Transformada Z y sistemas discretos

M2 · M2.7 · Sesión S2

Los sensores no dan señales continuas: dan muestras cada \(\Delta t\). La transformada Z es a las señales discretas lo que la de Laplace a las continuas: convierte ecuaciones en diferencias en álgebra, y hace que la estabilidad, la frecuencia y el amortiguamiento se lean en el plano \(z\), con una geometría muy distinta a la del plano \(s\): el semiplano estable se convierte en el interior de un círculo, y las frecuencias, en ángulos. Esta página explica esa correspondencia, sus trampas (el aliasing y la ambigüedad del logaritmo) y la usa para extraer frecuencias y amortiguamientos de un modelo ajustado a datos.

NotaCómo se lee esta página

Tiempo orientativo: unas 3 horas. Nivel: intermedio. Tres capas: intuición (figuras y simulación), fundamento (definición, correspondencia \(z=e^{s\Delta t}\)) y aplicación (identificar los polos de un edificio con un modelo autorregresivo, y ver lo que sale mal).

Objetivos y prerrequisitos

Objetivos. Al terminar esta página sabrás:

• definir la transformada Z y escribir la función de transferencia de un sistema descrito por una ecuación en diferencias;
• usar la correspondencia \(z=e^{s\Delta t}\) para pasar de polos continuos a discretos y al revés, y obtener \(f\) y \(\zeta\) de un polo discreto;
• explicar el aliasing en el plano \(z\) y por qué el logaritmo es multivaluado;
• reconocer los polos de un modelo AR en el plano \(z\) y estimar con ellos frecuencias y amortiguamientos de un registro;
• reconocer los polos espurios y las limitaciones de ese método (orden, ruido, sesgo en el amortiguamiento).

Prerrequisitos. M2.4 (Laplace), M2.6 (discretización exacta) y M2.1.4 (Toeplitz y Yule–Walker).

Teoría breve

M2.7.1 La transformada Z

NotaUn poco de historia: de las funciones generatrices a los sistemas muestreados

Según el resumen histórico de la Wikipedia en inglés, la idea de fondo se atribuye a de Moivre (1730, en probabilidad) y Laplace la conocía; Hurewicz y otros la reintrodujeron en 1947 para los sistemas de control con datos muestreados (radar), y Ragazzini y Zadeh, en el grupo de control de la Universidad de Columbia, le dieron el nombre de «transformada z» en 1952. Es una fuente enciclopédica no contrastada con los originales: las atribuciones deben tomarse como orientativas.

Fuente: Wikipedia, «Z-transform», sección «History». Consultado el 25-10-2026.

Definición 1 Transformada Z. Para una secuencia \(x[k]\), \(k\ge0\), \(X(z)=\mathcal Z[x](z)=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}x[k]\,z^{-k}\), con \(z\in\mathbb C\) en la región donde la serie converge.

La propiedad más útil es el desplazamiento: retrasar la secuencia una muestra, \(x[k-1]\), equivale a multiplicar por \(z^{-1}\) (con condiciones iniciales nulas). Por eso una ecuación en diferencias

\[ y[k]+a_1y[k-1]+\dots+a_py[k-p]=b_0u[k]+b_1u[k-1]+\dots+b_qu[k-q] \]

se convierte en \(A(z)Y(z)=B(z)U(z)\), con función de transferencia discreta \(H(z)=B(z)/A(z)\). Sus polos son las raíces de \(A(z)\); el sistema es estable si todas están dentro del círculo unidad, \(\lvert z_k\rvert<1\). Si no hay numerador (\(B(z)=b_0\)), el modelo es autorregresivo (AR): todo polos.

M2.7.2 Del plano \(s\) al plano \(z\)

Si una señal continua \(x(t)=e^{st}\) se muestrea cada \(\Delta t\), se obtiene \(x[k]=e^{sk\Delta t}=(e^{s\Delta t})^k\): la secuencia de potencias de \(z=e^{s\Delta t}\). Por eso un polo continuo \(s\) da un polo discreto

\[ z=e^{s\Delta t},\qquad s=\frac{\ln z}{\Delta t}. \tag{1}\]

Figura 1: Correspondencia entre el plano \(s\) (banda \(\lvert\omega\rvert<\pi/\Delta t\)) y el plano \(z\). El semiplano izquierdo (estable) se convierte en el interior del círculo unidad; las rectas de frecuencia constante, en radios; los rayos de amortiguamiento constante, en espirales logarítmicas.

