13 Bestiario de láminas: cilindro, esfera, cono y placa oblicua

Las superficies tipo, calculadas paso a paso, y el paraboloide hiperbólico como protagonista

Figura 13.1: Cinco superficies tipo que se usan como ejemplo a lo largo del libro, con el signo de su curvatura de Gauss \(K\): la placa oblicua, el cilindro y el cono son desarrollables (\(K=0\)), la esfera tiene \(K>0\) y el paraboloide hiperbólico \(K<0\).

Cómo son, con números, las superficies más sencillas con las que se comprueban las fórmulas, y en qué se diferencian

Objetivos y prerrequisitos

Objetivos. Al terminar el tema sabrás:

calcular \(a_{\alpha\beta}\), \(b_{\alpha\beta}\), \(K\), \(H\) y los símbolos de Christoffel de la placa oblicua, el cilindro, la esfera y el cono;
reconocer una superficie desarrollable (\(K=0\)) y desarrollarla en un plano;
usar estas superficies como banco de pruebas de cualquier fórmula nueva;
situar el paraboloide hiperbólico en esa familia.

Prerrequisitos. Curvaturas de una superficie, Geodésicas y compatibilidad.

Secciones del tema

Sección 13.1 · La placa oblicua · Sección 13.2 · La tabla de superficies tipo
Sección 13.3 · El cono y el desarrollo · Sección 13.4 · Práctica guiada

13.1 La placa oblicua: una superficie plana con coordenadas no ortogonales

La placa oblicua (un paralelogramo) es plana, pero sus coordenadas naturales forman un ángulo \(\varphi\). Es el mejor ejemplo de métrica no ortogonal y de base recíproca distinta de la covariante, justo lo que tendrá una lámina real (por ejemplo, el paraboloide).

Ejemplo 13.1 (Ejemplo resuelto: la placa oblicua paso a paso) Con \(\mathbf{r}=(\theta^1+\theta^2\cos\varphi,\ \theta^2\sin\varphi,\ 0)\): \[ \mathbf{a}_1=(1,0,0),\qquad \mathbf{a}_2=(\cos\varphi,\sin\varphi,0),\qquad a_{\alpha\beta}=\begin{pmatrix}1&\cos\varphi\\\cos\varphi&1\end{pmatrix},\qquad a=\sin^2\varphi . \] La inversa es \(a^{\alpha\beta}=\dfrac1{\sin^2\varphi}\begin{pmatrix}1&-\cos\varphi\\-\cos\varphi&1\end{pmatrix}\) y la base recíproca, \[ \mathbf{a}^1=\bigl(1,-\cot\varphi,0\bigr),\qquad \mathbf{a}^2=\Bigl(0,\frac1{\sin\varphi},0\Bigr), \] como se comprueba: \(\mathbf{a}^1\cdot\mathbf{a}_2=\cos\varphi-\cot\varphi\sin\varphi=0\) y \(\mathbf{a}^2\cdot\mathbf{a}_2=1\). La normal es \(\hat{\mathbf{a}}_3=(0,0,1)\) y \(b_{\alpha\beta}=0\), \(\bar\Gamma=0\): la placa es plana y su métrica, constante, aunque no sea la identidad. Para \(\varphi=60^\circ\) se recuperan los números del tema de bases (\(a_{12}=\tfrac12\), \(a=\tfrac34\)).

Dos puntos que suelen confundir

Plana no significa «cartesiana»: la placa oblicua es un plano (\(K=0\), \(b_{\alpha\beta}=0\)) y sin embargo \(a_{\alpha\beta}\neq\delta_{\alpha\beta}\) y \(\mathbf{a}^\alpha\neq\mathbf{a}_\alpha\).
Métrica no ortogonal no implica curvatura. La ortogonalidad es una propiedad de las coordenadas; la curvatura, de la superficie.

Pon a prueba lo anterior. Los ejercicios se corrigen en tu navegador y no envían nada a ningún sitio.

En la placa oblicua con \(\varphi=60^\circ\), ¿cuánto vale \(a^{12}\)?

\(a^{12}=-\cos\varphi/\sin^2\varphi\).

\(a^{12}=-0{,}5/0{,}75=-0{,}667\).

13.2 La tabla de superficies tipo

Estas cuatro superficies bastan para comprobar casi todas las fórmulas del bloque.

