Vector frente a componentes, invariantes y un repaso mínimo de álgebra y cálculo
Si dos observadores miden el mismo vector con ejes distintos y obtienen números distintos, qué es lo que realmente tiene el vector
Objetivos. Al terminar el tema sabrás:
Prerrequisitos. La cáscara y el paraboloide hiperbólico. Matemáticas de primer ciclo universitario.
Secciones del tema
Cuando decimos «la fuerza vale \((3,4)\) N», esos dos números son las componentes de la fuerza respecto a unos ejes elegidos. Si otro observador gira sus ejes \(\alpha=30^\circ\), la misma fuerza tendrá otras componentes. Lo que no cambia es la flecha: su módulo, su dirección y su sentido en el espacio.
Ejemplo 2.1 (Ejemplo resuelto: giro de ejes) Sea \(\mathbf{V}=(3,4)\) en los ejes \((x,y)\) y sean \((x',y')\) otros ejes cartesianos girados \(\alpha=30^\circ\) en sentido antihorario. Los vectores unitarios de los nuevos ejes, en las coordenadas antiguas, son \(\mathbf{e}'_1=(\cos\alpha,\sin\alpha)\) y \(\mathbf{e}'_2=(-\sin\alpha,\cos\alpha)\). Las nuevas componentes son las proyecciones: \[ V'_x=\mathbf{V}\cdot\mathbf{e}'_1=3\cos30^\circ+4\sin30^\circ\approx4{,}598,\qquad V'_y=\mathbf{V}\cdot\mathbf{e}'_2=-3\sin30^\circ+4\cos30^\circ\approx1{,}964 . \] Qué cambia y qué no. Las componentes cambiaron, pero la longitud es la misma: \[ \sqrt{V'^2_x+V'^2_y}=\sqrt{4{,}598^2+1{,}964^2}=\sqrt{25}=5=\sqrt{3^2+4^2}. \] Y el vector se reconstruye desde cualquiera de las dos listas: \(V'_x\mathbf{e}'_1+V'_y\mathbf{e}'_2=(3,4)\).
La Figura 2.1 lo muestra: las proyecciones grises dan \((3,4)\) y las naranjas \((4{,}598;\,1{,}964)\) sobre la misma flecha violeta.
Un vector es un objeto geométrico; sus componentes son su descripción en una base. Mientras los ejes sean cartesianos y ortonormales, las componentes se transforman con una matriz de giro. En el resto del libro los ejes no serán ortonormales ni constantes, y la regla será la ley de transformación del tema siguiente.
Pon a prueba lo anterior. Los ejercicios se corrigen en tu navegador y no envían nada a ningún sitio.
Con los datos del Ejemplo 2.1, ¿cuánto vale la componente \(V'_x\) en los ejes girados \(30^\circ\)?
\(V'_x=3\cos30^\circ+4\sin30^\circ=2{,}598+2=4{,}598\).
¿Cuánto mide el vector \(\mathbf{V}=(3,4)\) y cuánto medirá en cualquier otro sistema cartesiano?
\(\|\mathbf{V}\|=\sqrt{3^2+4^2}=5\), y es el mismo en todos los sistemas cartesianos (la longitud es invariante).
Al girar los ejes, el vector cambia porque sus componentes cambian.
Falso. Cambian las componentes (la descripción), no el vector. Su módulo y su dirección en el espacio son los mismos.
Algunas cantidades sí son iguales para todos los observadores. Son las que tienen significado físico propio:
| Cantidad | Fórmula en componentes | Por qué es invariante |
|---|---|---|
| Longitud de un vector | \(\sqrt{V_xV_x+V_yV_y}\) | es la longitud de la flecha |
| Producto escalar | \(\mathbf{V}\cdot\mathbf{W}=V_xW_x+V_yW_y\) | \(\|\mathbf{V}\|\|\mathbf{W}\|\cos\varphi\) |
| Trabajo | \(W=\mathbf{F}\cdot\mathbf{d}\) | es una energía |
| Energía cinética | \(\tfrac12m\,\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}\) | es una energía |
Un chequeo muy útil: toda fórmula física tiene que dar el mismo resultado en cualquier sistema. Si un resultado cambia al girar los ejes, o la fórmula está mal, o lo que se calculó no era un invariante.
using LinearAlgebra
giro(α) = [cos(α) sin(α); -sin(α) cos(α)] # componentes nuevas = giro(α) * componentes viejas
V, W = [3.0, 4.0], [-1.0, 2.0]
R = giro(π / 6)
(Vp = R * V, # (4.598, 1.964)
norma_igual = norm(R * V) ≈ norm(V),
escalar_igual = dot(R * V, R * W) ≈ dot(V, W),
R_ortogonal = R' * R ≈ I)(Vp = [4.598076211353316, 1.964101615137755], norma_igual = true, escalar_igual = true, R_ortogonal = true)calculado La matriz de giro \(R\) es ortogonal (\(R^{\mathsf T}R=I\)): por eso conserva longitudes y productos escalares. En el tema siguiente veremos qué cambia cuando los ejes dejan de ser ortonormales.
