Curvatura normal y geodésica, el Theorema Egregium y las ecuaciones de Codazzi
curvaturas_curva y se verifica \(\kappa^2=\kappa_n^2+\kappa_g^2\).
Cuáles son las rectas de una superficie curva, y qué parte de la curvatura es del espacio y qué parte es de la propia superficie
Objetivos. Al terminar el tema sabrás:
Prerrequisitos. Curvaturas de una superficie y Formas fundamentales y fórmulas de Gauss–Weingarten.
Secciones del tema
Sea \(\mathbf{x}(s)\) una curva de la superficie parametrizada por longitud de arco, con tangente unitaria \(\mathbf{T}=\mathbf{x}'\). Su vector de curvatura es \(\mathbf{x}''=\kappa\,\mathbf{N}\), y puede descomponerse en la base \(\{\mathbf{T},\ \hat{\mathbf{a}}_3\times\mathbf{T},\ \hat{\mathbf{a}}_3\}\) (la segunda dirección es tangente a la superficie y perpendicular a la curva):
Definición 11.1 (Curvatura normal y curvatura geodésica) \[ \mathbf{x}''=\kappa_n\,\hat{\mathbf{a}}_3+\kappa_g\,(\hat{\mathbf{a}}_3\times\mathbf{T}),\qquad \kappa_n=\hat{\mathbf{a}}_3\cdot\mathbf{x}'',\quad \kappa_g=\hat{\mathbf{a}}_3\cdot(\mathbf{x}'\times\mathbf{x}''),\qquad \kappa^2=\kappa_n^2+\kappa_g^2 . \tag{11.1}\] \(\kappa_n\) es la curvatura normal (la del tema anterior, \(\kappa_n=b_{\alpha\beta}\lambda^\alpha\lambda^\beta\)) y \(\kappa_g\) la curvatura geodésica. Para una curva con parámetro cualquiera, \(\kappa_n=\hat{\mathbf{a}}_3\cdot\mathbf{x}''/|\mathbf{x}'|^2\) y \(\kappa_g=\hat{\mathbf{a}}_3\cdot(\mathbf{x}'\times\mathbf{x}'')/|\mathbf{x}'|^3\).
La curvatura normal depende de cómo está la superficie en el espacio. La geodésica, en cambio, se puede medir sin salir de la superficie: es lo que se curva la curva «vista desde dentro» (se cuenta cuánto gira respecto de la dirección «recta» de la superficie).
Ejemplo 11.1 (Ejemplo resuelto: el paralelo de una esfera) Sobre la esfera de radio \(\rho\) (normal saliente), el paralelo de colatitud \(\theta_0\) es una circunferencia de radio \(\rho\sin\theta_0\), de modo que su curvatura es \(\kappa=1/(\rho\sin\theta_0)\). Su vector de curvatura apunta al eje de la circunferencia. Su componente normal es \[ \kappa_n=\hat{\mathbf{a}}_3\cdot\mathbf{x}''=-\frac{\sin\theta_0}{\rho\sin\theta_0}=-\frac1\rho , \] y la geodésica, por Pitágoras, \[ |\kappa_g|=\sqrt{\kappa^2-\kappa_n^2}=\frac1\rho\sqrt{\frac1{\sin^2\theta_0}-1}=\frac{|\cot\theta_0|}{\rho} . \] Con \(\rho=1\) y \(\theta_0=1\) rad, \(|\kappa_g|=\cot1=0{,}642\). En el ecuador (\(\theta_0=\pi/2\)), \(\kappa_g=0\): es una geodésica. Un paralelo cerca del polo, en cambio, tiene \(|\kappa_g|\) enorme: se curva mucho «dentro de la esfera».
Pon a prueba lo anterior. Los ejercicios se corrigen en tu navegador y no envían nada a ningún sitio.
En una esfera de radio \(1\), ¿cuánto vale \(|\kappa_g|\) del paralelo de colatitud \(\theta_0=1\) rad?
\(|\kappa_g|=|\cot\theta_0|/\rho=\cot1=0{,}642\).
El ecuador de una esfera es una geodésica.
Verdadero. Su vector de curvatura apunta al centro de la esfera, es decir, es normal a la superficie: \(\kappa_g=0\).
