Por qué una lámina delgada puede ser tan fuerte, y qué matemáticas hacen falta para calcularla
Cómo puede una cáscara de hormigón de pocos centímetros de espesor cubrir un restaurante entero sin una sola columna en medio, y qué matemáticas necesitamos para calcular una forma así
Objetivos. Al terminar el tema sabrás:
Prerrequisitos. Ninguno específico: bastan álgebra lineal y cálculo de primer ciclo universitario (vectores, matrices, derivadas parciales).
Secciones del tema
En 1958 se terminó en Xochimilco, al sur de la Ciudad de México, el restaurante Los Manantiales: una cubierta formada por cuatro paraboloides hiperbólicos que se cruzan en el centro y cubren un comedor de unos 32 metros de ancho sin apoyos intermedios. Las cubiertas de este tipo, con láminas de hormigón armado de apenas unos pocos centímetros de espesor, se asocian sobre todo al ingeniero y constructor Félix Candela.
Ejemplo 1.1 (Ejemplo resuelto: ¿cuán delgada es una cáscara?) La medida natural de lo delgada que es una lámina es la esbeltez \(L/h\) (luz dividida por espesor). Con los datos citados abajo, \(L\approx106\) pies \(\approx32{,}3\) m y \(h\approx4\) cm: \[ \frac{L}{h}\approx\frac{32{,}3}{0{,}04}\approx 800 . \] Es la esbeltez de una hoja de papel de 20 cm de lado y \(0{,}25\) mm de espesor (algo más gruesa que un folio). Eso es posible porque la forma, y no solo el material, es la que soporta la carga.
Pon a prueba lo anterior. Los ejercicios se corrigen en tu navegador y no envían nada a ningún sitio.
Una cáscara de 32 m de luz y 4 cm de espesor, ¿qué esbeltez \(L/h\) tiene?
\(L/h=32/0{,}04=800\).
Una chapa plana y otra curva del mismo material y espesor soportan igual una carga repartida sobre ellas.
Falso. La curvatura permite que la carga se transmita sobre todo por esfuerzos en el plano de la lámina (de membrana), mucho más eficientes que la flexión, que es el único recurso de una chapa plana (Sección 1.2).
Coge una hoja de papel por un borde: se cae. Dóblala en forma de teja (curvatura en un sentido) y se sostiene mucho mejor. La razón es que una lámina puede soportar una carga de dos maneras:
Una cáscara bien diseñada trabaja casi toda como una membrana. Cuando se aproxima a un borde, a un apoyo o a un cambio brusco de forma, aparece además la flexión en una zona estrecha («efecto de borde»). Calcular ese reparto exige conocer con precisión cómo se curva la lámina y cómo se deforma: es el objetivo de todo el libro.
La forma de una lámina es parte de su resistencia. Por eso este libro empieza por la geometría de las superficies antes de hablar de tensiones.
El paraboloide hiperbólico («hypar») es la superficie \(z=c\,x\,y\) (o, girada \(45^\circ\), \(z=\tfrac12(x^2/a^2-y^2/b^2)\)). Tiene dos propiedades que lo hacen ideal:
La Figura 1.2 muestra, además, el problema que nos espera: sobre una superficie curva no existen ejes cartesianos globales, y la base de vectores tangentes y la normal cambian de un punto a otro (azul y verde: tangentes; naranja: normal).
Calcular una lámina como la de Candela con un ordenador exige responder, en este orden, cinco preguntas. Cada una es un bloque del libro (el recorrido completo, con el estado de cada tema, está en el Mapa del libro):
| Bloque | Pregunta | Herramienta |
|---|---|---|
| A · Preludio | ¿Por qué una cáscara fina resiste, y qué hace falta saber? | Este tema |
| B · Cálculo tensorial | ¿Cómo se escriben las leyes de la física sin depender de las coordenadas? | Bases covariante y contravariante, métrica, Christoffel |
| C · Geometría de superficies | ¿Qué es una superficie curva y cómo medimos su forma? | Formas fundamentales, curvaturas, paraboloide hiperbólico |
| D · Elasticidad | ¿Cómo se deforma una lámina y cuánta energía almacena? | Cinemática de la lámina, Kirchhoff–Love y Reissner–Mindlin |
| E · Elementos finitos | ¿Cómo lo calcula un ordenador sin que el elemento se bloquee? | Elemento de cuatro nodos, Hu–Washizu por subdominios |
| F · Vibraciones | ¿A qué frecuencias vibra un hypar y cuánto podemos fiarnos? | Modos propios, comparación y convergencia |
Cada tema tiene el mismo esquema: una pregunta guía, teoría con ejemplos resueltos, demostraciones plegadas (ábrelas si quieres el detalle), preguntas intercaladas que se corrigen en tu navegador, ejemplos en Julia, ejercicios con solución y una lista «La doy por superada si…». Los bloques de color tienen significado fijo: definiciones (azul), resultados (verde azulado), ejemplos (ámbar), ideas clave (violeta), historia (ocre).
Pon a prueba lo anterior.