Una ecuación como \(\mathbf{F}=m\,\mathbf{a}\) no menciona ejes: dice que dos vectores son iguales. Al escribirla en componentes, \(F_x=ma_x\), \(F_y=ma_y\), la forma se conserva si se giran los ejes, porque los dos miembros se transforman igual. En cambio, la «ecuación» \(F_x=m\,a_y\) no es una ley física: es cierta en unos ejes y falsa en otros.
Pon a prueba lo anterior.
¿Cuál de estas igualdades puede ser una ley física válida en cualquier sistema cartesiano?
La primera: iguala cada componente con la correspondiente, y las dos listas se transforman igual. Las demás dependen de la elección de ejes (o solo valen en ejes concretos).
Cinco herramientas que usa todo el libro. Si te son familiares, salta a las preguntas finales.
\(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=\sum_iu_iv_i=\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|\cos\varphi\). Vale cero si y solo si los vectores son perpendiculares. La longitud al cuadrado es \(\mathbf{u}\cdot\mathbf{u}\).
En el plano, \(\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc\) es el área orientada del paralelogramo de lados \((a,c)\) y \((b,d)\). Si es cero, los vectores son paralelos.
\(\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^{-1}=\dfrac1{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\). Se usará para pasar de \(g_{ij}\) a \(g^{ij}\).
Si \(\mathbf{r}\) depende de \(\theta^j\) y cada \(\theta^j\) de \(\theta'^i\), entonces \(\dfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial\theta'^i}=\dfrac{\partial\theta^j}{\partial\theta'^i}\dfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial\theta^j}\) (suma sobre \(j\)). Es la base de las leyes de transformación.
Un índice repetido en un mismo término, una vez arriba y otra abajo, indica suma: \(V^ig_i=\sum_iV^ig_i\). El índice de arriba no es un exponente.
Pon a prueba lo anterior.
Calcula \(\det\begin{pmatrix}1&0{,}5\\0{,}5&1\end{pmatrix}\).
\(1\cdot1-0{,}5\cdot0{,}5=0{,}75\). (Es la matriz métrica de una base oblicua a \(60^\circ\) que aparecerá en el tema siguiente.)
Giro de \(90^\circ\). Calcula las componentes de \(\mathbf{V}=(3,4)\) en unos ejes girados \(90^\circ\) y comprueba que la longitud es \(5\).
Con \(\alpha=90^\circ\): \(V'_x=3\cos90^\circ+4\sin90^\circ=4\) y \(V'_y=-3\sin90^\circ+4\cos90^\circ=-3\), de longitud \(\sqrt{16+9}=5\).
Ortogonalidad. Comprueba que la matriz de giro \(R\) del ejemplo verifica \(R^{\mathsf T}R=I\) y deduce que \(R\) conserva el producto escalar.
\((R\mathbf{u})\cdot(R\mathbf{v})=\mathbf{u}^{\mathsf T}R^{\mathsf T}R\,\mathbf{v}=\mathbf{u}^{\mathsf T}\mathbf{v}\).
Detectar un error. Un compañero afirma que la «norma» \(\sqrt{V_x+V_y}\) es invariante. Pruébalo con \(\mathbf{V}=(3,4)\) y un giro de \(30^\circ\).
\(\sqrt{3+4}=2{,}646\) pero \(\sqrt{4{,}598+1{,}964}=2{,}562\): no es invariante. La suma de cuadrados sí lo es.
Fuentes. Texto autónomo, resultados estándar de álgebra lineal y mecánica (Spiegel 1959; Heinbockel 1996). El ejemplo del giro se ha calculado y comprobado con Julia (scripts/verificar_ejercicios.jl y la figura de portada, que verifica la invariancia de la norma antes de dibujar).
Qué queda pendiente. Revisión visual de la figura; nota histórica con fuentes secundarias; referencias no leídas línea a línea.
Son las mismas que aparecen en el margen, junto al texto.
Heinbockel, J. H. 1996. Introduction to Tensor Calculus and Continuum Mechanics. Department of Mathematics; Statistics, Old Dominion University.
Spiegel, M. R. 1959. Vector Analysis and an Introduction to Tensor Analysis. Schaum’s Outlines.