Tres consecuencias:

1. Estabilidad: \(\lvert z\rvert=e^{\sigma\Delta t}<1\) si y solo si \(\sigma<0\).
2. Frecuencia y amortiguamiento. Para \(s=-\zeta\omega_n+\mathrm j\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}\) se cumple \(\lvert\ln z\rvert=\omega_n\Delta t\), y por tanto \[ f=\frac{\lvert\ln z\rvert}{2\pi\Delta t},\qquad \zeta=-\frac{\ln\lvert z\rvert}{\lvert\ln z\rvert}. \tag{2}\]
3. Aliasing y logaritmo multivaluado. \(e^{(s+\mathrm j2\pi m/\Delta t)\Delta t}=e^{s\Delta t}\) para todo entero \(m\): infinitos polos continuos dan el mismo polo discreto. Solo se pueden distinguir frecuencias de \(0\) a \(f_{\mathrm s}/2\), con \(f_{\mathrm s}=1/\Delta t\) (frecuencia de Nyquist), y una señal de frecuencia \(f>f_{\mathrm s}/2\) aparece como si tuviera la frecuencia \(\lvert f-m f_{\mathrm s}\rvert\) más próxima a cero. Es la razón de que se filtre antes de muestrear (M3 y M8).

AdvertenciaLa relación \(z=e^{s\Delta t}\) es exacta; la de Euler no

Si se aproxima \(e^{s\Delta t}\approx1+s\Delta t\) (Euler explícito, M2.6.3), un polo estable puede dar un \(\lvert z\rvert>1\). La correspondencia de la ecuación 1 es la de la discretización exacta, y es la que debe usarse para convertir polos identificados en \(f\) y \(\zeta\).

s_ej = -0.5 + 10.0im                          # polo continuo (rad/s)
dt_ej = 0.01
z_ej = exp(s_ej * dt_ej)
(z = z_ej, módulo = abs(z_ej), ángulo_rad = angle(z_ej), f_recuperada = abs(log(z_ej)) / (2π * dt_ej),
 zeta_recuperada = -log(abs(z_ej)) / abs(log(z_ej)))

(z = 0.9900415613003339 + 0.09933549540403648im, módulo = 0.9950124791926824, ángulo_rad = 0.09999999999999999, f_recuperada = 1.593537625861432, zeta_recuperada = 0.04993761694389106)

Para \(s=-0{,}5+10\mathrm j\) rad/s y \(\Delta t=0{,}01\) s se obtiene \(z=\) 0,99501 \(\angle\) 0,1000 rad. Y, a la inversa, la ecuación 2 devuelve \(f=\) 1,5935 Hz y \(\zeta=\) 0,0499, los valores de partida: \(f=\lvert s\rvert/2\pi\) y \(\zeta=-\sigma/\lvert s\rvert\approx0{,}0499\).

M2.7.3 Modelos AR y sus polos

Un modelo AR(\(p\)), \(x[k]=\sum_{j=1}^p\phi_jx[k-j]+e[k]\) con \(e[k]\) ruido blanco, tiene función de transferencia \(1/(1-\sum\phi_jz^{-j})\). Sus polos son las raíces de \(z^p-\phi_1z^{p-1}-\dots-\phi_p\), es decir, los valores propios de su matriz compañera; los coeficientes salen de las ecuaciones de Yule–Walker (M2.1.4) y, con la ecuación 2, cada pareja de polos conjugados da una frecuencia y un amortiguamiento. Es el método de identificación más sencillo que existe, y sirve para ver sus límites.

Una estructura excitada por ruido blanco no tiene respuesta exactamente AR: su aceleración tiene también ceros (M2.4), y la señal medida lleva ruido. Veamos qué pasa con el registro de aceleración de la cubierta del escenario A (datos/sinteticos/edificio-3-plantas/), cuyos polos verdaderos se conocen: \(f=\) 1,105, 2,939, 4,390 Hz y \(\zeta=\) 1,00, 1,00, 1,27 %.

