32  Validación estática (II): el cilindro

Cilindro a presión, techo de Scordelis–Lo y cilindro pinzado: los benchmarks clásicos de láminas curvas

Un cuarto de un techo cilíndrico alargado visto en perspectiva, con una malla de elementos y el borde libre coloreado en azul oscuro por ser donde mayor es el descenso
Figura 32.1: Un cuarto del techo cilíndrico de Scordelis–Lo deformado bajo su peso propio, coloreado por el desplazamiento vertical (azul: hacia abajo). El borde libre (en primer plano) es el que más baja. Cálculo calculado, con \(14\times14\) elementos y deformada exagerada.

Qué problemas se resuelven siempre antes de fiarse de un elemento de lámina curva, y qué resultado debe dar

Objetivos y prerrequisitos

Objetivos. Al terminar el tema sabrás:

  • comprobar un cilindro a presión con la solución de membrana (analítica);
  • plantear el techo de Scordelis–Lo y el cilindro pinzado con sus apoyos y simetrías;
  • explicar por qué se modela un cuarto o un octavo y qué condición pone cada plano de simetría;
  • comparar el resultado con la referencia de la literatura y medir el error con la malla;
  • reconocer el bloqueo de membrana en el resultado de la formulación de desplazamientos.

Prerrequisitos. F1 y E9 (condiciones de contorno).

Secciones del tema

NotaNotación y convenciones de este tema
Símbolo Significado
\(r(\theta^1,\theta^2)=(x,\ R\sin\varphi,\ R\cos\varphi)\) cilindro de eje \(x\), con \(\theta^1=x\) y \(\theta^2=\varphi\) (normal exterior)
\(R,\ L,\ t\) radio, longitud y espesor
diafragma extremo que impide los desplazamientos en su plano (\(u_2=u_3=0\)) pero deja libre el axial
simetría en \(x=L/2\) \(u_1=0\), \(\varphi_1=0\)
simetría en \(\varphi=\text{cte}\) \(u_2=0\), \(\varphi_2=0\)
NotaExplicación para ingenieros: ¿por qué un cuarto o un octavo?

Un techo con peso simétrico se comporta igual a la izquierda que a la derecha, y por delante que por detrás. Cortarlo por los planos de simetría y calcular sólo un cuarto da el mismo resultado con una cuarta parte del trabajo, siempre que en cada plano de corte se impida lo que la mitad ausente impediría: no se puede cruzar el plano (desplazamiento perpendicular nulo) ni girar la sección (giro nulo alrededor de la normal al plano). Si se olvida un giro, el modelo del cuarto es más flexible que el entero y la flecha sale mayor.

32.1 Cilindro a presión

Un cilindro largo, con el desplazamiento axial impedido (\(\varepsilon_x=0\)) y presión interior \(p\), tiene una solución de membrana sencilla: la tensión de aro \(N_\varphi=pR\) produce \(\varepsilon_\varphi=u_3/R\) y, con \(N_\varphi=Et\,\varepsilon_\varphi/(1-\nu^2)\),

\[ u_3=\frac{p\,R^2\,(1-\nu^2)}{E\,t}. \tag{32.1}\]

Ejemplo 32.1 (Ejemplo resuelto: tubo de acero a presión) Tubo de acero (\(E=210\) GPa, \(\nu=0{,}3\)) con \(R=500\) mm, \(t=5\) mm y \(p=0{,}5\) MPa. Con ecuación 32.1: \[ u_3=\frac{0{,}5\cdot500^2\cdot0{,}91}{210\,000\cdot5}=\frac{113\,750}{1\,050\,000}=\mathbf{0{,}1083}\ \text{mm}. \] Es una prueba de sólo membrana: no depende de la flexión y la debe reproducir cualquier elemento correcto (la práctica la comprueba con un error relativo de \(10^{-5}\)). Resultado analítico.

En el Ejemplo 32.1, ¿cuánto se hincha el radio del tubo (\(u_3\))?

\(u_3=pR^2(1-\nu^2)/(Et)=0{,}5\cdot250\,000\cdot0{,}91/(210\,000\cdot5)=0{,}1083\) mm.

32.2 El techo de Scordelis–Lo

Definición 32.1 (Techo de Scordelis–Lo) Cubierta cilíndrica de radio \(R=25\), longitud \(L=50\), espesor \(t=0{,}25\), abertura \(2\cdot40^\circ\), con \(E=4{,}32\cdot10^8\), \(\nu=0\), bajo peso propio \(q=90\) por unidad de superficie (hacia abajo). Los dos extremos curvos tienen diafragma y los bordes longitudinales están libres.

