Raíces e interpolación

J3.4 · Nivel J3 · Computación científica

Objetivos

• Resolver \(f(x)=0\): find_zero y find_zeros.
• Frecuencias de una viga como raíces de su ecuación característica.
• Interpolar (lineal y spline) y medir el error.
• Banda de media potencia: raíces de una función interpolada.

Métodos de raíces

método	tipo	orden
bisección	corchete, seguro	lineal (1 bit/paso)
secante	punto abierto	≈ 1,62
Newton	punto abierto, \(f'\)	2
Brent	corchete híbrido	casi superlineal

Primera raíz de \(\cos x+1/\cosh x=0\): bisección 48 pasos, secante 8, Newton 5.

La viga

\[f_n=\frac{x_n^2}{2\pi L^2}\sqrt{\frac{EI}{\rho A}}\]

Una viga de acero (1 m, 40 × 10 mm)

condiciones	\(f_1\) (Hz)	\(f_2\) (Hz)
empotrada–libre	8,36	52,36
biapoyada	23,45	93,81
empotrada–apoyada	36,64	118,73
libre–libre	53,17	146,55

Una masa de 85 g en el extremo baja \(f_1\) un 5 %.

Interpolar

• Lineal: orden 2, sin sobreoscilaciones.
• Spline cúbico (natural): orden 4 si la curvatura es nula en los extremos.
• En el voladizo (empotramiento, curvatura ≠ 0): solo orden 2.

Fuera de los nodos: BoundsError, no se extrapola.

Error del modo del voladizo

sensores	lineal	spline
5	0,023	0,011
9	0,0063	0,0027
17	0,0016	0,00067

Biapoyada con 9 sensores: spline \(6{,}3\cdot10^{-5}\).

Media potencia

\[\zeta\approx\frac{f_+-f_-}{2f_n}\]

Modo 3 del edificio, \(\zeta=0{,}0127\): con paso de 0,2 Hz el spline da 0,0235; con 0,02 Hz, 0,0127.

Hacen falta varios puntos dentro de la banda.

Cuánta confianza

• Residuo pequeño ≠ error pequeño (raíz triple).
• Un spline pasa por el ruido: no es suavizar.
• Los extremos mandan en un spline.

Pídeselo a Claude

Pide siempre el método, la tolerancia y el error frente a un caso de respuesta conocida.

La doy por superada si…

• Resuelvo raíces y explico la velocidad de cada método.
• Obtengo las frecuencias de una viga y las compruebo.
• Interpolo, mido el error y no extrapolo.