Superficie	Parametrización	\(a_{\alpha\beta}\)	\(b_{\alpha\beta}\)	\(K\)	\(H\)	\(\bar\Gamma\) no nulos
Placa oblicua	\((\theta^1+\theta^2\cos\varphi,\ \theta^2\sin\varphi,\ 0)\)	\(\begin{pmatrix}1&\cos\varphi\\\cos\varphi&1\end{pmatrix}\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)	ninguno
Cilindro radio \(R\)	\((R\cos\theta^1,R\sin\theta^1,\theta^2)\)	\(\operatorname{diag}(R^2,1)\)	\(\operatorname{diag}(-R,0)\)	\(0\)	\(-\dfrac1{2R}\)	ninguno
Esfera radio \(R\)	\(R(\sin\theta^1\cos\theta^2,\ \sin\theta^1\sin\theta^2,\ \cos\theta^1)\)	\(\operatorname{diag}(R^2,R^2\sin^2\theta^1)\)	\(-\dfrac1R\,a_{\alpha\beta}\)	\(\dfrac1{R^2}\)	\(-\dfrac1R\)	\(\Gamma^1_{22}=-\sin\theta^1\cos\theta^1\), \(\Gamma^2_{12}=\cot\theta^1\)
Cono semiángulo \(\alpha\)	\(t(\sin\alpha\cos\theta^1,\ \sin\alpha\sin\theta^1,\ \cos\alpha)\) con \(\theta^2=t\)	\(\operatorname{diag}(t^2\sin^2\alpha,1)\)	\(\operatorname{diag}(-t\sin\alpha\cos\alpha,0)\)	\(0\)	\(-\dfrac{\cot\alpha}{2t}\)	\(\Gamma^1_{12}=\dfrac1t\), \(\Gamma^2_{11}=-t\sin^2\alpha\)

La normal es \(\mathbf{a}_1\times\mathbf{a}_2/\|\cdot\|\) con el orden de coordenadas indicado (saliente en la esfera y el cilindro). Todas estas filas se comprueban con Geometria (conjunto de tests «Bestiario de láminas»). El paraboloide hiperbólico, con \(K<0\), está en su propio tema.

Idea clave

Con \(K\) y \(H\) se reconocen las superficies: plano (\(K=H=0\)), desarrollables (\(K=0\), \(H\neq0\): cilindro, cono), elípticas (\(K>0\): esfera), hiperbólicas (\(K<0\): silla). Esta clasificación determina cómo trabaja la lámina (bloques siguientes).

13.3 El cono y el desarrollo en un plano

Una superficie con \(K=0\) se puede desarrollar (aplanar sin estirar). Con el cono se ve de forma explícita:

Ejemplo 13.2 (Ejemplo resuelto: desarrollo del cono) La métrica del cono es \(ds^2=t^2\sin^2\alpha\,d\varphi^2+dt^2\). Compárala con el plano en polares, \(ds^2=dr^2+r^2d\psi^2\): coinciden con \(r=t\) y \(d\psi=\sin\alpha\,d\varphi\). El ángulo \(\varphi\) recorre \(2\pi\), luego el plano se recorre un ángulo \[ \Delta\psi=2\pi\sin\alpha : \] el cono se desarrolla en un sector circular de ángulo \(2\pi\sin\alpha\). Con \(\alpha=30^\circ\) (\(\sin\alpha=\tfrac12\)), el sector es un semicírculo (\(\pi\) rad). Esta transformación conserva longitudes y ángulos (es una isometría local), de ahí \(K=0\) (Theorema Egregium).

Pon a prueba lo anterior.

Un cono de semiángulo \(\alpha=30^\circ\) se desarrolla en un sector circular. ¿Cuántos radianes mide ese sector?

\(\Delta\psi=2\pi\sin30^\circ=\pi=3{,}1416\) rad (un semicírculo).

¿Cuál de estas superficies no se puede desarrollar sobre un plano sin estirarla?

El cilindro
El cono
La placa oblicua
La esfera

La esfera, porque \(K=1/R^2\neq0\) y la curvatura de Gauss es un invariante de las isometrías (Theorema Egregium).

Un poco de historia: las superficies desarrollables de Monge

Las superficies que se pueden aplanar sin estirarse, como el cilindro y el cono, las estudió Monge de forma sistemática: en 1771 presentó (y en 1785 publicó) un trabajo sobre curvas del espacio donde ya aparecen las superficies desarrollables, definidas por el comportamiento de sus planos tangentes, y las describió de dos maneras equivalentes: como la superficie barrida por una recta tangente a una curva (su arista de retroceso) o como la envolvente de una familia de planos. Su Application de l’analyse à la géométrie (1807) reúne esta obra.

Fuentes (secundarias): Gaspard Monge, Encyclopædia Universalis; Developable surfaces: their history and application, Middlesex Univ.. Consultado el 21-10-2026.

