De 81 coeficientes a dos constantes, y la tensión plana
Cuántas constantes hacen falta para relacionar tensiones y deformaciones, y qué se simplifica en una lámina delgada
Objetivos. Al terminar el tema sabrás:
Prerrequisitos. Deformación y tensión en el sólido.
Secciones del tema
Un material elástico lineal tiene una relación lineal entre la tensión y la deformación, que se escribe con un tensor de orden cuatro: \[ \sigma^{ij}=C^{ijkl}\,\varepsilon_{kl}. \tag{15.1}\]
El tensor \(C^{ijkl}\) tiene \(3^4=81\) componentes en 3D. Las simetrías las reducen:
| Simetría | Razón | Componentes independientes |
|---|---|---|
| ninguna | — | 81 |
| \(C^{ijkl}=C^{jikl}\) | \(\sigma^{ij}\) simétrico | 54 |
| \(C^{ijkl}=C^{ijlk}\) | \(\varepsilon_{kl}\) simétrico | 36 |
| \(C^{ijkl}=C^{klij}\) | existe una energía de deformación \(W(\varepsilon)\) | 21 (material anisótropo general) |
| isotropía | sin direcciones privilegiadas | 2 |
Con las dos primeras simetrías, \(\sigma\) y \(\varepsilon\) son vectores de 6 componentes y \(C\) una matriz \(6\times6\) (36 coeficientes); la simetría respecto de la energía la hace simétrica (21).
\(C^{ijkl}\) es un tensor: sus componentes cambian al cambiar de coordenadas con la ley de transformación de orden cuatro. Si se escribe con la métrica, como en el caso isótropo, vale en cualquier sistema sin más trabajo (Sección 15.5).
Proposición 15.1 (Ley de Hooke isótropa) Un material isótropo y elástico lineal queda caracterizado por dos constantes, las de Lamé \(\lambda\) y \(\mu\): \[ C^{ijkl}=\lambda\,g^{ij}g^{kl}+\mu\bigl(g^{ik}g^{jl}+g^{il}g^{jk}\bigr),\qquad \sigma^{ij}=\lambda\,(\varepsilon^k{}_k)\,g^{ij}+2\mu\,\varepsilon^{ij} . \tag{15.2}\] En términos del módulo de Young \(E\) y el coeficiente de Poisson \(\nu\): \[ \mu=G=\frac{E}{2(1+\nu)},\qquad \lambda=\frac{E\,\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)},\qquad \varepsilon_{ij}=\frac1E\Bigl[(1+\nu)\,\sigma_{ij}-\nu\,\sigma^k{}_k\,g_{ij}\Bigr] . \tag{15.3}\]
Un tensor de orden cuatro isótropo (invariante por cualquier rotación) se construye solo con la métrica, porque no hay otro tensor invariante que se pueda formar con índices libres; las tres combinaciones posibles \(g^{ij}g^{kl}\), \(g^{ik}g^{jl}\), \(g^{il}g^{jk}\) se reducen a dos por la simetría \(C^{ijkl}=C^{ijlk}\). De ahí ecuación 15.2. Para ver la relación con \(E,\nu\): en tracción uniaxial \(\sigma^{11}=\sigma\) (cartesiano), ecuación 15.2 da \(\varepsilon_{11}=\sigma/E\) con \(E=\mu(3\lambda+2\mu)/(\lambda+\mu)\) y \(\varepsilon_{22}=-\nu\varepsilon_{11}\) con \(\nu=\lambda/(2(\lambda+\mu))\); invirtiendo se obtienen ecuación 15.3. \(\square\)
Ejemplo 15.1 (Ejemplo resuelto: constantes del acero) Con \(E=210\,000\) MPa y \(\nu=0{,}3\): \[ \mu=\frac{210\,000}{2\cdot1{,}3}=80\,769\ \text{MPa},\qquad \lambda=\frac{210\,000\cdot0{,}3}{1{,}3\cdot0{,}4}=121\,154\ \text{MPa}. \] En tracción uniaxial de \(\sigma=100\) MPa: \(\varepsilon_{11}=100/210\,000=4{,}76\cdot10^{-4}\) y \(\varepsilon_{22}=\varepsilon_{33}=-0{,}3\cdot4{,}76\cdot10^{-4}=-1{,}43\cdot10^{-4}\).
Pon a prueba lo anterior. Los ejercicios se corrigen en tu navegador y no envían nada a ningún sitio.
Para \(E=210\,000\) MPa y \(\nu=0{,}3\), ¿cuánto vale el módulo de cortante \(\mu=G\)?