El valor de referencia es el desplazamiento vertical del punto medio del borde libre: \(0{,}3024\), la cifra de uso general que proviene del conjunto de problemas de MacNeal y Harder (MacNeal y Harder 1985); la solución original de Scordelis y Lo es \(0{,}3086\), y otros trabajos dan \(0{,}3006\). Se modela un cuarto: \(x\in[0,L/2]\) y \(\varphi\in[0,40^\circ]\), con diafragma en \(x=0\), simetría en \(x=L/2\) y simetría en \(\varphi=0\).

\(n\) (elementos/lado) 4 8 16 32
Subdominios 0,2690 0,2925 0,2988 0,3006
Cociente respecto de 0,3024 0,889 0,967 0,988 0,994

Calculado con este elemento. El error baja del 11 % al 0,6 %.

AdvertenciaTres referencias distintas

Hay tres valores en circulación: \(0{,}3024\) (el más usado, de MacNeal–Harder), \(0{,}3086\) (el de Scordelis y Lo) y \(0{,}3006\) (otros trabajos). La diferencia (2 %) es de la misma magnitud que el error de un elemento de cuatro nodos con malla media: conviene declarar con qué referencia se compara. Aquí se usa \(0{,}3024\) y se ve que el resultado converge entre las tres.

32.3 El cilindro pinzado

Definición 32.2 (Cilindro pinzado con diafragmas) Cilindro de \(R=300\), \(L=600\), \(t=3\), \(E=3\cdot10^6\), \(\nu=0{,}3\), con diafragmas en los extremos y dos cargas puntuales radiales opuestas \(P=1\) en el plano central. El valor de referencia es el desplazamiento radial bajo la carga: \(1{,}8248\cdot10^{-5}\).

Es un problema muy exigente: la carga puntual crea una concentración de flexión y la lámina trabaja casi sin estirarse (inextensional), de modo que el bloqueo de membrana se nota enseguida. Se modela un octavo (\(x\in[0,L/2]\), \(\varphi\in[0,90^\circ]\)), con diafragma en \(x=0\), simetría en \(x=L/2\) y en \(\varphi=0\) y \(\varphi=90^\circ\), y la carga \(P/4\) en el vértice.

Un octavo de un tubo en perspectiva con una malla de elementos y un hundimiento en la esquina cercana al centro, coloreado en azul
Figura 32.2: Un octavo del cilindro pinzado con \(14\times14\) elementos: la carga puntual está en la esquina donde la lámina se hunde (azul). El diafragma impide el movimiento en el extremo del tubo. Deformada exagerada. Cálculo calculado.
\(n\) (elementos/lado) 4 8 16 32
Subdominios (\(\times10^{-5}\)) 1,680 1,740 1,808 1,833
Cociente respecto de \(1{,}8248\cdot10^{-5}\) 0,920 0,953 0,991 1,005

Con \(32\times32\) el resultado pasa ligeramente de la referencia (+0,5 %): es normal en elementos de cuatro nodos y no es un error, sino una convergencia no monótona.

Cuatro curvas de convergencia en escala logarítmica: dos continuas próximas a uno y dos discontinuas muy por debajo, subiendo despacio
Figura 32.3: Valor calculado dividido por la referencia (0,3024 en Scordelis–Lo; \(1{,}8248\cdot10^{-5}\) en el pinzado) frente al número de elementos por lado. Los subdominios (continua) llegan al 100 %; los desplazamientos puros (discontinua), no: con \(32\times32\) elementos aún quedan en el 47 % (Scordelis–Lo) y el 30 % (pinzado). Cálculo calculado.

32.4 Cómo leer los resultados

  • La formulación de desplazamientos puros da, con \(8\times8\), el 12 % (Scordelis–Lo) y el 6 % (pinzado) de la referencia: el bloqueo de membrana y de cortante del tema E5, a plena vista.
  • La integración reducida selectiva (reducción del cortante a un punto) con \(8\times8\) da el 22 % y el 35 %: no basta en láminas curvas y además introduce modos espurios.
  • Los subdominios llegan al 97 % y 95 % con \(8\times8\) y al 100 % con mallas finas.

En el cuarto de techo de Scordelis–Lo, en el plano de simetría \(x=L/2\), ¿qué g.d.l. se fijan?

  • \(u_2\) y \(u_3\) (el movimiento en el plano de la sección)
  • \(u_3\) y \(\varphi_2\)
  • \(u_1\) y \(\varphi_1\)
  • Ninguno: es un borde libre

En un plano de simetría \(x=\text{cte}\) el desplazamiento perpendicular al plano (\(u_1\), axial) y el giro alrededor de la normal al plano de corte (\(\varphi_1\)) son nulos. Los de un diafragma (\(u_2,u_3\)) se fijan en el extremo \(x=0\), no en el plano de simetría.

