Tema 1: Matemáticas para SHM

Este tema introduce herramientas matemáticas fundamentales para el análisis de estructuras y señales en Structural Health Monitoring (SHM).

Contenidos

• Álgebra y Ecuaciones
• Números complejos en dinámica estructural
• Operaciones con vectores y matrices
• Sistemas lineales sobredeterminados
• Inversión de matrices y pseudoinversa
• Descomposición en valores singulares (SVD)
• Problemas de valores propios y modos naturales
• Transformadas y Series Temporales
• Transformada de Laplace
• Series y Transformada de Fourier
• Polos y ceros en funciones racionales
• Modelado en espacio de estados
• Z-transform
• Series temporales (AR, ARMA)
• Introducción a la transformada de Hilbert

1. Álgebra y Ecuaciones

1.1 Resolver un sistema sobredeterminado por mínimos cuadrados

Esto es un ejemplo $x^2$

julia> using Pkg

julia> Pkg.rm("Example")
  Updating `~/work/MSE/Project.toml`
  [7876af07] - Example v0.5.5
  Updating `~/work/MSE/Manifest.toml`
  [7876af07] - Example v0.5.5

Queremos resolver el sistema:

\[A x \approx b, \quad A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}, \quad b = \begin{bmatrix} 2 \\ 2.5 \\ 3.5 \end{bmatrix}\]

Código en Julia:

using LinearAlgebra

# Definimos el sistema Ax ≈ b
A = [1 1; 1 2; 1 3]
b = [2.0, 2.5, 3.5]

# Solución por mínimos cuadrados
x = A \ b
println("Solución: ", x)

Solución: [1.166666666666668, 0.7499999999999997]

1.2 Pseudoinversa mediante SVD

La pseudoinversa se define como:

\[A^+ = V \Sigma^+ U^T\]

donde $A$ es una matriz, $U$ y $V$ son matrices ortogonales, y $\Sigma^+$ es la pseudoinversa de la matriz diagonal $\Sigma$.

Código en Julia:

using LinearAlgebra

# Cálculo de la pseudoinversa mediante SVD
A = [1 1; 1 2; 1 3]
pinv_A = pinv(A)

println("Pseudoinversa: ", pinv_A)

Pseudoinversa: [1.3333333333333335 0.3333333333333334 -0.6666666666666666; -0.5000000000000001 -3.0242075221877793e-17 0.5]

2. Transformadas y Series Temporales

2.1 Transformada de Fourier en Julia

Queremos analizar el espectro de una señal usando FFT: La transformada discreta de Fourier (DFT) de una señal $x(n)$ de longitud $N$ se define como:

\[X(k) = \sum_{n=0}^{N-1} x(n) e^{-j 2 \pi k n / N}\]

donde $X(k)$ representa el espectro en la frecuencia $k$.

Código en Julia:

using FFTW, Plots

# Señal simple (onda senoidal)
signal = sin.(2π .* (0:0.01:1))

# FFT
fft_result = abs.(fft(signal))

# Mostrar primeros valores en consola
println("FFT calculada: ", fft_result[1:10])

# Graficar el espectro
plot(fft_result, title="Espectro FFT", xlabel="Frecuencia (índice)", ylabel="Magnitud")

2.2 Modelos AR y ARMA (intro)

En procesamiento de señales, los modelos AR/ARMA son útiles para predicción:

\[x_t = \sum_{i=1}^p \phi_i x_{t-i} + \epsilon_t\]

Código en Julia (ejemplo simple):

using Random

# Generamos una serie AR(1): x_t = 0.8 x_{t-1} + ruido
Random.seed!(1234)
n = 100
x = zeros(n)
for t in 2:n
    x[t] = 0.8 * x[t-1] + randn()
end

println("Serie AR(1): ", x[1:10])

Serie AR(1): [0.0, -0.3597289068234817, 0.7994253669698005, 0.2199506766369917, 0.8948704787755326, 1.136143560814205, 0.22324394637524503, 2.2333582131642324, 2.1115792999783016, 1.384362184786209]

3. Problema de valores propios (modos naturales)

Para un sistema MDOF, resolvemos:

\[K \phi = \lambda M \phi\]

donde $K$ es la matriz de rigidez, $M$ es la matriz demasa, $\lambda$ son los valores propios (frecuencias naturales al cuadrado), y $\phi$ son los modos naturales. Queremos encontrar los valores propios y vectores propios de un sistema estructural. Para un sistema con matrices de masa $M$ y rigidez $K$, el problema se formula como:

\[F = M^{-1} K\]

donde $F$ es la matriz del problema generalizado. Los valores propios de $F$ nos dan las frecuencias naturales al cuadrado, y los vectores propios nos dan los modos naturales del sistema.

Código en Julia:

using LinearAlgebra
# Matrices de masa (M) y rigidez (K)
M = [2.0 0.0; 0.0 1.0]
K = [6.0 -2.0; -2.0 4.0]

# Problema generalizado
F = inv(M) * K
vals, vecs = eigen(F)

println("Valores propios (frecuencias^2): ", vals)
println("Vectores propios (modos): ", vecs)

Valores propios (frecuencias^2): [2.0, 5.0]
Vectores propios (modos): [-0.7071067811865475 0.4472135954999579; -0.7071067811865475 -0.8944271909999159]