\(G=E/(2(1+\nu))=210\,000/2{,}6=80\,769\) MPa.
¿Cuántas constantes elásticas independientes tiene un material isótropo elástico lineal?
Dos (\(\lambda,\mu\) o, equivalentemente, \(E,\nu\)). 21 es el caso anisótropo general y 36 es el número antes de imponer la simetría de la energía.
La energía almacenada por unidad de volumen es \[ W=\tfrac12\,\sigma^{ij}\varepsilon_{ij}=\tfrac12\,C^{ijkl}\varepsilon_{ij}\varepsilon_{kl}. \tag{15.4}\] Su derivada respecto de la deformación es la tensión: \(\sigma^{ij}=\partial W/\partial\varepsilon_{ij}\). Para que el material sea estable (energía positiva para cualquier deformación no nula) hace falta \(\mu>0\) y \(3\lambda+2\mu>0\), es decir, \[ E>0,\qquad -1<\nu<\tfrac12 . \]
En una lámina delgada se supone que la tensión normal a la superficie media es nula, \(\sigma^{33}=0\) (la carga en el espesor es despreciable). Entonces \(\varepsilon_{33}\) ya no es libre: se condensa.
Proposición 15.2 (Tensión plana) Con \(\sigma^{33}=0\) la ley de Hooke isótropa se reduce a un problema bidimensional con las constantes \[ \lambda^*=\frac{E\nu}{1-\nu^2},\qquad \mu=\frac{E}{2(1+\nu)},\qquad C^{\alpha\beta\gamma\delta}=\lambda^*a^{\alpha\beta}a^{\gamma\delta}+\mu\bigl(a^{\alpha\gamma}a^{\beta\delta}+a^{\alpha\delta}a^{\beta\gamma}\bigr), \tag{15.5}\] y en una base ortonormal la matriz en notación de Voigt \((\varepsilon_{11},\varepsilon_{22},2\varepsilon_{12})\) es \[ D=\frac{E}{1-\nu^2}\begin{pmatrix}1&\nu&0\\\nu&1&0\\0&0&\tfrac{1-\nu}2\end{pmatrix}. \tag{15.6}\] Equivale a la condensación estática \(C^{\alpha\beta\gamma\delta}=E^{\alpha\beta\gamma\delta}-E^{33\alpha\beta}E^{33\gamma\delta}/E^{3333}\) del tensor 3D.
De \(\sigma^{33}=\lambda\,\mathrm{tr}\,\varepsilon+2\mu\,\varepsilon_{33}=0\) con \(\mathrm{tr}\,\varepsilon=\varepsilon^\alpha{}_\alpha+\varepsilon_{33}\) se despeja \(\varepsilon_{33}=-\dfrac{\lambda}{\lambda+2\mu}\,\varepsilon^\alpha{}_\alpha\). Sustituyendo en \(\sigma^{\alpha\beta}=\lambda(\varepsilon^\gamma{}_\gamma+\varepsilon_{33})a^{\alpha\beta}+2\mu\varepsilon^{\alpha\beta}\) queda \(\sigma^{\alpha\beta}=\Bigl(\lambda-\dfrac{\lambda^2}{\lambda+2\mu}\Bigr)\varepsilon^\gamma{}_\gamma a^{\alpha\beta}+2\mu\varepsilon^{\alpha\beta}\), y \(\lambda-\dfrac{\lambda^2}{\lambda+2\mu}=\dfrac{2\lambda\mu}{\lambda+2\mu}=\dfrac{E\nu}{1-\nu^2}=\lambda^*\). \(\blacksquare\)
Ejemplo 15.2 (Ejemplo resuelto: la matriz de tensión plana del acero) Con \(E=210\,000\) MPa y \(\nu=0{,}3\): \(E/(1-\nu^2)=230\,769\) MPa y \[ D=\begin{pmatrix}230\,769&69\,231&0\\69\,231&230\,769&0\\0&0&80\,769\end{pmatrix}\ \text{MPa}. \] El término de cortante \(\tfrac{1-\nu}{2}\cdot230\,769=80\,769\) MPa es el módulo \(G\) del material (con \(2\varepsilon_{12}\) en el vector de deformaciones).
Pon a prueba lo anterior.
Para \(E=210\,000\) MPa y \(\nu=0{,}3\), ¿cuánto vale \(D_{11}=E/(1-\nu^2)\) de tensión plana?
\(210\,000/(1-0{,}09)=230\,769\) MPa.
¿Y \(D_{12}=\nu E/(1-\nu^2)\)?
