Interpolación sobre la superficie, cinco grados de libertad por nodo y área del elemento
Cómo se puede describir el movimiento de un trozo de lámina curva con sólo veinte números
Objetivos. Al terminar el tema sabrás:
Prerrequisitos. E2 (isoparamétrico, Gauss), Cinemática de la lámina y Reissner–Mindlin.
Secciones del tema
| Símbolo | Significado |
|---|---|
| \((\theta^1,\theta^2)\) | coordenadas curvilíneas de la superficie media |
| \(\theta^\alpha_0\) | semilado del elemento en \(\theta^\alpha\) (tema, ec. ecuación 24.1) |
| \((\xi,\eta)\) | coordenadas naturales, \(\xi=(\theta^1-\bar\theta^1)/\theta^1_0\), \(\eta=(\theta^2-\bar\theta^2)/\theta^2_0\) |
| \(u_1,u_2,u_3\) | desplazamiento: componentes covariantes tangentes y componente normal |
| \(\varphi_1,\varphi_2\) | componentes covariantes del giro del director (convenio pendiente de confirmar, ver el cuadro de abajo) |
| \(\boldsymbol\delta\) | vector de los \(20\) g.d.l. del elemento |
En este libro los g.d.l. son componentes covariantes (no físicas) y los giros \(\varphi_\alpha\) son las componentes covariantes del giro del director (tema D5). Si se prefieren g.d.l. físicos (por ejemplo, componentes cartesianas), las matrices cambian sólo por una matriz de transformación en cada nodo. El autor aún no ha fijado este convenio: se adopta la elección más sencilla y se marca «por confirmar».
En el espacio, un punto de un sólido rígido tiene seis g.d.l.: tres traslaciones y tres giros. En una lámina de Reissner–Mindlin el material «director» (el segmento que atraviesa el espesor) puede inclinarse en dos direcciones — eso son los dos giros \(\varphi_1,\varphi_2\) — pero girar sobre sí mismo (el sexto grado) no cambia nada de la lámina: un lápiz dado vueltas sobre su eje sigue en el mismo sitio. Por eso la formulación tiene tres traslaciones y dos giros, cinco en total. Cuatro nodos por cinco: veinte incógnitas por elemento.
Se divide la superficie media \(\mathbf r(\theta^1,\theta^2)\) con una malla de rectángulos del plano \((\theta^1,\theta^2)\): cada elemento es un rectángulo \([\bar\theta^1\pm\theta^1_0]\times[\bar\theta^2\pm\theta^2_0]\) en el plano de parámetros, que se ve curvo y distorsionado al llevarlo a la superficie (Figura 24.1). Las coordenadas naturales son
\[ \xi=\frac{\theta^1-\bar\theta^1}{\theta^1_0},\qquad \eta=\frac{\theta^2-\bar\theta^2}{\theta^2_0},\qquad 2\theta^1_0=\theta^1_{\text{nodo 2}}-\theta^1_{\text{nodo 1}},\quad 2\theta^2_0=\theta^2_{\text{nodo 4}}-\theta^2_{\text{nodo 1}}, \tag{24.1}\]
y la jacobiana entre ambos sistemas es diagonal y constante: \(\partial\xi/\partial\theta^1=1/\theta^1_0\), \(\partial\eta/\partial\theta^2=1/\theta^2_0\). Es un caso mucho más sencillo que el cuadrilátero arbitrario de E2: toda la distorsión geométrica está dentro de la métrica \(a_{\alpha\beta}(\theta)\), que ya sabemos calcular (tema C1). Los nodos se numeran en sentido antihorario: \(1=(-1,-1)\), \(2=(1,-1)\), \(3=(1,1)\), \(4=(-1,1)\).
Definición 24.1 (Grados de libertad de un nodo) En cada nodo se toman \[ \mathbf d_k=(u_1,\ u_2,\ u_3,\ \varphi_1,\ \varphi_2)_k, \] donde el desplazamiento de la superficie media es \(\mathbf u=u_\alpha\,\mathbf a^\alpha+u_3\,\hat{\mathbf n}\) y el giro del director es \(\boldsymbol\vartheta=\varphi_\alpha\,\mathbf a^\alpha\) (tema D5). El vector del elemento es \(\boldsymbol\delta=(\mathbf d_1,\mathbf d_2,\mathbf d_3,\mathbf d_4)\in\mathbb R^{20}\).
El orden nodo a nodo facilita el ensamblaje (E9): los g.d.l. del nodo \(n\) son los de la posición \(5(n-1)+1,\dots,5n\) del vector global.