D = readdlm("../../../datos/sinteticos/edificio-3-plantas/escenario_A.csv", ';', skipstart=1)
x = D[:, 4] .- mean(D[:, 4])                       # aceleración de la cubierta a 100 Hz
dt = 0.01
function ajusta_ar(x, p, dt)
    r = autocorrelacion(x, p)
    phi, _ = yule_walker(r, p)
    polos_ar(phi, dt)
end
bloque(x, q) = [mean(@view x[i:i+q-1]) for i in 1:q:length(x)-q+1]    # promedio de bloques: filtro paso bajo muy simple
resultados = [(; q, p, fz = ajusta_ar(bloque(x, q), p, dt * q)) for (q, p) in [(1, 6), (1, 12), (8, 6), (8, 8)]]
nothing

filas = String[]
for r in resultados
    push!(filas, "| " * (r.q == 1 ? "100" : coma(100 / r.q; d=1)) * " | $(r.p) | " * join(coma.(r.fz[1]; d=3), "; ") * " | " * join(coma.(100 .* r.fz[2]; d=1), "; ") * " |")
end
Markdown.parse("| Muestreo (Hz) | Orden p | Frecuencias (Hz) | Amortiguamientos (%) |\n|--:|--:|:--|:--|\n" * join(filas, "\n"))

Tabla 1: Polos estimados con un modelo AR de Yule–Walker ajustado a la aceleración de la cubierta (escenario A, 600 s). Los valores verdaderos son 1,105; 2,939 y 4,390 Hz, con \(\zeta\) de 1,00 %, 1,00 % y 1,27 %. Con 100 Hz el ajuste falla; al reducir el muestreo con un promedio de bloques, el orden 8 recupera las tres frecuencias y añade dos polos espurios.

Muestreo (Hz)	Orden p	Frecuencias (Hz)	Amortiguamientos (%)
100	6	3,952; 26,063; 42,392	94,2; 24,3; 16,2
100	12	2,898; 14,742; 22,524; 30,461; 38,420; 46,740	28,7; 32,5; 24,6; 19,5; 15,1; 13,6
12,5	6	1,142; 3,004; 4,716	5,6; 2,1; 3,6
12,5	8	1,119; 2,934; 4,396; 6,305; 6,736	0,9; 0,9; 3,6; 13,2; 37,3

Lo que enseña la Tabla 1:

• Con la frecuencia de muestreo original (100 Hz) el método falla, aunque la señal sea buena: tres modos por debajo de 5 Hz a 100 Hz de muestreo dejan los polos muy cerca de \(z=1\), y la matriz de Toeplitz queda mal condicionada. Un modelo AR gasta su orden en lo que ve de más alta frecuencia.
• Reduciendo el muestreo (decimando por 8 con un promedio de bloques, que es un filtro paso bajo muy simple) y con orden 8, las tres frecuencias salen con errores de \(1{,}3\,\%\), \(0{,}2\,\%\) y \(0{,}1\,\%\): el análisis AR es útil con la banda de interés bien resuelta.
• El amortiguamiento sale mal: el tercer modo sale con \(\zeta\approx3{,}6\,\%\) cuando el valor verdadero es \(1{,}27\,\%\). Es una pauta general: los métodos paramétricos estiman bien las frecuencias y peor los amortiguamientos, y Yule–Walker en particular tiende a sobrestimarlos en señales poco amortiguadas.
• Aparecen polos espurios (6,3 y 6,7 Hz, con \(\zeta\) de \(13\) y \(37\,\%\)): el orden elegido es mayor que el de la señal. Son fuertemente amortiguados, lo que los delata, pero para decidirlo con criterio se necesitan los diagramas de estabilización de M7.

q, p = 8, 8
xd = bloque(x, q)
phi8, _ = yule_walker(autocorrelacion(xd, p), p)
Cm = zeros(p, p); Cm[1, :] = phi8; for i in 2:p; Cm[i, i-1] = 1; end
z_est = eigvals(Cm)
A3, _ = espacio_estados(M3, C3, K3, [0.0, 0.0, 1.0])
z_real = filter(w -> imag(w) > 0, exp.(eigvals(A3) .* (dt * q)))
fig = Figure(size=(560, 520))
ax = Axis(fig[1, 1]; xlabel="Re z", ylabel="Im z", aspect=DataAspect(), limits=(-1.1, 1.1, -1.1, 1.1))
lines!(ax, cos.(range(0, 2π; length=200)), sin.(range(0, 2π; length=200)); color=GRIS)
scatter!(ax, vcat(real.(z_real), real.(z_real)), vcat(imag.(z_real), -imag.(z_real)); color=:white, strokecolor=AZUL, strokewidth=2, markersize=14, label="polos reales")
scatter!(ax, real.(z_est), imag.(z_est); marker=:xcross, color=NARANJA, markersize=14, label="AR(8) estimado")
axislegend(ax; position=:lb)
fig

Figura 2: Polos del plano \(z\). Los círculos azules son los polos reales del edificio (discretización exacta a 12,5 Hz); las cruces naranjas, los estimados por el modelo AR de orden 8 ajustado a la aceleración de la cubierta. Las frecuencias coinciden bien; el tercer par está más hacia el interior del círculo (más amortiguamiento) que el real, y hay dos polos espurios más cerca del origen.