Definición 11.2 (Geodésica) Una curva de la superficie es una geodésica si su curvatura geodésica es nula en todos sus puntos: \(\kappa_g=0\). Equivale a que \(\mathbf{x}''\) sea normal a la superficie, o a que se cumpla \[ \frac{d^2\theta^\gamma}{ds^2}+\bar\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}\,\frac{d\theta^\alpha}{ds}\frac{d\theta^\beta}{ds}=0,\qquad\gamma=1,2 . \tag{11.2}\]
Con la fórmula de Gauss, la parte tangente de \(\mathbf{x}''=\dfrac{d}{ds}(\mathbf{a}_\alpha\dot\theta^\alpha)\) es \(\bigl(\ddot\theta^\gamma+\bar\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}\dot\theta^\alpha\dot\theta^\beta\bigr)\mathbf{a}_\gamma\) y la normal es \(b_{\alpha\beta}\dot\theta^\alpha\dot\theta^\beta\,\hat{\mathbf{a}}_3\). La condición \(\kappa_g=0\) equivale a que la parte tangente sea nula, que es ecuación 11.2. \(\blacksquare\)
Dos consecuencias importantes:
| Superficie | Geodésicas |
|---|---|
| Plano | rectas |
| Cilindro | hélices (y generatrices y circunferencias horizontales) |
| Esfera | círculos máximos |
| Cono | rectas al desarrollarlo sobre el plano |
Pon a prueba lo anterior.
Una geodésica es siempre el camino más corto entre dos puntos de la superficie.
Falso. Es el más corto solo localmente. En la esfera, el arco largo de un círculo máximo es geodésica pero no es el más corto entre sus extremos.
La curvatura de Gauss \(K=\kappa_1\kappa_2=\det(b_{\alpha\beta})/\det(a_{\alpha\beta})\) se define con la segunda forma fundamental, que depende de cómo está la superficie en el espacio. Sin embargo:
Teorema 11.1 (Theorema Egregium (Gauss)) La curvatura de Gauss \(K\) depende solo de la primera forma fundamental \(a_{\alpha\beta}\) y de sus derivadas: es una propiedad intrínseca. En particular, no cambia al doblar (sin estirar) la superficie.
Para una superficie con métrica ortogonal (\(a_{12}=0\), \(E=a_{11}\), \(G=a_{22}\)), \[ K=-\frac1{2\sqrt{EG}}\left[\frac{\partial}{\partial\theta^1}\!\left(\frac{G_{,1}}{\sqrt{EG}}\right)+\frac{\partial}{\partial\theta^2}\!\left(\frac{E_{,2}}{\sqrt{EG}}\right)\right] . \tag{11.3}\] En el caso general se usa la fórmula de Brioschi, que solo contiene \(E,F,G\) y sus derivadas primeras y segundas.
La demostración se apoya en las ecuaciones de Gauss de la sección siguiente. La fórmula general está implementada en Geometria (curvatura_gauss_brioschi) y se comprueba numéricamente contra \(\det(b)/\det(a)\) en la práctica.
Ejemplo 11.2 (Ejemplo resuelto: \(K\) de la esfera solo con la métrica) Con \((\theta^1,\theta^2)=(\theta,\varphi)\) y la métrica \(E=\rho^2\), \(G=\rho^2\sin^2\theta\) (ortogonal), \(\sqrt{EG}=\rho^2\sin\theta\). Entonces \(G_{,1}=2\rho^2\sin\theta\cos\theta\), \(G_{,1}/\sqrt{EG}=2\cos\theta\), \(\partial_\theta(2\cos\theta)=-2\sin\theta\), y \(E_{,2}=0\). Por ecuación 11.3, \[ K=-\frac1{2\rho^2\sin\theta}\,(-2\sin\theta)=\frac1{\rho^2}, \] exactamente el valor que da \(\det(b)/\det(a)\): sin usar la segunda forma.
Un plano y un cilindro tienen \(K=0\) y la misma métrica local: se pueden desarrollar uno sobre otro sin estirar (un papel enrollado). Una esfera tiene \(K>0\): no hay forma de aplanarla sin deformar las longitudes, por eso todo mapa del mundo distorsiona. Para las láminas, esto significa que una forma de doble curvatura (\(K\neq0\)) no puede cambiar de forma sin estirarse (esfuerzos de membrana), mientras que las de \(K=0\) pueden doblarse libremente.