TipAplicación real: cubiertas en bóveda, tuberías y vasos sanguíneos

ilustrativo Obra civil. El techo de Scordelis–Lo es una bóveda cilíndrica de hormigón de las que se usaron mucho en naves; el cilindro pinzado es un tubo (conducto, tubería o depósito) al que se aplica una carga concentrada, como un apoyo mal repartido o un golpe. Biomecánica. La pared de arterias y venas se modela como un cilindro de pared delgada; un pinzamiento localizado recuerda la compresión de un vaso por una estructura vecina o por una pinza quirúrgica. Idea de aplicación sin fuente verificada: es una orientación, no una cita.

32.5 Un poco de historia

NotaUn poco de historia: el conjunto de problemas de MacNeal y Harder

En 1985 Richard MacNeal y Robert Harder publicaron A proposed standard set of problems to test finite element accuracy, un conjunto de problemas con solución conocida pensado para comparar elementos, entre ellos el techo de Scordelis–Lo, el cilindro pinzado y la semiesfera con agujeros. Desde entonces es la batería obligada de cualquier elemento de lámina. El valor \(0{,}3024\) del Scordelis–Lo es el que figura en ese conjunto, aunque la solución analítica original de Scordelis y Lo (1964) era \(0{,}3086\); el valor \(1{,}8248\cdot10^{-5}\) del cilindro pinzado se atribuye a la línea de trabajo de Belytschko.

Fuentes (secundarias): OS-V: 0730 Scordelis-Lo Roof (Altair); Benchmark Example No. 41 Linear Pinched Cylinder (SOFiSTiK); (MacNeal y Harder 1985). El original de MacNeal y Harder no se leyó; la atribución a Belytschko procede de un resumen de búsqueda. Consultado el 23-10-2026.

32.6 Práctica guiada en Julia

TipEjemplo computacional

calculado (1) El tubo a presión del Ejemplo 32.1. (2) El techo de Scordelis–Lo y el cilindro pinzado con las tres formulaciones y comparación con las referencias.

using Geometria, LinearAlgebra

cil_x(R) = θ -> [θ[1], R * sin(θ[2]), R * cos(θ[2])]
nodo_en(nodos, p) = argmin([norm(nodos[:, k] .- p) for k in 1:size(nodos, 2)])

# (1) Tubo a presión (un cuarto de sección, u₁ = 0, simetrías en φ = 0 y π/2)
function presion(n; E = 210e3, ν = 0.3, R = 500.0, t = 5.0, p = 0.5)
    r = cil_x(R); nodos, conn = malla_rectangular((0, 100.0), (0, π / 2), 2, n)
    f = θ -> p .* [0, sin(θ[2]), cos(θ[2])]                              # presión hacia fuera: p·n̂
    K, _, F = ensamblar(r, nodos, conn, E, ν, t; f)
    fij = Int[]
    for k in 1:size(nodos, 2)
        _, φ = nodos[:, k]; append!(fij, [gdl(k, 1), gdl(k, 4)])
        (φ ≈ 0 || φ ≈ π / 2) && append!(fij, [gdl(k, 2), gdl(k, 5)])
    end
    u = resolver_estatica(K, F, unique(fij))
    u[gdl(nodo_en(nodos, [50.0, π / 4]), 3)]
end
(u3_FE = presion(8), u3_teoría = 0.5 * 500.0^2 * (1 - 0.3^2) / (210e3 * 5.0))
(u3_FE = 0.10833215598052337, u3_teoría = 0.10833333333333334)
# (2) Scordelis–Lo (un cuarto) y cilindro pinzado (un octavo)
function scordelis(n; modo = :subdominios)
    R, L, t, E, ν = 25.0, 50.0, 0.25, 4.32e8, 0.0; φm = deg2rad(40); r = cil_x(R)
    nodos, conn = malla_rectangular((0, L / 2), (0, φm), n, n)
    K, _, F = ensamblar(r, nodos, conn, E, ν, t; modo, f = θ -> [0, 0, -90.0])
    fij = Int[]
    for k in 1:size(nodos, 2)
        x, φ = nodos[:, k]
        x ≈ 0 && append!(fij, [gdl(k, 2), gdl(k, 3)])                    # diafragma
        x ≈ L / 2 && append!(fij, [gdl(k, 1), gdl(k, 4)])                # simetría en x = L/2
        φ ≈ 0 && append!(fij, [gdl(k, 2), gdl(k, 5)])                    # simetría en φ = 0
    end
    u = resolver_estatica(K, F, unique(fij))
    desplazamiento_cartesiano(r, nodos, u, nodo_en(nodos, [L / 2, φm]))[3]       # borde libre, punto medio
end