¿Qué propiedad del paraboloide hiperbólico permitió encofrarlo con tablones rectos?
Es reglada: por cada punto pasan dos rectas contenidas en la superficie (Sección 12.2). No es de revolución y su curvatura de Gauss es negativa.
Antes de la superficie curva, el ejemplo más sencillo donde las bases cambian de punto a punto: el plano en coordenadas polares. Con \(x=r\cos\theta\), \(y=r\sin\theta\), el vector de posición es \(\mathbf{r}(r,\theta)=(r\cos\theta,\,r\sin\theta)\) y las bases naturales son
\[ \mathbf{g}_1=\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial r}=(\cos\theta,\;\sin\theta), \qquad \mathbf{g}_2=\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial\theta}=(-r\sin\theta,\;r\cos\theta). \tag{1.1}\]
Son ortogonales, pero \(\|\mathbf{g}_2\|=r\) no es 1, y ambas giran con \(\theta\). Sus productos escalares \(g_{ij}=\mathbf{g}_i\cdot\mathbf{g}_j\) forman el tensor métrico:
\[ (g_{ij})=\begin{pmatrix}1&0\\0&r^2\end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad ds^2=g_{ij}\,d\theta^i\,d\theta^j=dr^2+r^2\,d\theta^2 . \tag{1.2}\]
La longitud de un arco depende de la métrica: la misma variación \(d\theta\) recorre más distancia cuanto mayor es \(r\). Ese es el contenido geométrico de \(g_{22}=r^2\).
Escribir \(\mathbf{V}=(2,-1)\) no define un vector: define sus componentes respecto a una base concreta. En este libro se distingue siempre entre el vector \(\mathbf{V}\) y sus componentes \(V^i\) o \(V_i\).
calculado El módulo Geometria implementa ecuación 1.1 y la métrica; se comprueba ecuación 1.2 en un punto.
using Geometria
r, θ = 2.0, π / 6
B = base_polar(r, θ) # columnas: g₁ y g₂
metrica(B) # debe ser diag(1, r²) = diag(1, 4)Precompiling packages... 749.8 ms ✓ Geometria 1 dependency successfully precompiled in 1 seconds. 3 already precompiled.
2×2 Matrix{Float64}:
1.0 0.0
0.0 4.0# Reciprocidad gⁱ·gⱼ = δⁱⱼ y reconstrucción de un vector
V = [1.0, 0.5]
Vup = comps_contravariantes(B, V)
(reciprocidad(B), desde_contravariantes(B, Vup) ≈ V)([1.0 0.0; 0.0 1.0], true)Pon a prueba lo anterior.
En coordenadas polares, en el punto \(r=2\), ¿cuánto vale \(g_{22}\)?
\(g_{22}=\|\mathbf{g}_2\|^2=r^2=4\).
Cilíndricas. Calcula \(g_{ij}\) para las coordenadas cilíndricas \((\rho,\varphi,z)\) y comprueba que \(ds^2=d\rho^2+\rho^2d\varphi^2+dz^2\).
\(\mathbf{r}=(\rho\cos\varphi,\rho\sin\varphi,z)\) da \(\mathbf{g}_1=(\cos\varphi,\sin\varphi,0)\), \(\mathbf{g}_2=\rho(-\sin\varphi,\cos\varphi,0)\), \(\mathbf{g}_3=(0,0,1)\), ortogonales con \(g_{11}=1\), \(g_{22}=\rho^2\), \(g_{33}=1\).
Determinante. Con base_polar, verifica numéricamente que \(\det(g_{ij})=r^2\) para varios valores de \(r\) y \(\theta\).
using Geometria, LinearAlgebra; [det(metrica(base_polar(r, θ))) ≈ r^2 for r in 0.5:0.5:3, θ in 0:0.4:2] devuelve todo true.
Vector y componentes. Explica con tus palabras por qué \(\mathbf{V}=(2,-1)\) no basta para definir un vector.
Esos dos números son las componentes respecto de una base. Sin decir cuál, no se sabe qué vector es: en otra base, el mismo vector tendría otros números.
Grosor. Una cubierta curva y una losa plana del mismo material cubren la misma luz con la misma carga. ¿Cuál necesita más espesor? Razona con la idea de membrana frente a flexión.
La losa plana: trabaja a flexión, cuya rigidez crece con \(h^3\), y debe compensar la falta de curvatura con espesor. La cáscara trabaja sobre todo por membrana y necesita mucho menos material.
Fuentes. Texto autónomo. Las notas históricas se apoyan en fuentes secundarias enlazadas en la propia caja; los datos de espesor y autoría de Los Manantiales y del Oceanogràfic no se han contrastado con fuentes primarias. Para la teoría, resultados estándar de mecánica de láminas (Novozhilov 1959; Flügge 1972).
Qué queda pendiente.
Son las mismas que aparecen en el margen, junto al texto.
Flügge, W. 1972. Tensor Analysis and Continuum Mechanics. Springer-Verlag.
Novozhilov, V. V. 1959. The Theory of Thin Shells. P. Noordhoff ltd.