Laboratorio: muestreo y plano \(z\)

Simulación 1. Un polo en los planos \(s\) y \(z\). Elige la frecuencia y el amortiguamiento de un oscilador y la frecuencia de muestreo. A la izquierda se ve el polo en el plano \(z\) (con el círculo unidad, el radio de \(f\) constante y la espiral de \(\zeta\) constante); a la derecha, la señal continua y sus muestras. Si \(f>f_{\mathrm s}/2\), la señal muestreada parece de otra frecuencia (aliasing), y el polo discreto que se obtiene es el de esa frecuencia aparente.

viewof f_lab = Inputs.range([0.2, 30], {value: 4, step: 0.1, label: "f (Hz)"})
viewof z_lab = Inputs.range([0.002, 0.3], {value: 0.03, step: 0.002, transform: Math.log, label: "ζ (adimensional)"})
viewof fs_lab = Inputs.range([5, 100], {value: 20, step: 1, label: "frecuencia de muestreo fₛ (Hz)"})

polo = {
  const dt = 1 / fs_lab, w = 2 * Math.PI * f_lab;
  const sre = -z_lab * w, sim = w * Math.sqrt(1 - z_lab ** 2);
  const mod = Math.exp(sre * dt), ang = sim * dt;                   // z = e^{s Δt}
  const angPlegado = ((ang + Math.PI) % (2 * Math.PI) + 2 * Math.PI) % (2 * Math.PI) - Math.PI;
  const fAparente = Math.abs(angPlegado) / (2 * Math.PI * dt);
  return {dt, w, mod, ang, angPlegado, fAparente, aliasing: f_lab > fs_lab / 2};
}

{
  const th = d3.range(0, 2 * Math.PI + 0.02, 0.02);
  const esp = d3.range(0, Math.PI + 0.01, 0.01).map(t => [Math.exp(-z_lab / Math.sqrt(1 - z_lab ** 2) * t) * Math.cos(t), Math.exp(-z_lab / Math.sqrt(1 - z_lab ** 2) * t) * Math.sin(t)]);
  const zr = polo.mod * Math.cos(polo.angPlegado), zi = polo.mod * Math.sin(polo.angPlegado);
  const planoZ = Plot.plot({
    width: 360, height: 360, aspectRatio: 1, grid: true, marginLeft: 40,
    x: {domain: [-1.15, 1.15], label: "Re z"}, y: {domain: [-1.15, 1.15], label: "Im z"},
    marks: [
      Plot.line(th.map(t => [Math.cos(t), Math.sin(t)]), {stroke: "#6B7280"}),
      Plot.line(esp, {stroke: "#D95F02", strokeDasharray: "4,3"}),
      Plot.line(esp.map(([a, b]) => [a, -b]), {stroke: "#D95F02", strokeDasharray: "4,3"}),
      Plot.line([[0, 0], [Math.cos(polo.angPlegado), Math.sin(polo.angPlegado)]], {stroke: "#1B6CA8", strokeDasharray: "4,3"}),
      Plot.dot([[zr, zi], [zr, -zi]], {fill: "#1B6CA8", r: 6})
    ]
  });
  // señal continua y muestras
  const T = 4 / Math.max(0.5, Math.min(f_lab, 3)) ;
  const t = d3.range(0, T, T / 600);
  const x = (tt) => Math.exp(-z_lab * polo.w * tt) * Math.cos(polo.w * Math.sqrt(1 - z_lab ** 2) * tt);
  const ks = d3.range(0, Math.floor(T / polo.dt) + 1).map(k => ({t: k * polo.dt, x: x(k * polo.dt)}));
  const serie = Plot.plot({
    width: 520, height: 280, marginLeft: 45, x: {label: "t (s)"}, y: {label: "x(t)", domain: [-1.1, 1.1]},
    marks: [Plot.ruleY([0]), Plot.line(t.map(tt => ({t: tt, x: x(tt)})), {x: "t", y: "x", stroke: "#9CA3AF"}),
      Plot.ruleX(ks, {x: "t", y1: 0, y2: "x", stroke: "#D95F02"}), Plot.dot(ks, {x: "t", y: "x", fill: "#D95F02", r: 3})]
  });
  return html`<div style="display:flex; gap:16px; flex-wrap:wrap">${planoZ}${serie}</div>`;
}