\(0{,}3\cdot230\,769=69\,231\) MPa.
En tensión plana, \(\varepsilon_{33}=0\).
Falso. En tensión plana es \(\sigma^{33}=0\) y \(\varepsilon_{33}=-\nu(\varepsilon_{11}+\varepsilon_{22})/(1-\nu)\neq0\) (el espesor cambia por el efecto de Poisson).
calculado Se verifica Hooke isótropo, la energía, la matriz de tensión plana y que el tensor vale en polares sin cambiar nada más que la métrica.
using Geometria, LinearAlgebra
E, ν = 210e3, 0.3
λ, μ = lame(E, ν)
D = matriz_tension_plana(E, ν)
(λ = λ, μ = μ, D = round.(D; digits = 0))(λ = 121153.84615384616, μ = 80769.23076923077, D = [230769.0 69231.0 0.0; 69231.0 230769.0 0.0; 0.0 0.0 80769.0])# Hooke en cartesianas y en polares: la energía es la misma
C = hooke_contravariante(Matrix(1.0I, 3, 3), E, ν)
ε = [1e-3 2e-4 0; 2e-4 -5e-4 1e-4; 0 1e-4 3e-4]
pol(t) = [cos(t[2]) -t[1] * sin(t[2]) 0; sin(t[2]) t[1] * cos(t[2]) 0; 0 0 1]
B = pol([1.4, 0.7])
Cpol = hooke_contravariante(inv(metrica(B)), E, ν)
εpol = transpose(B) * ε * B # componentes covariantes en polares
(W_cartesianas = energia_deformacion(C, ε), W_polares = energia_deformacion(Cpol, εpol))(W_cartesianas = 0.15507692307692308, W_polares = 0.1550769230769231)# Tensión plana como condensación de Hooke 3D
ε3 = [1e-3 3e-4 0; 3e-4 -4e-4 0; 0 0 -ν / (1 - ν) * (1e-3 - 4e-4)]
σ3 = tension_hooke(C, ε3)
σvoigt = D * [1e-3, -4e-4, 2 * 3e-4]
(σ33 = σ3[3, 3], σ11_σ22_σ12 = [σ3[1, 1], σ3[2, 2], σ3[1, 2]], matriz_plana = σvoigt)(σ33 = -1.4210854715202004e-14, σ11_σ22_σ12 = [203.07692307692307, -23.07692307692308, 48.46153846153845], matriz_plana = [203.07692307692307, -23.07692307692308, 48.461538461538446])Compresibilidad. Calcula el módulo de compresibilidad \(K=\lambda+\tfrac23\mu\) del acero y comprueba que es \(E/(3(1-2\nu))\).
\(K=121\,154+53\,846=175\,000\) MPa \(=210\,000/(3\cdot0{,}4)\) ✓.
Energía. Calcula \(W\) para la tracción uniaxial de \(\sigma=100\) MPa del Ejemplo 15.1.
\(W=\tfrac12\sigma\varepsilon_{11}=\tfrac12\cdot100\cdot4{,}76\cdot10^{-4}=0{,}0238\) MPa (N·mm/mm³).
Isótropo y base. Demuestra que ecuación 15.2 no depende del sistema de coordenadas.
Está construido solo con \(g^{ij}\), que es un tensor: sus componentes se transforman con \(J\) y el resultado es un tensor de orden cuatro. Se comprueba en la práctica con la energía en polares.
Poisson. ¿Qué ocurre con \(\lambda\) cuando \(\nu\to0{,}5\)?
\(\lambda=E\nu/((1+\nu)(1-2\nu))\to\infty\): el material se vuelve incompresible.
Fuentes. Texto autónomo, resultados estándar de elasticidad lineal (Flügge 1972; Novozhilov 1959; Romano et al. 2006). Las constantes y la tensión plana se verifican con Geometria (conjunto «Elasticidad del sólido» y «Rigidez de la lámina»).
Qué queda pendiente. La demostración de la isotropía es una idea; materiales anisótropos y ortótropos (laminados) no se tratan; nota histórica con fuentes secundarias; figuras con revisión visual pendiente; referencias no leídas línea a línea.
Son las mismas que aparecen en el margen, junto al texto.
Flügge, W. 1972. Tensor Analysis and Continuum Mechanics. Springer-Verlag.
Novozhilov, V. V. 1959. The Theory of Thin Shells. P. Noordhoff ltd.
Romano, A., R. Lancellota, y A. Marasco. 2006. Continuum Mechanics using Mathematica. Birkhäuser, Boston.