function pinzado(n; modo = :subdominios)
    R, L, t, E, ν = 300.0, 600.0, 3.0, 3.0e6, 0.3; r = cil_x(R)
    nodos, conn = malla_rectangular((0, L / 2), (0, π / 2), n, n)
    K, _, _ = ensamblar(r, nodos, conn, E, ν, t; modo)
    nn = size(nodos, 2); F = zeros(5nn); c = nodo_en(nodos, [L / 2, 0.0]); F[gdl(c, 3)] = -0.25   # P/4 hacia dentro
    fij = Int[]
    for k in 1:nn
        x, φ = nodos[:, k]
        x ≈ 0 && append!(fij, [gdl(k, 2), gdl(k, 3)])
        x ≈ L / 2 && append!(fij, [gdl(k, 1), gdl(k, 4)])
        (φ ≈ 0 || φ ≈ π / 2) && append!(fij, [gdl(k, 2), gdl(k, 5)])
    end
    u = resolver_estatica(K, F, unique(fij)); u[gdl(c, 3)]
end

[(n = n, SL = abs(scordelis(n)) / 0.3024, pinzado = abs(pinzado(n)) / 1.8248e-5) for n in (4, 8, 16)]
3-element Vector{@NamedTuple{n::Int64, SL::Float64, pinzado::Float64}}:
 (n = 4, SL = 0.8894240206459509, pinzado = 0.9203798731378694)
 (n = 8, SL = 0.9673146069751656, pinzado = 0.9534545485608125)
 (n = 16, SL = 0.988149083235555, pinzado = 0.9907914724933071)
# Mismas mallas (8×8) con las tres formulaciones: el bloqueo a la vista
[(modo = m, SL = abs(scordelis(8; modo = m)) / 0.3024, pinzado = abs(pinzado(8; modo = m)) / 1.8248e-5)
 for m in (:desplazamientos, :reducida_selectiva, :subdominios)]
3-element Vector{@NamedTuple{modo::Symbol, SL::Float64, pinzado::Float64}}:
 (modo = :desplazamientos, SL = 0.11965313510984481, pinzado = 0.06392237035142141)
 (modo = :reducida_selectiva, SL = 0.21782788851450857, pinzado = 0.3493550668323573)
 (modo = :subdominios, SL = 0.9673146069751656, pinzado = 0.9534545485608125)

32.7 Ejercicios

  1. Otro material. ¿Cómo cambia \(u_3\) del Ejemplo 32.1 si se duplica el espesor?

    Se reduce a la mitad: \(u_3\propto1/t\). La tensión de aro \(pR/t\) también se reduce a la mitad.

  2. Un giro olvidado. Si en el plano de simetría \(x=L/2\) se olvida fijar \(\varphi_1\), ¿la flecha del modelo del cuarto será mayor o menor que la real?

    Mayor: la sección de simetría podría girar, y el modelo es más flexible que el entero, que no puede girar por simetría.

  3. Referencia. Si un código da \(0{,}3086\) en el Scordelis–Lo, ¿está bien o mal?

    Coincide con la solución original de Scordelis y Lo, pero difiere un 2 % de la referencia habitual (0,3024). Hay que decir con cuál se compara; un 2 % es un error típico de un elemento de cuatro nodos.

La doy por superada si…

  • Calculo el hinchado de un cilindro a presión con la solución de membrana.
  • Planteo Scordelis–Lo y el cilindro pinzado con sus apoyos y simetrías.
  • Digo qué g.d.l. se fijan en un diafragma y en un plano de simetría.
  • Comparo con la referencia declarando cuál uso, y mido el error con la malla.
  • Reconozco el bloqueo de membrana en la formulación de desplazamientos.

Fuentes. Texto autónomo; las referencias (0,3024 y 1,8248·10⁻⁵) y las geometrías proceden de las fuentes secundarias citadas (MacNeal y Harder 1985); no se han contrastado con los artículos originales. El tubo a presión es analítico; el resto, calculado.

Qué queda pendiente. Verificación del valor de Belytschko y de los datos exactos de las cargas del pinzado frente a la publicación original; el tercer benchmark de MacNeal–Harder (semiesfera) no se aborda; la nota histórica y la «Aplicación real» emplean fuentes secundarias o ninguna; revisión visual de las figuras.

MacNeal, R. H., y R. L. Harder. 1985. «A proposed standard set of problems to test finite element accuracy». Finite Elements in Analysis and Design 1: 3-20.

Referencias

Son las mismas que aparecen en el margen, junto al texto.

MacNeal, R. H., y R. L. Harder. 1985. «A proposed standard set of problems to test finite element accuracy». Finite Elements in Analysis and Design 1: 3-20.

Referencias