md`**Polo discreto** z = ${polo.mod.toFixed(5).replace(".", ",")} ∠ ${polo.angPlegado.toFixed(4).replace(".", ",")} rad. Frecuencia de Nyquist: **${(fs_lab / 2).toFixed(1).replace(".", ",")} Hz**. ${polo.aliasing ? "⚠️ **Aliasing**: la frecuencia real (" + f_lab.toFixed(1).replace(".", ",") + " Hz) supera la de Nyquist y las muestras se comportan como las de **" + polo.fAparente.toFixed(2).replace(".", ",") + " Hz**." : "Sin aliasing: la frecuencia recuperada con ln z es **" + polo.fAparente.toFixed(2).replace(".", ",") + " Hz**."}`

Hipótesis y límites de la simulación 1

• Señal: una única respuesta libre amortiguada \(e^{-\zeta\omega t}\cos\omega_{\mathrm d}t\), sin ruido y sin filtro antialiasing. En un sistema real, el filtro antes del muestreo evita el aliasing; aquí se muestra cómo ocurre cuando no existe.
• Plano \(z\): se dibuja el polo con el argumento plegado a \((-\pi,\pi]\), es decir, el que se obtendría de las muestras. El rayo de frecuencia constante y la espiral de \(\zeta\) constante son los de la figura de la teoría.
• El amortiguamiento no cambia por el aliasing: el módulo \(\lvert z\rvert=e^{-\zeta\omega\Delta t}\) se conserva, pero al leer \(\zeta\) con la ecuación 2 y la frecuencia aparente, sale un valor distinto (más alto), porque se divide por una \(\lvert\ln z\rvert\) menor.
• Qué no se puede concluir: que un registro muestreado a una frecuencia baja es «fiel»; a partir de las muestras no se puede saber si hubo aliasing, y solo el diseño previo (filtro y \(f_{\mathrm s}\)) lo evita.

Para explorar. (1) Con \(f=4\) Hz y \(f_{\mathrm s}=20\) Hz, mueve \(\zeta\) y observa cómo el polo recorre la espiral. (2) Sube \(f\) por encima de 10 Hz y observa el polo aparente. (3) Con \(f_{\mathrm s}=20\) Hz, ¿qué frecuencias distintas dan exactamente el mismo polo discreto que 3 Hz?

Práctica guiada

NotaPráctica guiada

1. Lee escenario_A.csv y toma la aceleración de la cubierta (columna 4).
2. Reduce el muestreo de 100 a 12,5 Hz promediando bloques de 8 muestras.
3. Ajusta un AR(8) con autocorrelacion, yule_walker y polos_ar. Compara las frecuencias con las del modelo.
4. Repite con el escenario C (daño en el entrepiso 2) y mira cómo cambian las frecuencias estimadas.

Julia

using Resonancia, DelimitedFiles, Statistics
D = readdlm("escenario_A.csv", ';', skipstart=1)
x = D[:, 4] .- mean(D[:, 4])
xd = [mean(@view x[i:i+7]) for i in 1:8:length(x)-7]
phi, sigma2 = yule_walker(autocorrelacion(xd, 8), 8)
f, zeta = polos_ar(phi, 0.08)

Python

import numpy as np
import matrices as mx      # mse/m02-matematicas/python/matrices.py (probado con pytest)

D = np.loadtxt("escenario_A.csv", delimiter=";", skiprows=1)
x = D[:, 3] - D[:, 3].mean()
xd = x[: len(x) // 8 * 8].reshape(-1, 8).mean(axis=1)
r = mx.autocorrelacion(xd, 8)
phi, sigma2 = mx.yule_walker(r, 8)
f, zeta = mx.polos_ar(phi, 0.08)

El código Python no se ejecuta en la web: polos_ar está probada con pytest frente a Julia en python/matrices.py.

«Pídeselo a Claude»

TipPrompt

«Con Julia y el paquete Resonancia: toma escenario_A.csv y escenario_C.csv (aceleraciones de un edificio de tres plantas a 100 Hz), decima por 8 con un promedio de bloques, ajusta un AR(8) con Yule–Walker y calcula frecuencias y amortiguamientos de los polos con polos_ar. Dime si los cambios de frecuencia entre A y C se pueden distinguir de la dispersión del método, haciendo el ajuste en varios tramos de 60 s de cada registro.»

