Procesamiento de señales I

M3 · Sesión S3

Objetivos

  • Adquirir y describir un registro: ficha, clase, descriptores
  • Justificar \(f_{\mathrm s}\), duración, rango y bits
  • Interpretar la DFT: amplitud, fase, bins, fuga, relleno
  • Estimar la PSD (periodograma, Welch) con unidades y Parseval
  • Interpretar con prudencia: un pico no es un modo ni un daño

Ruta (240 min)

Tiempo Bloque Duración
0:00 Reto Torroja + diagnóstico 10 min
0:10 M3.1 Clasificación y ruido 30 min
0:40 M3.2 Descriptores 30 min
1:10 M3.3 Muestreo y cuantificación 25 min
1:35 M3.4 Nyquist y aliasing 25 min
2:00 Descanso 15 min
2:15 M3.5 DFT y FFT 35 min
2:50 M3.6 PSD y Welch 35 min
3:25 Caso Palma del Río 25 min
3:50 Test de salida 10 min

Reto inicial

  • Puente de Eduardo Torroja, 22-06-2018, GS4, canal Z, 300 s a 100 Hz
  • ¿Periódica, aleatoria o transitoria?
  • ¿RMS y pico?
  • ¿Se ven en el tiempo las frecuencias a las que vibra?

Respuesta al final de M3.6

M3.1 Clasificación

Árbol de clasificación de señales: deterministas (periódicas y no periódicas) y aleatorias (estacionarias y no estacionarias)

La clase decide la herramienta

Tipo Espectro Descripción
armónica, periódica líneas amplitud y fase
casi periódica líneas no armónicas amplitud
transitoria (impulso, escalón, libre, barrido) continuo energía
aleatoria estacionaria continuo media, varianza, PSD
no estacionaria cambia por tramos, tiempo-frecuencia

Estacionariedad

  • Estricta (todo) · débil (media y autocorrelación) · ergódica (un registro basta)
  • Se rompe en media (deriva), en varianza (tráfico) o en frecuencia (barrido, sismo)
  • Media y RMS por ventanas: necesario, no suficiente
  • Ventana corta: dispersión por azar; larga: esconde cambios

Ruido

  • Lo que no interesa en este análisis (en OMA, la vibración ambiental es la señal)
  • Espectro: blanco · rosa (\(1/f\), −10 dB/déc.) · marrón (\(1/f^2\), −20 dB/déc.) · banda limitada · banda estrecha
  • Distribución: gaussiano · uniforme (cuantificación) · impulsivo
  • Origen: mecánico y ambiental · eléctrico · digital

Ruido eléctrico

  • Térmico: \(\overline{v^2}=4k_{\mathrm B}TR\,\Delta f\) (1 MΩ, 300 K, 1 kHz → 4,1 µV)
  • De disparo (\(2qI\Delta f\)) · de parpadeo (\(1/f\), a baja frecuencia)
  • Red: líneas a 50, 100, 150 Hz; bucles de masa
  • Interferencias electromagnéticas · triboeléctrico (cable piezo) · diafonía
  • En los datos del curso no hay líneas de red claras; su SNR y el ruido del sensor se ven en M4.5 y M8.3

M3.2 Qué mide cada descriptor

  • \(\mu\): nivel (componente continua) · \(\sigma^2\): potencia de la vibración · \(\sigma\): su escala
  • RMS: la continua que disipa la misma potencia; \(\tfrac12m\overline{v^2}=\tfrac12m(\mu_v^2+\sigma_v^2)\)
  • Asimetría: cola hacia un lado · curtosis: peso de los extremos (\(3\sigma\) pesa 81 veces más que \(1\sigma\))

Misma σ, distinta forma

Forma κ
cuadrada 1
sinusoide 1,5
uniforme, triangular 1,8
gaussiana 3
Laplace 6
impactos ≫ 3

Fórmulas

Descriptor Fórmula Unidad
RMS total \(\sqrt{\overline{x^2}}\) u
RMS fluctuante \(\sigma\) u
relación \(\mathrm{RMS}^2=\mu^2+\sigma^2\) u²
cresta pico / RMS –
curtosis \(\overline{(x-\mu)^4}/\sigma^4\) (exceso: \(-3\)) –

Sinusoide: cresta \(\sqrt2\), curtosis 1,5 · gaussiana: curtosis 3

Mismo RMS, distinta señal

RMS = 1 m/s² cresta curtosis
sinusoide 1,41 1,5
ruido gaussiano 3,9 3,0
impactos (1/s) 5,2 11

El RMS no ve los picos

M3.3 Cadena de medida

Estructura, sensor, acondicionamiento, filtro antialiasing, convertidor y registro

