Procesamiento de señales II

M4 · Sesión S4

Objetivos

• Elegir una ventana y saber que reparte un error entre resolución y fuga
• Diseñar y leer filtros FIR e IIR: causal frente a fase cero
• Preprocesar sin inventar datos: offset, tendencia, remuestreo, huecos, picos
• Integrar aceleración sin que la deriva mande
• Dar un SNR con su banda y estimar \(H_1\), \(H_2\) y la coherencia
• Mirar tiempo y frecuencia a la vez

Ruta (240 min)

Tiempo	Bloque	Duración
0:00	Reto: ¿se desplaza un metro el puente?	5 min
0:05	M4.1 Ventanas	30 min
0:35	M4.2 Filtros FIR e IIR	40 min
1:15	M4.3 Preprocesado	25 min
1:40	Descanso	15 min
1:55	M4.4 Integración	25 min
2:20	M4.5 Ruido y SNR	15 min
2:35	M4.6 FRF: \(H_1\), \(H_2\), coherencia	40 min
3:15	M4.7 Tiempo-frecuencia	20 min
3:35	Caso Palma del Río	15 min
3:50	Test de salida	10 min

Reto inicial

• Torroja, 22-06-2018, GS4 vertical, 300 s a 100 Hz: RMS de 0,02 m/s²
• Se integra dos veces con el trapecio, restando la media
• Resultado: 1,17 m de desplazamiento
• ¿Es verosímil? ¿Qué ha pasado? ¿Qué harías antes de integrar?

Respuesta al final de M4.4

M4.1 Una ventana reparte un error

• La DFT supone un registro periódico: la fuga nace del salto en la unión
• Una ventana suaviza los extremos: menos fuga, picos más anchos
• Cifras de mérito: lóbulo lateral, ancho a −3 dB, ENBW, pérdida por escalonamiento

Ventana	Lóbulo lat.	Ancho −3 dB	A medio bin
Rectangular	−13,3 dB	0,89 bins	0,64
Hann	−31,5 dB	1,44 bins	0,85
Hamming	−42,7 dB	1,30 bins	0,82
Flat-top	−92,8 dB	3,73 bins	0,999

Qué se normaliza

• Amplitud de un tono → dividir por \(\sum w\)
• PSD → dividir por \(\sum w^2\)
• Pico de PSD de un tono: \(\dfrac{a^2/2}{\mathrm{ENBW}\cdot\Delta f}\) (exacto, tono centrado)

Rango dinámico frente a resolución

• Tono débil (−50 dB) a 6 bins de uno fuerte
• Se ve con Hann, Blackman y flat-top; no con la rectangular ni con Hamming
• A 4 bins la flat-top deja de verlo: su lóbulo ancho lo tapa
• Hamming: primer lóbulo bajo, pero los lejanos no decaen

Welch: ventana, solape, varianza

• Varianza relativa de un solo periodograma: 1; con \(K\) segmentos independientes, \(1/K\)
• Con solape se correlacionan: Hann al 50 % → 26,5 % de desviación (frente al 35,4 % sin solape)
• Con rectangular el solape casi no sirve; de 75 a 87,5 % no mejora
• Trueque: segmento largo → resolución; segmento corto → menos varianza

M4.2 Filtros

• FIR: siempre estable, fase lineal posible, muchos coeficientes
• IIR (Butterworth): pocos coeficientes, fase no lineal
• \(f_{\mathrm c}\): −3 dB, no una frontera
• Butterworth: polos equiespaciados \(\pi/n\) en un semicírculo + bilineal con prewarping

Causal y fase cero

• filtrar: una pasada, retrasa y deforma la fase; vale en tiempo real
• filtrar_fase_cero: ida y vuelta, respuesta \(|H|^2\): fase nula, dB × 2
• En \(f_{\mathrm c}\): −6 dB; el −3 dB baja a \((\sqrt2-1)^{1/2n}f_{\mathrm c}\) (0,896 \(f_{\mathrm c}\), \(n=4\))
• Solo análisis diferido; los extremos dependen del relleno