Verifica. (a) Que decima (o dice por qué no) antes de ajustar el modelo. (b) Que usa polos_ar y compara con las frecuencias reales del edificio, que están en la ficha de datos. (c) Que no confunde polos espurios con modos y que filtra por amortiguamiento razonable. (d) Que da la dispersión de la frecuencia entre tramos antes de hablar de cambio. (e) Que no atribuye el cambio de amortiguamiento a daño: el amortiguamiento sale con mucha más incertidumbre.

Ejercicios

Un sistema discreto lineal es estable si y solo si todos sus polos están dentro del círculo unidad.

Verdadero: \(\lvert z_k\rvert<1\) equivale a \(\operatorname{Re}(s_k)<0\) por la correspondencia \(z=e^{s\Delta t}\) (ecuación 1).

Un polo continuo \(s=-0{,}5+10\,\mathrm j\) rad/s se muestrea con \(\Delta t=0{,}01\) s. ¿Cuánto vale el módulo del polo discreto?

\(\lvert z\rvert=e^{\sigma\Delta t}=e^{-0{,}5\cdot0{,}01}=e^{-0{,}005}=0{,}99501\) (y el ángulo es \(\omega\Delta t=0{,}1\) rad).

Un modelo ajustado a datos muestreados cada \(\Delta t=0{,}1\) s tiene un polo en \(z=0{,}9\,e^{\mathrm j\,0{,}3}\). ¿Cuánto vale el amortiguamiento relativo \(\zeta\)?

Usa la ecuación 2: \(\zeta=-\ln\lvert z\rvert/\lvert\ln z\rvert\) con \(\ln z=\ln0{,}9+0{,}3\,\mathrm j\).

\(\ln z=-0{,}10536+0{,}3\,\mathrm j\), \(\lvert\ln z\rvert=0{,}31796\), así que \(\zeta=0{,}10536/0{,}31796=0{,}3314\) y \(f=0{,}31796/(2\pi\cdot0{,}1)=0{,}506\) Hz.

Una vibración de 7 Hz se muestrea a 10 Hz sin filtro antialiasing. ¿A qué frecuencia aparente se ve?

\(\lvert7-10\rvert=3\) Hz: la frecuencia de Nyquist es 5 Hz y 7 Hz se pliega hacia abajo.

Ajustas un AR(6) a una aceleración de un puente muestreada a 200 Hz, cuyos modos de interés están entre 1 y 6 Hz, y los resultados no tienen sentido. Propón dos cambios que probarías y explica por qué.

• Propongo reducir la frecuencia de muestreo (decimación con filtro antialiasing) para concentrar el orden del modelo en la banda de interés.
• Propongo aumentar el orden y distinguir polos físicos de espurios (amortiguamiento, estabilidad al cambiar el orden).
• Menciono el mal condicionamiento de la matriz de Toeplitz con polos próximos a \(z=1\) o la conveniencia de métodos mejores (ERA, SSI, FDD).

Decimar (con un filtro paso bajo que evite el aliasing) a unos 20–25 Hz, de modo que los polos se separen de \(z=1\) y la matriz de Toeplitz esté mejor condicionada, y subir el orden mirando qué polos se mantienen al cambiarlo. Y valorar métodos de identificación más robustos (M7).

La doy por superada si…

• Escribo la función de transferencia discreta de una ecuación en diferencias y reconozco sus polos.
• Paso de polos continuos a discretos con \(z=e^{s\Delta t}\) y al revés con \(\ln z/\Delta t\).
• Obtengo \(f\) y \(\zeta\) de un polo discreto.
• Explico el aliasing y por qué el logaritmo complejo es multivaluado.
• Ajusto un AR con Yule–Walker, calculo sus polos e interpreto cuáles son modos y cuáles espurios.
• Sé que el amortiguamiento estimado es mucho menos fiable que la frecuencia.

Qué no dice esta página

• El método AR de Yule–Walker se usa aquí como ejemplo didáctico, no como método de identificación recomendado; ERA, SSI y FDD (M7) están pensados para esto.
• Se usa un promedio de bloques como filtro de decimación; un diseño correcto del filtro antialiasing (FIR/IIR) es tema de M3 y M8.
• La tabla de resultados es de un registro y una semilla; no se ha hecho un estudio de dispersión entre registros (se propone en «Pídeselo a Claude»).
• No se desarrolla la región de convergencia de la transformada Z ni las propiedades de la transformada inversa; se usan fracciones simples en la práctica.
• Las atribuciones históricas proceden de una fuente enciclopédica y deben contrastarse antes de citarlas en un trabajo formal.