Pon a prueba lo anterior.
¿Qué afirma el Theorema Egregium?
\(K\) es intrínseca: depende solo de \(a_{\alpha\beta}\) y de sus derivadas, y no cambia al doblar sin estirar. La curvatura normal, en cambio, no es intrínseca.
No se pueden elegir \(a_{\alpha\beta}\) y \(b_{\alpha\beta}\) arbitrariamente: para que exista una superficie con esas formas fundamentales, deben cumplir condiciones de compatibilidad, que salen de exigir que las derivadas cruzadas de las fórmulas de Gauss y de Weingarten coincidan (\(\partial_\gamma\partial_\beta\mathbf{a}_\alpha=\partial_\beta\partial_\gamma\mathbf{a}_\alpha\)).
Proposición 11.1 (Ecuaciones de Gauss y de Codazzi–Mainardi)
Estas ecuaciones son el análogo geométrico de las condiciones de compatibilidad de las deformaciones de un sólido; reaparecerán en el bloque de elasticidad al plantear las deformaciones de una lámina.
Se parte de \(\partial_\gamma(\mathbf{a}_{\alpha,\beta})=\partial_\beta(\mathbf{a}_{\alpha,\gamma})\) con ecuación 9.3: sustituyendo \(\mathbf{a}_{\alpha,\beta}=\bar\Gamma^\mu_{\alpha\beta}\mathbf{a}_\mu+b_{\alpha\beta}\hat{\mathbf{a}}_3\) y derivando con ecuación 9.3 y ecuación 9.4, la parte normal de la igualdad da ecuación 11.4 y la parte tangente da la ecuación de Gauss. El teorema recíproco de Bonnet es un resultado de existencia para sistemas de ecuaciones en derivadas parciales (Frobenius) que no se demuestra aquí (Carmo 1994; Struik 1955). \(\square\)
Pon a prueba lo anterior.
Se pueden elegir \(a_{\alpha\beta}\) y \(b_{\alpha\beta}\) arbitrarios (simétricos y con \(a\) definida positiva) y siempre existe una superficie con esas formas fundamentales.
Falso. Hacen falta las condiciones de compatibilidad de Gauss y de Codazzi–Mainardi.
calculado Se calculan \(\kappa_n\), \(\kappa_g\) del paralelo de una esfera, se integra una geodésica y se comprueban el Theorema Egregium y las ecuaciones de Codazzi.
using Geometria, LinearAlgebra
ρ, θ0 = 1.0, 1.0
κ, κn, κg = curvaturas_curva(esfera(ρ), t -> [θ0, t], 0.7) # paralelo
(κ = κ, κn = κn, abs_κg = abs(κg), cot = cot(θ0) / ρ, pitagoras = κ^2 ≈ κn^2 + κg^2)(κ = 1.1883951307419116, κn = -1.0000000209836275, abs_κg = 0.6420926294576423, cot = 0.6420926159343306, pitagoras = true)# Una geodésica de la esfera: integra θ̈ᵞ = −Γᵞαβ θ̇ᵅ θ̇ᵝ y comprueba que es un círculo máximo
S = esfera(1.0)
θs, vs = geodesica(S, [π / 2, 0.0], [0.3, 0.7]; T = 2.0, n = 200)
rapidez(θ, v) = sqrt(v' * metrica_superficie(S, θ) * v)
P = hcat([S(θs[:, k]) for k in 1:size(θs, 2)]...)