Comprobado contra DSP.jl

• 640 diseños Butterworth: diferencia máxima \(1{,}5\cdot10^{-12}\)
• filt y filtfilt: \(10^{-14}\) y \(7\cdot10^{-9}\)
• FIR por ventana idénticos; DSP.jl invierte la polaridad del pasaaltos si el retardo \((n-1)/2\) es impar (SciPy no)

M4.3 Preprocesado

• Un pico espurio eleva el suelo de todo el espectro: \(2A^2/(f_{\mathrm s}N)\)
• Una deriva eleva las bajas frecuencias; Welch resta la media, no la tendencia
• Un hueco: no rellenar; excluir los segmentos que lo tocan

Remuestreo

• diezmar: FIR antialiasing de fase cero antes de quedarse con una de cada \(q\)
• Sin filtro, un tono de 40 Hz a 100 Hz de muestreo se pliega a 10 Hz con toda su potencia
• Interpolación lineal a medio camino: amplitud × \(\cos(\pi f/f_{\mathrm s})\) (29 % menos a \(f_{\mathrm s}/4\))

M4.4 Integrar amplifica lo lento

• \(1/\omega\) al integrar una vez, \(1/\omega^2\) dos
• Tres fuentes de deriva: offset, condiciones iniciales, componentes lentas
• Offset de 0,002 m/s² durante 60 s: 3,6 m
• Integral en frecuencia con corte: se descarta lo que hay por debajo

Vuelta al reto

Método	Desplazamiento máx.
Trapecio, media	1,17 m
Trapecio, recta y parábola	122 mm
En frecuencia, corte 0,5 Hz	0,068 mm

• Estable de 0,5 a 2 Hz
• El movimiento cuasi-estático no se recupera con un acelerómetro

M4.5 SNR y ruido del sensor

• SNR = 10 log(potencia señal / potencia ruido), de un registro y una banda
• Ruido blanco: \(\sigma=\text{densidad}\cdot\sqrt{f_b-f_a}\)
• 100 µg/√Hz: 707 µg en 50 Hz, 141 µg en 2 Hz
• Con \(P/N=1+S/N\), el SNR bajo se sobrestima: restar antes

M4.6 FRF con ruido

\[H_1=\frac{G_{xy}}{G_{xx}},\quad H_2=\frac{G_{yy}}{G_{yx}},\quad\gamma^2=\frac{|G_{xy}|^2}{G_{xx}G_{yy}},\quad\frac{H_1}{H_2}=\gamma^2\]

• Ruido en la salida: \(H_1\) insesgada, \(H_2\) sobrestima
• Ruido en la entrada: \(H_2\) insesgada, \(H_1\cdot\frac{G_{xx}}{G_{xx}+G_{mm}}\)
• Un solo segmento: \(\gamma^2=1\) siempre

Coherencia baja sin ruido

• Edificio de tres plantas, sin ningún ruido
• Segmentos de 1024 (bins 0,098 Hz, pico 0,022 Hz): \(\gamma^2\) = 0,22 / 0,45 / 0,78
• Segmentos de 16 384 (0,006 Hz): \(\gamma^2\) = 0,94 / 0,99 / 1,00
• Sesgo de resolución: \(\Delta f\lesssim\) ancho del pico / 4

M4.7 Tiempo-frecuencia

• Espectrograma: \(\Delta t\cdot\Delta f=1\); el solape no mejora la resolución
• Torroja: las ráfagas de 137 y 179 s tienen ~800 veces la potencia mediana, pico en 11,5 Hz (fondo: 3,3 Hz)
• Wavelets: resolución relativa constante, no más información

Caso Palma del Río

• set1 (tráfico): cresta 13,4; curtosis 23; eventos, no muestras espurias
• 92 % de la potencia por debajo de 32 Hz → diezmar a 64 Hz
• Corte 0,5 Hz: velocidad RMS 7,1 mm/s; desplazamiento RMS 0,68 mm (±10 % con el corte)
• Picos de la PSD: no son modos

Cierre

• Una ventana reparte un error
• Un filtro transforma la señal
• Integrar amplifica lo lento
• Una coherencia baja puede ser resolución, no ruido
• Todo lo hecho al registro se declara