^0\) primeras derivadas de \(u_\alpha\): todo de orden uno. En KL, \(\varphi_\alpha\) se sustituye por \(-(u_{3,\alpha}+b^\rho_\alpha u_\rho)\) y aparecen segundas derivadas de \(u_3\).
Fuentes. Texto autónomo (Novozhilov 1959; Flügge 1972). ecuación 19.1 se comprueba con deformacion_lamina_lineal frente a deformacion_lamina_exacta; los ejemplos del cilindro, con los mismos tests.
Correcciones. Con el convenio del libro (\(b_{\alpha\beta}=\hat{\mathbf{a}}_3\cdot\mathbf{a}_{\alpha,\beta}\)) los signos de \(\gamma^0\) y del acople \(b^\mu_\alpha u_{\mu\|\beta}\) en \(\gamma^1\) son los de ecuación 19.1; una fuente de partida imprime el signo de \(\gamma^1\) de forma incoherente con el de \(b\), y se considera error de la fuente (el signo exacto de \(\gamma^1\) en KL es \(-(B-b)\), D4).
Qué queda pendiente. Componentes físicas en bases no ortogonales y giros físicos (por confirmar); la demostración es un esquema; figuras con revisión visual pendiente; referencias no leídas línea a línea.
Son las mismas que aparecen en el margen, junto al texto.
Flügge, W. 1972. Tensor Analysis and Continuum Mechanics. Springer-Verlag.
Novozhilov, V. V. 1959. The Theory of Thin Shells. P. Noordhoff ltd.