Álgebra lineal numérica

J3.3 · Nivel J3 · Computación científica

Objetivos

  • Factorizar: LU, Cholesky, QR, SVD.
  • Elegir según la estructura de la matriz.
  • Mínimos cuadrados con QR.
  • Rango numérico y bajo rango con la SVD.
  • Matrices dispersas.

Elegir el método

Diagrama de decisión: cuadrada, SPD, rectangular, rango dudoso y dispersa

LU y Cholesky

F = lu(A);  F \ b          # factorizar una vez, resolver muchas
isposdef(K);  cholesky(Symmetric(K))

K φ = λ M φ → C = L⁻¹ K L⁻ᵀ estándar y simétrico.

Ecuaciones normales: no

\(\kappa(\mathbf A^{\mathsf T}\mathbf A)=\kappa(\mathbf A)^2\)

Grado 12: residuos iguales, coeficientes distintos (0,7 %). Grado 16: 100 %.

SVD y modos

  • Hankel de una señal con 2 modos: rango 4.
  • σ: 150,2 · 150,1 · 60,0 · 59,7 · 4·10⁻¹³.
  • Con ruido: salto de 60 a 8: sigue habiendo 4 destacados.

Dispersas

  • 2000 masas: 5998 no nulos, 112 kB frente a 32 MB (285 veces menos).
  • u[end] = 2000 (control analítico).
  • La inversa de una matriz dispersa es llena.

La doy por superada si…

  • Elijo factorización según la estructura.
  • Demuestro por qué fallan las ecuaciones normales.
  • Cuento modos con la SVD y contrasto con una fórmula.