(rapidez_inicial = rapidez(θs[:, 1], vs[:, 1]), rapidez_final = rapidez(θs[:, end], vs[:, end]),
en_un_plano_por_el_origen = abs(det(hcat(P[:, 1], P[:, 100], P[:, 200]))) < 1e-5)(rapidez_inicial = 0.761577310576542, rapidez_final = 0.7615773098498967, en_un_plano_por_el_origen = true)# Theorema Egregium: K desde la métrica (Brioschi) = det(b)/det(a); y Codazzi
casos = [("esfera", esfera(1.5), [1.1, 0.4]), ("cilindro", cilindro(1.5), [0.3, 0.2]),
("hypar", paraboloide_curvo(3.0, -2.0), [0.7, -0.4])]
[(nombre, K_brioschi = round(curvatura_gauss_brioschi(r, t); digits = 5),
K_formas = round(det(segunda_forma(r, t)) / det(metrica_superficie(r, t)); digits = 5),
Codazzi = round.(codazzi(r, t); digits = 6)) for (nombre, r, t) in casos]3-element Vector{@NamedTuple{nombre::String, K_brioschi::Float64, K_formas::Float64, Codazzi::Tuple{Float64, Float64}}}:
(nombre = "esfera", K_brioschi = 0.44449, K_formas = 0.44444, Codazzi = (-9.0e-5, 2.7e-5))
(nombre = "cilindro", K_brioschi = 0.0, K_formas = -0.0, Codazzi = (0.0, 0.0))
(nombre = "hypar", K_brioschi = -0.13914, K_formas = -0.13914, Codazzi = (0.0, 0.0))Las mismas identidades están en julia/test/runtests.jl (conjunto «Superficies tipo, curvas y Theorema Egregium»).
Cilindro. Demuestra que las hélices \(\theta^1=\omega s\), \(\theta^2=\beta s\) son geodésicas del cilindro (sin cálculo, usando el desarrollo en un plano) y verifica ecuación 11.2 con los \(\bar\Gamma\) del cilindro.
La métrica es constante (todos los \(\bar\Gamma=0\)) y ecuación 11.2 queda \(\ddot\theta^\gamma=0\): \(\theta^\gamma\) lineales en \(s\), que son las hélices (y generatrices y circunferencias horizontales como casos particulares).
Latitud. ¿A qué latitud (colatitud \(\theta_0\)) tiene el paralelo de una esfera \(|\kappa_g|=1/\rho\)?
\(|\cot\theta_0|=1\) da \(\theta_0=45^\circ\) (o \(135^\circ\)).
Egregium en el cono. Calcula \(K\) de un cono solo con su métrica, \(E=1\), \(G=t^2\sin^2\alpha\) (\(t\) distancia al vértice).
Con \(\theta^1=t\), \(\theta^2=\varphi\) y \(\sqrt{EG}=t\sin\alpha\): \(G_{,1}/\sqrt{EG}=2\sin\alpha\) (constante), su derivada es cero y \(E_{,2}=0\): \(K=0\).
Con Julia. Integra con geodesica una geodésica en el paraboloide hiperbólico desde \((0{,}2;\,0)\) con velocidad \((1;\,0{,}5)\) y comprueba que \(\kappa_g\approx0\) en varios puntos con curvaturas_curva.
Con θs, vs = geodesica(paraboloide_curvo(3.0,-2.0), [0.2,0.0], [1.0,0.5]; T=1.0, n=200), las posiciones X(k) = r(θs[:, k]) y diferencias centradas en el paso h = 1/200 para \(\mathbf{x}'\) y \(\mathbf{x}''\), se obtiene \(|\kappa_g|=\hat{\mathbf{a}}_3\cdot(\mathbf{x}'\times\mathbf{x}'')/|\mathbf{x}'|^3\approx10^{-7}\) en \(k=50,100,150\) (error de la integración).
Fuentes. Texto autónomo, resultados estándar (Carmo 1994; Struik 1955; Lipschultz 1969; Weatherburn 1927). Las curvaturas de curvas, las geodésicas, el Theorema Egregium (Brioschi) y Codazzi se verifican con Geometria.
Qué queda pendiente. El enunciado completo de la fórmula de Brioschi no se transcribe (solo el caso ortogonal); la demostración del teorema de Bonnet y la de Gauss–Codazzi se esbozan; figuras y notas históricas con revisión pendiente; referencias no leídas línea a línea.
Son las mismas que aparecen en el margen, junto al texto.
Carmo, M. do. 1994. Geometría diferencial de curvas y superficies. Alianza Universidad.
Lipschultz, M. 1969. Differential Geometry. Schaum’s Outlines.
Struik, D. J. 1955. Geometría Diferencial Clásica. Aguilar.
Weatherburn, C. E. 1927. Differential Geometry. Cambridge Press.