Las incógnitas se interpolan con las mismas funciones bilineales de E2, componente a componente:
\[ u_\alpha=\sum_{k=1}^4N_k\,u_{\alpha k},\quad u_3=\sum_{k=1}^4N_k\,u_{3k},\quad \varphi_\alpha=\sum_{k=1}^4N_k\,\varphi_{\alpha k},\qquad N_k=\tfrac14(1+\xi_k\xi)(1+\eta_k\eta). \tag{24.2}\]
Las derivadas con respecto a las coordenadas curvilíneas se obtienen con la jacobiana constante: \(\partial N_k/\partial\theta^1=N_{k,\xi}/\theta^1_0\), y análogamente para \(\theta^2\). Ya se pueden construir las deformaciones del tema D6 con las incógnitas interpoladas: es el contenido de E4.
Se interpolan componentes covariantes, que dependen del punto de la superficie: una traslación rígida del cilindro en la dirección \(z\) tiene \(u_2=-R\sin\varphi\) y \(u_3=\cos\varphi\) en cada nodo, y la interpolación bilineal de estas funciones no reproduce exactamente la traslación. El elemento sólo es capaz de moverse sin deformarse en el límite de elementos pequeños (excepto en direcciones en las que los componentes son constantes, como la traslación axial del cilindro). La práctica lo cuantifica.
El área del elemento sobre la superficie es el factor de área \(\sqrt a=\sqrt{\det a_{\alpha\beta}}\) del tema C1, integrado en el rectángulo paramétrico:
\[ A_e=\int_{\bar\theta^2-\theta^2_0}^{\bar\theta^2+\theta^2_0}\!\int_{\bar\theta^1-\theta^1_0}^{\bar\theta^1+\theta^1_0}\sqrt{a}\,d\theta^1d\theta^2=\theta^1_0\theta^2_0\int_{-1}^1\!\!\int_{-1}^1\sqrt{a(\xi,\eta)}\,d\xi\,d\eta . \tag{24.3}\]
Ejemplo 24.1 (Ejemplo resuelto: elemento sobre un cilindro) Cilindro de radio \(R=500\) mm con \(\mathbf r=(\theta^1,\,R\sin\theta^2,\,R\cos\theta^2)\) (\(\theta^1\) a lo largo del eje). Elemento con \(\Delta\theta^1=100\) mm y \(\Delta\theta^2=0{,}1\) rad. La métrica es \(a_{11}=1\), \(a_{22}=R^2\), \(a_{12}=0\), de modo que \(\sqrt a=R\) es constante y \[ A_e=\theta^1_0\theta^2_0\cdot4\cdot R=\Delta\theta^1\,\Delta\theta^2\,R=100\cdot0{,}1\cdot500=\mathbf{5000}\ \text{mm}^2, \] que coincide con el área del rectángulo desarrollado (\(100\times R\Delta\theta^2=100\times50\) mm). Resultado analítico.
En el Ejemplo 24.1, ¿cuánto vale el área del elemento de \(100\) mm de longitud axial y \(0{,}1\) rad de abertura sobre un cilindro de radio \(500\) mm?
\(A=\Delta\theta^1\cdot R\Delta\theta^2=100\cdot500\cdot0{,}1=5000\) mm².
Un elemento de lámina de cuatro nodos con cinco g.d.l. por nodo tiene…
\(4\times5=20\): tres desplazamientos y dos giros del director por nodo; el giro sobre la normal no se incluye.
ilustrativo Obra civil. Las cubiertas de Félix Candela y las del Oceanogràfic de Valencia son láminas de doble curvatura de pocos centímetros de espesor: justo el rango donde un elemento de lámina como este, con cortante transversal, es la herramienta adecuada. Biomecánica. Los primeros modelos de aneurismas aórticos se hicieron con elementos de lámina asumiendo tensión uniforme en el espesor, y la cavidad craneal se ha modelado como una estructura de pared delgada con elementos de lámina compuestos.