13.4 Práctica guiada en Julia

Ejemplo computacional

calculado Se reproduce la tabla de superficies tipo en un punto de cada una.

using Geometria, LinearAlgebra

R, α, φ = 1.8, 0.6, π / 3
casos = [("placa oblicua", placa_oblicua(φ), [0.4, 0.2]),
         ("cilindro", cilindro(R), [0.7, 0.4]),
         ("esfera", esfera(R), [1.0, 0.4]),
         ("cono", cono(α), [0.5, 2.0])]

[(nombre,
  a = round.(metrica_superficie(r, t); digits = 3),
  K = round(curvaturas_principales(metrica_superficie(r, t), segunda_forma(r, t)).K; digits = 5),
  H = round(curvaturas_principales(metrica_superficie(r, t), segunda_forma(r, t)).H; digits = 5))
 for (nombre, r, t) in casos]

4-element Vector{@NamedTuple{nombre::String, a::Matrix{Float64}, K::Float64, H::Float64}}:
 (nombre = "placa oblicua", a = [1.0 0.5; 0.5 1.0], K = 0.0, H = 0.0)
 (nombre = "cilindro", a = [3.24 0.0; 0.0 1.0], K = -0.0, H = -0.27778)
 (nombre = "esfera", a = [3.24 0.0; 0.0 2.294], K = 0.30864, H = -0.55556)
 (nombre = "cono", a = [1.275 -0.0; -0.0 1.0], K = 0.0, H = -0.36542)

# Base recíproca de la placa oblicua: a¹ = (1, −cot φ), a² = (0, 1/sen φ)
A = base_superficie(placa_oblicua(φ), [0.4, 0.2])[1:2, :]
Ar = base_reciproca(A)
(a1 = Ar[:, 1], esperado1 = [1, -cot(φ)], a2 = Ar[:, 2], esperado2 = [0, 1 / sin(φ)])

(a1 = [1.0000000000267555, -0.5773502692256691], esperado1 = [1.0, -0.577350269189626], a2 = [0.0, 1.1547005383872395], esperado2 = [0.0, 1.1547005383792517])

13.5 Ejercicios

Cono. Comprueba con Geometria que \(K=0\) y que \(H=-\cot\alpha/(2t)\) para el cono de semiángulo \(\alpha\) en un punto cualquiera.

NotaSolución

curvaturas_principales(metrica_superficie(cono(α), t), segunda_forma(cono(α), t)) da \(K\approx0\) y \(H\approx-\cos\alpha/(2t\sin\alpha)=-\cot\alpha/(2t)\).
Cilindro y plano. Demuestra que el cilindro y el plano son localmente isométricos y que, sin embargo, \(b_{\alpha\beta}\) no coincide.

NotaSolución

Con \(x=R\theta^1\), \(y=\theta^2\) la métrica del cilindro es \(dx^2+dy^2\), como la del plano. Pero \(b_{11}=-R\ne0\) mientras que \(b_{\alpha\beta}=0\) en el plano: la segunda forma no es intrínseca.
Esfera. Verifica la tabla de la esfera: \(b_{\alpha\beta}=-a_{\alpha\beta}/R\) y \(\Gamma^2_{12}=\cot\theta^1\) en \(\theta^1=1\).

NotaSolución

cristoffel_superficie(esfera(R), [1.0, 0.4])[2,1,2] \(=\cot1=0{,}642\) y segunda_forma(...) ≈ -metrica_superficie(...)/R.
Plana con otro ángulo. Repite el Ejemplo 13.1 para \(\varphi=45^\circ\) y calcula \(\mathbf{a}^1\) y \(\mathbf{a}^2\).

NotaSolución

\(\mathbf{a}^1=(1,-1,0)\) y \(\mathbf{a}^2=(0,\sqrt2,0)\).

La doy por superada si…

Calculo \(a_{\alpha\beta}\), \(b_{\alpha\beta}\), \(K\), \(H\) y \(\bar\Gamma\) de la placa oblicua, el cilindro, la esfera y el cono.
Reconozco las superficies desarrollables (\(K=0\)) y desarrollo el cono en un sector.
Sé por qué una métrica no ortogonal no implica curvatura.
Uso estas superficies como banco de pruebas de una fórmula nueva.

Fuentes, correcciones y qué queda pendiente

Fuentes. Texto autónomo, resultados estándar de geometría diferencial de superficies (Carmo 1994; Struik 1955; Lipschultz 1969; Costa et al. 1997). La tabla se verifica con Geometria (tests «Bestiario de láminas»).

Qué queda pendiente. Figura con revisión visual pendiente; nota histórica de fuentes secundarias; referencias no leídas línea a línea.

Costa, A. F., M. Gamboa, y A. M. Porto. 1997. Ejercicios de geometría diferencial de curvas y superficies. Sanz y Torres.

Lipschultz, M. 1969. Differential Geometry. Schaum’s Outlines.

Struik, D. J. 1955. Geometría Diferencial Clásica. Aguilar.

Carmo, M. do. 1994. Geometría diferencial de curvas y superficies. Alianza Universidad.

Referencias

Son las mismas que aparecen en el margen, junto al texto.