Cuantificación

\[q=\frac{2R}{2^B},\qquad \sigma_e\approx\frac{q}{\sqrt{12}},\qquad \mathrm{SNR}_q\approx6{,}02B+1{,}76\ \mathrm{dB}\]

  • \(\pm2\) g, 16 bits: \(q=0{,}061\) mg, \(\sigma_e=0{,}018\) mg
  • Torroja (0,4–1,6 mg RMS): solo 28–39 dB
  • El offset gasta rango; la saturación no se arregla después

Escalera del convertidor

Característica en escalera de un convertidor de 3 bits con zonas de saturación

M3.4 Aliasing

\[f_{\mathrm a}=\left\lvert f-f_{\mathrm s}\,\operatorname{round}(f/f_{\mathrm s})\right\rvert\]

  • 117 Hz a 100 Hz → 17 Hz
  • Las muestras de 117 y de 17 Hz son idénticas
  • Filtro antialiasing analógico, antes del convertidor
  • Margen: \(f_{\mathrm s}\) algo más de \(2{,}5\,f_{\max}\) según el filtro

El teorema no es de una sola persona

  • Borel (1897), E. T. Whittaker (1915), Ogura, J. M. Whittaker
  • Nyquist (1928): el intervalo crítico en telegrafía
  • Kotelnikov (1933), Raabe, Someya, Shannon (1948–1949)
  • Fuente leída: Meijering (2002)

M3.5 DFT y FFT

\[X[k]=\sum_{n}x[n]e^{-i2\pi kn/N},\qquad \Delta f=\frac{f_{\mathrm s}}{N}=\frac1T\]

  • DFT = proyección sobre sinusoides; FFT = algoritmo \(O(N\log N)\)
  • Unilateral: \(\times2\) salvo DC y Nyquist
  • Más \(f_{\mathrm s}\) con la misma \(T\): más banda, no más resolución

Fuga

Registro repetido periódicamente con y sin saltos en las uniones

Separar dos tonos

  • Bins distintos (\(T=1/\delta\)) no es resolver
  • Rectangular, iguales, sin ruido: \(T\approx2/\delta\) (36 % de fases con \(1/\delta\))
  • Hann: \(T\approx3/\delta\)
  • Relleno con ceros: interpola, no informa
  • Además: anchura física del pico \(\approx2\zeta f_n\)

M3.6 PSD

\[P[k]=\frac{c_k\lvert X_w[k]\rvert^2}{f_{\mathrm s}\sum w^2}\ \left[\tfrac{u^2}{\mathrm{Hz}}\right],\qquad \sum_k P\,\Delta f=\frac{\sum (xw)^2}{\sum w^2}\]

  • Ruido: lo propio de la señal es la densidad
  • Periodograma: varianza que no baja con \(T\)
  • RMS en banda: \(\sqrt{\sum_{\text{banda}}P\Delta f}\)

Welch

  • \(K\) segmentos de \(L\) muestras · Hann · solape 50 % (fijos; elección en M4)
  • \(\Delta f=f_{\mathrm s}/L\) · varianza \(\approx1/K\)
  • \(T\) fija: resolución o promedio
  • Parseval: exacto con los segmentos ponderados, aproximado con el registro

Una medida, cuatro decisiones

  1. Método: periodograma o Welch (\(L\), ventana, solape)
  2. Magnitud: amplitud, potencia por bin, PSD, ASD, bandas
  3. Normalización: ninguna, máximo, suma (NPSD) o integral
  4. Escala: lineal, log, dB con referencia (10 log para potencias, 20 log para amplitudes)

ANPSD (ampliación)

\[\mathrm{NPSD}_j=\frac{P_j}{\sum_{\mathcal B}P_j},\qquad \mathrm{ANPSD}=\frac1J\sum_j\mathrm{NPSD}_j\]

  • Adimensional; misma rejilla y banda
  • Pierde la amplitud: los canales débiles o ruidosos pesan igual
  • No es el promedio de Welch

Caso: Palma del Río, set1

  • 512 Hz · 300 s · transversal · con tráfico
  • Cresta ≈ 13, curtosis ≈ 23, RMS por segundo ×40 → no estacionario
  • Primer minuto: un tercio de la potencia de los 5 min
  • Picos cerca de modos FDD… y otros que no lo están

Para llevarte

  • Lo que se pierde antes del registro digital no se recupera
  • \(\Delta f=1/T\); el relleno no resuelve
  • Una figura espectral sin método, magnitud, unidades y referencia no se puede comparar
  • Un pico no es un modo; un cambio de descriptor no es un daño