Fuentes (secundarias): L’Oceanogràfic, Wikipedia; Predictors of Abdominal Aortic Aneurysm Risks (MDPI); Tissue Modeling and Analyzing with FEM: Cranium Brain Imaging (Wiley). No se leyeron los artículos completos. Consultado el 21-10-2026.
calculado (1) El área del elemento del Ejemplo 24.1 con punto_elemento. (2) Cuánto «cuesta» el movimiento rígido en \(z\) sobre el cilindro al reducir el tamaño del elemento: se evalúa \(\lVert\mathbf K\boldsymbol\delta\rVert/\lVert\mathbf K\rVert\lVert\boldsymbol\delta\rVert\) con \(\boldsymbol\delta\) la traslación rígida interpolada nodo a nodo.
using Geometria, LinearAlgebra
R = 500.0
r = θ -> [θ[1], R * sin(θ[2]), R * cos(θ[2])] # cilindro de eje x
X = [0.0 100.0 100.0 0.0; 0.0 0.0 0.1 0.1] # (θ¹, θ²) de los nodos 1–4
# Área: Σ w·dA con los 2×2 puntos de Gauss
área = sum(w * punto_elemento(r, X, ξ, η, 1.0, 0.3, 1.0)[4] for (ξ, η, w) in Geometria.puntos_gauss((-1.0, 1.0), (-1.0, 1.0), 2))
(área_elemento = área, esperada = 100 * R * 0.1)(área_elemento = 4999.9999962683405, esperada = 5000.0)# Traslación rígida en z: componentes covariantes de u = (0,0,1) en cada nodo
function residuo_rigido(Δφ)
X = [0.0 100.0 100.0 0.0; 0.0 0.0 Δφ Δφ]
K = rigidez_elemento(r, X, 210e3, 0.3, 5.0; modo = :subdominios)
δ = zeros(20)
for k in 1:4
g = geometria_punto(r, X[:, k]); u = [0.0, 0.0, 1.0]
δ[5(k-1)+1:5(k-1)+2] = g.A' * u # uα = u·aα
δ[5(k-1)+3] = dot(g.n, u)
end
norm(K * δ) / (norm(K) * norm(δ))
end
[(Δφ = Δφ, residuo = residuo_rigido(Δφ)) for Δφ in (0.4, 0.2, 0.1, 0.05)]4-element Vector{@NamedTuple{Δφ::Float64, residuo::Float64}}:
(Δφ = 0.4, residuo = 3.334531294666696e-9)
(Δφ = 0.2, residuo = 1.6630596125336182e-9)
(Δφ = 0.1, residuo = 8.303571775866207e-10)
(Δφ = 0.05, residuo = 4.137167355040415e-10)El residuo disminuye al reducir el elemento (la traslación rígida se representa cada vez mejor); por eso, en un cálculo real, el modo rígido sólo aparece «gratis» cuando la malla es fina.
Orden de los nodos. ¿Qué ocurre si se numeran los nodos en sentido horario?
La jacobiana \(\partial(\xi,\eta)/\partial(\theta^1,\theta^2)\) cambia de signo y el «área» sale negativa: el elemento se vuelve del revés. Siempre antihorario visto desde el lado de la normal \(\hat{\mathbf n}\).
Contar incógnitas. Una malla de \(10\times10\) elementos tiene cuántos nodos y cuántos g.d.l. globales (sin apoyos)?
\(11\times11=121\) nodos; \(121\times5=605\) g.d.l.
Área sobre una esfera. Un elemento de una esfera de radio \(R\) entre colatitudes \(\theta^1_a,\theta^1_b\) y longitudes \(\Delta\theta^2\) tiene \(\sqrt a=R^2\sin\theta^1\). Escribe su área.
\(A=R^2\Delta\theta^2(\cos\theta^1_a-\cos\theta^1_b)\); en este caso \(\sqrt a\) no es constante y los \(2\times2\) puntos de Gauss ya sólo aproximan.
Fuentes. Texto autónomo; la formulación de las incógnitas y la geometría siguen los temas D3–D6 y C1. Elemento isoparamétrico y de lámina en (Zienkiewicz y Taylor, s. f.; Bathe 1996; Ahmad et al. 1970).
Qué queda pendiente. El convenio de g.d.l. covariantes y de los giros \(\varphi_\alpha\) por confirmar por el autor; la nota histórica se basa en fuentes secundarias; revisión visual de la figura; la «Aplicación real» cita fuentes sin haber leído los artículos completos.
Son las mismas que aparecen en el margen, junto al texto.
Ahmad, S., B. M. Irons, y O. C. Zienkiewicz. 1970. «Analysis of thick and thin shell structures by curved finite elements». International Journal for Numerical Methods in Engineering 2 (3): 419-51. https://doi.org/10.1002/nme.1620020310.
Bathe, K. J. 1996. Finite Element Procedures. Prentice Hall.
Zienkiewicz, O. C., y R. L. Taylor. s. f. The Finite Element Method. Butterworth-Heinemann.